強(qiáng)曉斌 盧海舟?

1) (南方科技大學(xué)物理系, 深圳量子科學(xué)與工程研究院, 深圳 518055)

2) (深圳市量子科學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 深圳 518055)

1 引 言

拓?fù)浒虢饘俚膶?dǎo)帶和價(jià)帶在節(jié)點(diǎn)(節(jié)線)處接觸[1,2], 節(jié)點(diǎn)處低能激發(fā)的準(zhǔn)粒子(外爾/狄拉克費(fèi)米子)具有線性的能帶色散關(guān)系, 非常類似于三維(3D)的石墨烯模型.大量的理論[3?13] 和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)[14?25]均給出了相關(guān)材料存在的證據(jù).

拓?fù)湮飸B(tài)由于具有獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu)和表面態(tài)行為導(dǎo)致了許多新穎的輸運(yùn)現(xiàn)象[26?68].本文基于在Front.Phys.發(fā)表的兩篇論文[69,70], 以拓?fù)浒虢饘贋橹骰仡櫫擞嘘P(guān)拓?fù)湮飸B(tài)中量子輸運(yùn)的最新工作[71?87], 相關(guān)的綜述文章也可以參考[88?93].依據(jù)磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小本文的結(jié)構(gòu)安排如下: 第2 節(jié), 介紹用于描述外爾、狄拉克、節(jié)線半金屬及拓?fù)浣^緣體的相關(guān)模型; 第3 節(jié), 介紹非線性霍爾效應(yīng)的最新進(jìn)展, 并給出半導(dǎo)體-超導(dǎo)體納米線中馬約拉納振蕩的理論描述; 第4 節(jié), 總結(jié)拓?fù)浒虢饘俸屯負(fù)浣^緣體中的弱局域化和弱反局域化理論; 第5 節(jié),給出貝里曲率與負(fù)磁阻之間的關(guān)系, 介紹平面霍爾效應(yīng)的最新工作; 第6 節(jié), 討論拓?fù)浒虢饘僦辛孔诱袷幍南嘁埔?guī)則, 給出兩種實(shí)現(xiàn)3D 量子霍爾效應(yīng)的新機(jī)制; 第7 節(jié), 總結(jié)量子極限下的輸運(yùn)理論,包括背散射禁止導(dǎo)致的電阻下降, 外爾費(fèi)米子的湮滅, 外爾半金屬中的不飽和磁化現(xiàn)象, 以及反常熱電行為; 第8 節(jié)給出評(píng)論和展望.

2 有效模型

2.1 外爾半金屬

外爾半金屬的最小模型為[94]

其中 σx,y,z是泡利矩陣, k =(kx,ky,kz) 是波矢, A ,M , kw是模型參數(shù).兩個(gè)能帶在 (0,0,±kw) 處相交(圖1).

在兩個(gè)節(jié)點(diǎn) (0,0,±kw) 附近, H 約化為兩個(gè)獨(dú)立的局部模型

圖1 拓?fù)浒虢饘俚哪軒ЫY(jié)構(gòu)和貝里曲率 (a)拓?fù)浒虢饘俚哪茏V示意圖, (kx,ky,kz) 為 波矢, ; (b)貝里曲率矢量場(chǎng), 拓?fù)浒虢饘俚膶?dǎo)帶和價(jià)帶在外爾點(diǎn)處接觸,且在該處存在一對(duì)單極子.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn) [56]Fig.1.The band structure and Berry curvature of the topological semimetal: (a) The energy spectrum of a topological semimetal, (kx,ky,kz) is the wave vector, (b) the vector field of the Berry curvature.The conduction and valence bands of a topological semimetal touch at the Weyl nodes, and there is a pair of monopoles.Reproduced with permission from Ref.[56].

貝里曲率[95]? (k)=?k×A(k) 可以給出體系的拓?fù)湫再|(zhì), 其中 A (k)=i〈u(k)|?k|u(k)〉 為貝里聯(lián)絡(luò).對(duì)于外爾半金屬的+能帶|u(k)〉=[cos(Θ/2),sin(Θ/2)eiφ]T(其中 cos Θ ≡Mk/E+, tan φ ≡ky/kx).對(duì)單個(gè)外爾點(diǎn)做曲面積分, 結(jié)果表明在 ± kw處產(chǎn)生了符號(hào)相反的拓?fù)浜?? sgn(M) , 對(duì)應(yīng)動(dòng)量空間中的一對(duì)“磁單極子”.

在離散情況下, 陳數(shù)定義為在任意可定向閉曲面上正方格子的貝里曲率通量之和[96].這里取具有輪胎面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的連續(xù)參數(shù)空間, 原因是某些物理參數(shù)空間實(shí)際上確實(shí)具有這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 且對(duì)應(yīng)的陳數(shù)具有物理意義.對(duì)于2D 晶格的布里淵區(qū),其中晶格動(dòng)量 (kx,ky) , (kx+2π,ky) 及(kx,ky+2π)是等價(jià)的.自然地, 連續(xù)情況下對(duì)貝里曲率通量的求和被整個(gè)參數(shù)空間 P 上對(duì)貝里曲率的面積分所代替

由于其可以解釋為離散陳數(shù)的連續(xù)極限, 所以(3)式具有和離散陳數(shù)相同的性質(zhì), 即連續(xù)陳數(shù)是一個(gè)規(guī)范不變的整數(shù).

對(duì)于外爾半金屬, 若給定 kz, 陳數(shù)可以表征kx-ky平面上的拓?fù)湫再|(zhì)[97],

當(dāng) ? kw＜kz＜kw時(shí), 陳數(shù) nc(kz)=?sgn(M) , 否則nc(kz)=0[4].根據(jù)體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系, 非零陳數(shù)對(duì)應(yīng)于與 kz相關(guān)的一組邊界態(tài)(費(fèi)米弧)[4].

為了得到費(fèi)米弧表面態(tài)的解, 在 y =0 處應(yīng)用開放邊界條件, 得到表面態(tài)的色散[76,94]

對(duì)應(yīng)的波函數(shù)[98,99]

外爾半金屬的單節(jié)點(diǎn)有效模型為

其中得到貝里聯(lián)絡(luò)為 A =(0,0,cos2(θ/2)/(k sin θ)).由此得到貝里曲率為, 求得單極子荷 N =?1.在另一個(gè)手性相反的外爾點(diǎn)處, 有效哈密頓量 H =?vk·σ , 單極子荷為1.因此, 對(duì)于雙節(jié)點(diǎn)模型總單極子荷為零[26].

在 z 方向的磁場(chǎng)中, 外爾半金屬的能譜被量子化為一組沿 kz色散的一維(1D)朗道能帶(圖2(a)).考慮沿 z 方向施加磁場(chǎng) B =(0,0,B) , 選擇朗道規(guī)范 A =(?yB,0,0).得到本征能量為[74,100?102]

2.2 狄拉克半金屬

對(duì)于狄拉克半金屬, 由于時(shí)間反演和反演對(duì)稱性的保護(hù), 狄拉克點(diǎn)是多重簡(jiǎn)并的[8].其模型可以用方程(1)中的 H (k) 及其時(shí)間反演 H?(?k) 描述[60,61,103?105], 其中星號(hào)表示復(fù)共軛.一個(gè)簡(jiǎn)單的模型如下[76]:

其中狄拉克矩陣為 αx=σx?σx, αy=σx?σy,β =σz?σ0, σ0是 2 ×2 的單位矩陣.方向的表面態(tài)由兩個(gè)具有相反自旋和相反有效速度的分支組成.通過(guò)幺正變換將模型寫成對(duì)角形式

狄拉克點(diǎn)是四重簡(jiǎn)并的[94], 對(duì)于特定的 kz兩個(gè)狄拉克點(diǎn)之間存在拓?fù)洳蛔兞? 根據(jù)體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系,每個(gè)陳數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)邊界態(tài), 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在關(guān)于kz的一組邊界態(tài).這些邊界態(tài)的色散構(gòu)成了在費(fèi)米面附近連接狄拉克點(diǎn)的費(fèi)米弧, 這是拓?fù)涞依税虢饘俚年P(guān)鍵特征之一.

2.3 雙外爾半金屬

外爾半金屬中的每個(gè)外爾點(diǎn)都具有1 或–1 的單極子荷.在雙外爾半金屬中, 單極子荷為2 或–2[6,106,107].對(duì)于外爾半金屬或雙外爾半金屬的單一能谷, 最小模型為

其中 k±=kx±iky, χ =±1 是能谷指標(biāo), k 為外爾點(diǎn)處的動(dòng)量.N =1,2 分別對(duì)應(yīng)單和雙外爾半金屬.色散關(guān)系為在能谷 χ =+1 處導(dǎo)帶的本征態(tài)為

其中 cos θ ≡vzkz/Ek, tan φ ≡ky/kx.通過(guò)在包圍外爾點(diǎn)的任意費(fèi)米球 Σ 上對(duì)貝里曲率積分得到單極子荷

等式右邊 ± 對(duì)應(yīng) ± 能谷.

圖2 在沿 z 方向的磁場(chǎng) B 下, 外爾和狄拉克半金屬的最小模型中沿 kz 色散的朗道能帶.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[74]Fig.2.The Landau energy bands along the kz dispersion in the minimum model of Weyl and Dirac semimetals under the magnetic field B along the z direction.Reproduced with permission from Ref.[74].

2.4 拓?fù)涔?jié)線半金屬

節(jié)線半金屬[108?111]的導(dǎo)帶和價(jià)帶在動(dòng)量空間交叉形成一個(gè)閉合環(huán)[112?115], 并形成類似鼓形的表面態(tài)[116,117].當(dāng)對(duì)稱性破缺時(shí), 節(jié)線半金屬可能變?yōu)榈依税虢饘? 拓?fù)浣^緣體或表面陳絕緣體[118].理論預(yù)測(cè)了不少存在這種奇異拓?fù)湫再|(zhì)的材料[119?139], 部分已被實(shí)驗(yàn)觀測(cè)所證實(shí)[140?146].

節(jié)線半金屬可以用一個(gè)雙能帶有效模型來(lái)描述[147],

其 中 k =(kx,ky,kz) 是波矢, τx,y對(duì)應(yīng)于雙帶贗自旋空間的泡利矩陣, 兩個(gè)帶在以及kz=0 時(shí)相交.如果費(fèi)米能滿足通過(guò)變量代換kx=(k0+κ cos φ)cosθ,ky=(k0+κcosφ)×sinθ, kz=κsinφ/α (其中 v0=2λk0, α=v/v0, v 和v0分別為沿著 z 方向和x-y 平面內(nèi)的有效速度), 哈密頓量(15)式可以線性化為更為簡(jiǎn)單的形式:

對(duì)于更一般的四帶模型, 節(jié)線半金屬的哈密頓量可以進(jìn)一步寫為[124,143]

其中 λ , m , 和 u 是模型參數(shù)[124,143].哈密頓量的本征值為當(dāng) u 為正時(shí), 兩個(gè)能帶在零能處相交, 其半徑為時(shí)(對(duì)應(yīng)于載流子密度較低的情況[140,141]), 費(fèi)米面形成一個(gè)輪胎面, 當(dāng) EF＞u 時(shí),費(fèi)米面演化成鼓狀結(jié)構(gòu).模型(17)式具有鏡面反射對(duì)稱性[124,143], 除此之外, 節(jié)線也可由其他對(duì)稱性保護(hù)[110,113,121,123,140,141,148].

2.5 拓?fù)浣^緣體

3D 拓?fù)浣^緣體可以用 k·p 哈密頓量來(lái)描述[94,149,150]:

對(duì)于本征磁性拓?fù)浣^緣體, 例如MnBi2Te3,具有面外反鐵磁序, 需要額外引入[156]

其中 m0是層內(nèi)反鐵磁序的強(qiáng)度, d 是MnBi2Te3樣品7 元層的厚度, τ0是 2 ×2 的單位矩陣, 這一模型可以解析求解, 為理解其他的本征磁性拓?fù)湮飸B(tài)提供理論基礎(chǔ).

3 零磁場(chǎng)

3.1 非線性霍爾效應(yīng)

霍爾效應(yīng)由于本質(zhì)上與對(duì)稱和拓?fù)涞纳羁搪?lián)系[95,157]已然成為凝聚態(tài)物理的基本研究范式.所有已知的可測(cè)霍爾效應(yīng)都需要磁場(chǎng)或磁性摻雜來(lái)破缺時(shí)間反演對(duì)稱性[157?159].最近, 通過(guò)測(cè)量霍爾電導(dǎo)的零頻或倍頻分量對(duì)低頻驅(qū)動(dòng)電場(chǎng)的響應(yīng)(圖3)發(fā)現(xiàn)了一種新的霍爾效應(yīng)[160], 即非線性霍爾效應(yīng), 其特別之處在于不需要破缺時(shí)間反演對(duì)稱性, 而是破缺反演對(duì)稱性.這一新現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)為探索新奇物態(tài)的對(duì)稱性和拓?fù)湫再|(zhì)開辟了新的途徑.在文獻(xiàn)[82]中, 我們研究了非線性霍爾效應(yīng)和二維(2D)系統(tǒng)能帶特征之間的關(guān)系.由于非線性霍爾響應(yīng)與貝里偶極子相關(guān)[160], 通過(guò)分析傾斜有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的一般模型, 我們發(fā)現(xiàn)傾斜能帶在反交叉和能帶反轉(zhuǎn)附近存在非常強(qiáng)的貝里偶極子,可以給出明顯的非線性霍爾信號(hào).

圖3 測(cè)量非線性霍爾效應(yīng)的示意圖.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[82]Fig.3.Schematic of how to measure the nonlinear Hall effect.Reproduced with permission from Ref.[82].

其中 e 為電子電量, τ 為動(dòng)量弛豫時(shí)間, 在一般實(shí)驗(yàn)條件下 ω τ ?1 可忽略.貝里偶極子定義為

其中 ε abc 為全反對(duì)稱張量, a ,b,c,d ∈{x,y,z} , feq為費(fèi)米分布函數(shù),為貝里曲率.注意在時(shí)間反演下以及,即(21)式在時(shí)間反演對(duì)稱的體系中不為0.

由(21)式知, 為了給出不為0 的貝里偶極子,需要各向異性的能帶結(jié)構(gòu), 通過(guò)在2D 有質(zhì)量狄拉克模型[94]中引入傾斜項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn),

其 中 (kx,ky) 為波矢, σx,y,z為泡利矩陣, η =±1 ,m是能隙, t 使狄拉克錐沿 x 方向傾斜即破缺了反演對(duì)稱性.如果沒有傾斜(t =0), 貝里曲率將對(duì)稱地集中在能帶邊緣, 因此沒有貝里偶極子.當(dāng)?shù)依隋F傾斜時(shí), 貝里曲率不再對(duì)稱分布, 貝里偶極子隨著傾斜的增加而增加, 并在狄拉克錐完全傾斜(t ＞v) 的 臨界點(diǎn) (t=v) 附近達(dá)到最大值.利用這一模型我們計(jì)算了雙層 WTe2中的非線性霍爾響應(yīng)[82], 給出的結(jié)果與最近實(shí)驗(yàn)[161,162]中的非線性霍爾響應(yīng)及其角度依賴性高度一致, 這將啟發(fā)更多關(guān)于非線性霍爾效應(yīng)的相關(guān)實(shí)驗(yàn)和理論.

除了由傾斜能帶引起的貝里偶極子導(dǎo)致的本征非線性霍爾效應(yīng)以外, 無(wú)序在其中也起著極其重要的作用.在文獻(xiàn)[83]中我們系統(tǒng)地計(jì)算了由無(wú)序?qū)е碌姆蔷€性霍爾效應(yīng), 并給出了霍爾電導(dǎo)的表達(dá)式.不同于一般的線性霍爾效應(yīng), 由于非線性霍爾效應(yīng)的機(jī)制需要費(fèi)米能量切過(guò)能帶, 主要的物理發(fā)生在費(fèi)米面上, 這就導(dǎo)致即使在領(lǐng)頭階無(wú)序也扮演著非常重要的角色.更重要的是, 我們提出了非線性霍爾效應(yīng)的標(biāo)度律, 這有助于識(shí)別不同機(jī)制的貢獻(xiàn), 解釋未來(lái)實(shí)驗(yàn)中溫度和厚度的依賴性.需要指出的是, 無(wú)序是如何以一種特定的形式對(duì)非線性霍爾信號(hào)做出貢獻(xiàn)的, 目前尚不清楚, 這也是未來(lái)研究的重點(diǎn).

3.2 馬約拉納振蕩

在半導(dǎo)體-超導(dǎo)體納米線中的馬約拉納零能模[163?168]總是成對(duì)出現(xiàn), 并位于納米線的兩端.由于在真實(shí)納米線中的有限尺度效應(yīng), 馬約拉納束縛態(tài)的能量是雜化的.雜化能量 E0因?yàn)槭侨芰?、化學(xué)勢(shì)以及納米線線長(zhǎng)的函數(shù)而出現(xiàn)振蕩[169?171],稱為馬約拉納振蕩.然而實(shí)驗(yàn)中觀察到 E0作為磁場(chǎng)的函數(shù)[172?177]其振蕩與理論預(yù)測(cè)的截然相反[170].

我們通過(guò)假設(shè)沿納米線的自旋軌道耦合具有階梯狀分布[84](圖4(a))解釋了實(shí)驗(yàn)中的振蕩模式[172?177](圖4(b)—圖(d)).這種自旋軌道耦合的階梯狀分布的假設(shè)是合理的, 因?yàn)闁艠O施加的是非均勻的靜電勢(shì), 而自旋軌道耦合又取決于垂直于納米線的靜電場(chǎng)[178?180].此外, 由于超導(dǎo)體和半導(dǎo)體之間的屏蔽效應(yīng)以及功函數(shù)的失配, 超導(dǎo)體的存在可以極大地改變納米線中的靜電場(chǎng)[181].因此, 納米線從覆蓋有超導(dǎo)體的部分到?jīng)]有超導(dǎo)體的部分(隧道勢(shì)壘區(qū)), 自旋軌道耦合的非均勻性是很好的理論假設(shè), 但這一點(diǎn)被大多數(shù)理論所忽略, 導(dǎo)致了對(duì)馬約拉納振蕩的理論理解困難.

圖4 (a)半導(dǎo)體-超導(dǎo)體納米線結(jié)構(gòu)示意圖[172?177], 兩端可能存在一對(duì)馬約拉納束縛態(tài); (b)?(d)雜化能隨著磁場(chǎng)變化的振蕩曲線.紅色和黑色曲線為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[172], 藍(lán)色為理論曲線.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[84]Fig.4.(a) Schematic of the semiconductor-superconductor nanowire structure[172?177], its two ends may host a pair of Majorana bound states; (b)?(d) oscillation curves of hybridization energy vary with magnetic field.The red and black curves are experimental data adapted from Ref.[172].The blue curves are the theoritical results.Reproduced with permission from Ref.[84].

為了驗(yàn)證其中的物理圖像, 使用階梯狀自旋軌道耦合進(jìn)行計(jì)算.納米線的哈密頓量為

參照GB-T14452-93標(biāo)準(zhǔn)A型試樣，將釬焊后試樣線切割為長(zhǎng)約34 mm、寬5±0.25 mm、高5±0.25 mm的條狀小試樣進(jìn)行三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，測(cè)定釬焊接頭的抗彎強(qiáng)度。

其中 A ,α0,xL/R,λL/R為描述自旋軌道耦合隨空間分布變化的參數(shù).在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中, 當(dāng)改變柵極電壓時(shí), 參數(shù)會(huì)相互影響[181?183], 超導(dǎo)體的存在也會(huì)引起參數(shù)的變化[184,185].通過(guò)對(duì)角化晶格上的 H , 得到能譜和波函數(shù), 其中最低的能量即束縛態(tài)雜化能量為 E0.

圖4(b)—圖4(d)中的藍(lán)色曲線分別給出了使用三組模型參數(shù)的數(shù)值結(jié)果.數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)保持了很高的一致性, 不僅在衰減振幅方面, 而且還包括最低能量交叉(圖4(b)和圖4(c))、反交叉(圖4(d))以及磁場(chǎng)中振蕩周期的增加(圖4(c)).注意到我們的結(jié)果是一般性的, 不依賴于具體的參數(shù).

文獻(xiàn)[84]進(jìn)一步分析了這種階梯狀的自旋軌道耦合也能導(dǎo)致安德列夫束縛態(tài)光譜的衰減振蕩.對(duì)于由馬約拉納束縛態(tài)影響的庫(kù)侖阻塞[186?190], 預(yù)測(cè)峰間距通過(guò) π /2 的相移與峰高相關(guān)聯(lián), 這在最近的實(shí)驗(yàn)中是不明確的, 但依然可以用階梯狀自旋軌道耦合來(lái)解釋.期望這一結(jié)果將激發(fā)更多的工作來(lái)重新檢驗(yàn)這種通常存在于真實(shí)實(shí)驗(yàn)裝置中的非均勻自旋軌道耦合效應(yīng).

4 近零磁場(chǎng)

4.1 外爾半金屬中的弱(反)局域化

弱(反)局域化是存在于無(wú)序金屬[191]中由量子干涉導(dǎo)致的輸運(yùn)現(xiàn)象.如果量子干涉的修正為正, 即產(chǎn)生弱反局域化現(xiàn)象, 如果為負(fù)則產(chǎn)生弱局域化現(xiàn)象.無(wú)論是弱局域化還是弱反局域化本質(zhì)上均取決于體系的對(duì)稱性(表1).外爾費(fèi)米子單一能谷的低能描述為, 只具有時(shí)間反演對(duì)稱性.拓?fù)浒虢饘僦幸褟V泛觀察到弱反局域化現(xiàn)象[41?43,46,55,56,60,61].這一節(jié)介紹處理這一問(wèn)題的基本方法[73]和主要結(jié)論, 最近的相關(guān)研究[192,193]利用相似的方法系統(tǒng)地研究了更一般的3D 狄拉克材料中的弱(反)局域化行為, 給出了與實(shí)驗(yàn)非常符合的理論結(jié)果.

表1 對(duì)稱類(正交、辛和幺正)[194]與弱局域化(WL)和弱反局域化(WAL)之間的關(guān)系[195].轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn) [88]Table 1.The relation between the symmetry classes (orthogonal, symplectic and unitary) [194] and weak localization (WL) and anti-localization (WAL) [195].Reproduced with permission from Ref.[88].

圖5 總結(jié)了用于研究量子干涉和相互作用引起的弱局域化和反局域化的費(fèi)曼圖[73].在計(jì)算中,對(duì)電導(dǎo)率有貢獻(xiàn)的主要有三項(xiàng), 包括半經(jīng)典的電導(dǎo)率(圖5(a))、量子干涉修正(圖5(b))以及電子-電子相互作用修正(圖5(c)).

圖5 在無(wú)序(虛線)和電子-電子相互作用(波浪線)下,計(jì)算3D 外爾半金屬電導(dǎo)率的費(fèi)曼圖[71,72,191,196?199], 有向直線代表格林函數(shù).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn) [73]Fig.5.In the disorder (dashed lines) and electron-electron interaction (wavy lines), the Feynman diagram[71,72,191,196?199]of the conductivity of 3D Weyl semimetal, and the directed line represents the Green"s function.Reproduced with permission from Ref [73].

圖6 不同條件下的磁導(dǎo) δ σqi(B) 對(duì)參數(shù)的依賴關(guān)系 (a) η I =η?=0 時(shí)不同的相干長(zhǎng)度 l? ; (b) η ?=0 時(shí)不同的 ηI ; (c)有限η? 時(shí)不同的 ηI ; (d) ηI 和 η? 之間的差異, 其中 ηI 與能谷間散射相關(guān), 而 η? 與能谷內(nèi)散射相關(guān).虛線表示兩個(gè)散射過(guò)程的相關(guān)性,ν =±是能谷指標(biāo).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[73]Fig.6.The dependence of magnetoconductivity δ σqi(B) on parameters under different conditions: (a) Different coherence length l? at η I =η?=0 ; (b) different ηI at η ?=0 ; (c) different ηI at finite η? ; (d) the difference between ηI and η? , where ηI is correlated with intervalley scattering and η? is correlated with intravalley scattering.The dashed lines indicate the correlation between the two scattering processes.ν =± is the valley index.Reproduced with permission from Ref.[73].

圖6 給出了理論計(jì)算得到的主要結(jié)果.可以看出, 在沒有能谷間散射的情況下, 對(duì)于較大的 l?(相位相干長(zhǎng)度), 磁導(dǎo) δ σqi(B) 為負(fù)且與成正比, 顯示了3D 外爾費(fèi)米子的弱反局域化特征.這種的相關(guān)性與實(shí)驗(yàn)非常符合[41,42].隨著 l?變短,從到 ? B2的變化是很明顯的, 最終 δqi(B) 在l?和平均自由程 le相等時(shí)消失, 因?yàn)樵撓到y(tǒng)不再處于量子干涉狀態(tài)而進(jìn)入半經(jīng)典擴(kuò)散狀態(tài).

4.2 雙外爾半金屬中的弱局域化

對(duì)于單一能谷連接費(fèi)米球上從 k 到 ? k 的背散射中間態(tài)的每條路徑(在圖7(a)中標(biāo)記為 P), 均在原點(diǎn)處包含了單極子荷, 并且存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的時(shí)間反演 P′.量子干涉是由兩個(gè)時(shí)間反演路徑 P 和P′之間的相位差決定的, 該相位差為沿 P 和≡?P′形成的環(huán)路累積的貝里相位[95,196,200?202], 即從?k 到 k 的對(duì)應(yīng)路徑:

值得注意的是, 該貝里相位僅取決于單極子荷, 而不是特定的環(huán)路形狀[75]對(duì)于雙外爾半金屬, 單極子荷 N =2 , 貝里相位為 2π.在 2π 的貝里相位下,時(shí)間反演散射態(tài)之間產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉, 從而導(dǎo)致弱局域化效應(yīng).但是, 對(duì)于單外爾半金屬, 單極子荷為N =1 且貝里相位為 π , 導(dǎo)致弱反局域化效應(yīng).這里對(duì)貝里相位的分析與前文提到的對(duì)稱性分類得到的結(jié)果是一致的[203].由于貝里相位是單極子荷產(chǎn)生的貝里曲率場(chǎng)的直接結(jié)果, 因此我們?cè)谌?反)局域化效應(yīng)與單極子荷 N 的奇偶性之間建立了直接的聯(lián)系.

通過(guò)計(jì)算最大交叉圖得到對(duì)雙外爾半金屬電導(dǎo)率的修正.最大交叉圖的核心計(jì)算可以表達(dá)為粒子-粒子關(guān)聯(lián), 稱為Cooperon, 對(duì)雙外爾半金屬其為[75]

其中 q =k1+k2k1k2是Cooperon 波矢, 和分別為初態(tài)和末態(tài)的波矢, φ1和 φ2為相應(yīng)波矢的方位角, D1=8τEFv///(3π) 和是擴(kuò)散系數(shù),NF是態(tài)密度, τ 是動(dòng)量弛豫時(shí)間.

圖7 3D 拓?fù)浒虢饘賱?dòng)量空間中的費(fèi)米球, 其中位于原點(diǎn)的點(diǎn)表示單極子荷 N (a) P 表示從波矢 k 到標(biāo)記為(k1,k2,··· ,kn)的中間態(tài)的背散射, P ′ 表示 P 的時(shí)間反演;(b) P 和 P ′ 之間的相位差等效于在環(huán)路 周圍累計(jì)的貝里相位.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn) [75]Fig.7.The Fermi sphere in 3D topological semimetal momentum space, where the dot at the origin represents monopole charge N : (a) P is the backscattering from the wave vector k to ? k via intermediate states labeled as (k1,k2,··· ,kn), P ′ represents the time-reversal of P ; (b) the phase difference between P and P ′ is equivalent to the Berry phase accumulated around loop .Reproduced with permission from Ref.[75].

當(dāng) q →0 , 即 k1=?k2時(shí), Cooperon 發(fā)散, 成為背散射的最主要貢獻(xiàn).在此極限下, φ2=φ1+π (其中k cos θ , 并通過(guò)設(shè)置 φ →φ+π 和 θ →π?θ 得到 ? k):

注意(27)式前的正號(hào), 其對(duì)應(yīng)于弱局域化效應(yīng), 即產(chǎn)生正的磁導(dǎo), 這是雙外爾半金屬弱局域化的另一個(gè)特征.在低溫極限下 l??lB?lz, 磁導(dǎo)(B)∝, 在極限 lB?l?以及 lB?lz時(shí),

根據(jù)文獻(xiàn)[73,75]的理論結(jié)果, 我們提出了一個(gè)公式來(lái)擬合3D 弱(反)局域化引起的磁導(dǎo):

存在相互作用的情況下, 對(duì)于外爾費(fèi)米子的一個(gè)能谷, 電導(dǎo)率隨溫度的變化可以概括為

其中 cee和 cqi都是正的參數(shù).(29)式描述了由相互作用引起的弱局域化和由干涉引起的弱反局域化之間的競(jìng)爭(zhēng)(圖8).臨界溫度 Tc=(cee/p·cqi)2/(p?1)因?yàn)?ceecqi＞0 , 這意味著只要 p ＞1 , 總有一個(gè)臨界溫度低于這個(gè)溫度, 電導(dǎo)率就會(huì)隨著溫度的降低而下降.對(duì)于3D 中已知的退相干機(jī)制, p 總是大于1[191].通過(guò)一組典型參數(shù)的擬合, 發(fā)現(xiàn) Tc≈0.4— 1 06K[73].

圖8 電導(dǎo)率 Δ σ 隨溫度 T 變化的示意圖.選擇 c ee =cqi ,Tc是電導(dǎo)率隨溫度降低而下降的臨界溫度.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn) [73]Fig.8.The schematic diagram of conductivity Δ σ changes with temperature T.We choose c ee =cqi , Tc is the critical temperature at which the conductivity drops with temperature.Reproduced with permission from Ref.[73].

能谷間的散射和關(guān)聯(lián)也會(huì)導(dǎo)致弱局域化, 如圖6(b)所示, 隨著 ηI的增加, 負(fù)的 δ σqi被抑制.此外, 圖6(c)顯示, 當(dāng) ηI+η?=3/2 時(shí), 磁導(dǎo)可以變?yōu)檎? 即局域化趨勢(shì).因此, 強(qiáng)的能谷間散射和關(guān)聯(lián)的結(jié)合將增強(qiáng)無(wú)序外爾半金屬的局域化傾向并可能導(dǎo)致金屬-絕緣體相變[39].

4.3 節(jié)線半金屬中的弱(反)局域化

模型(15)具有兩個(gè)基本的對(duì)稱性[147], 即=H(?k) 和=H(?δk) , 其中T1=K , T2=iτyK 為時(shí)間反演, k 是復(fù)共軛算符,δk=κ(cos φ,sin φ/α).由表1 可知, T1和 T2分別對(duì)應(yīng)于正交和辛對(duì)稱類, 分別導(dǎo)致弱局域化和弱反局域化(圖9(b)—圖9(c)).簡(jiǎn)單起見, 考慮低能激發(fā)即 EF相對(duì)較小, 費(fèi)米面的主半徑滿足k0?1/rsc?κ , rsc為散射勢(shì)的范圍.此時(shí)不同的散射態(tài)k之間可以用一個(gè)單一的參數(shù) θ 來(lái)描述, 即uk=u(θ)=u0fΔ(θ) , 其中 fΔ(x)=Θ(x+Δ)Θ(?x+Δ) ,Θ(x) 為階躍函數(shù).當(dāng) Δ =π 時(shí)為短程散射極限,Δ →0時(shí)為長(zhǎng)程散射極限.

與第4.1 節(jié)類似, 在文獻(xiàn)[147]中我們利用費(fèi)曼圖方法計(jì)算了電導(dǎo)率的量子干涉修正, 計(jì)算中主要包括了三個(gè)領(lǐng)頭階的圖[195,196].對(duì)于零溫電導(dǎo)率,總的量子修正為

圖9 (a)節(jié)線半金屬的輪胎狀費(fèi)米面, 小半徑 κ , 主半徑k0, 極向角 φ , 環(huán)面角 θ ; (b)對(duì)于短程雜質(zhì)勢(shì)導(dǎo)致在環(huán)形方向上產(chǎn)生從 k 到 ? k 的相干背散射; (c)在長(zhǎng)程雜質(zhì)勢(shì)作用下, 沿極向的 δ k 到 ? δk 的散射, 此過(guò)程積累一個(gè)大小為π的貝里相位.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[147]Fig.9.(a) Torus-shaped Fermi surface of nodal-line semimetals, with minor radius κ , major radius k0 , poloidal angle φ, and toroidal angle θ ; (b) a coherent backscattering from wave vector k to ? k around the toroidal direction for shortranged impurity potentials; (c) backscattering from wave vector δ k to ? δk along the poloidal direction under long-ranged impurity potentials.The process contributs a π Berry phase.Reproduced with permission from Ref.[147].

其中 s =2 為自旋簡(jiǎn)并度, ηz=2 是對(duì)速 度的 頂點(diǎn)修正.推遲(R)和超前(A)格林函數(shù)利用一階波恩近似求解得到, 即是彈性散射的弛豫時(shí)間, 其中=是最大交叉圖的Cooperon[204].在短程散射極限下 Δ =π , 最主要的散射路徑為(k1,k2,··· ,kn) 及其時(shí)間反演(?kn,··· ,?k2,?k1)(圖9(b)), 需要指出的是, 這些路徑?jīng)]有包圍節(jié)線,即不會(huì)積累貝里相位.直流極限下(ω →0)[147]

長(zhǎng)程極限時(shí) Δ →0 , 量子干涉修正主要由路徑(δk1,δk2,··· ,δkn) 和 (?δkn,··· ,?δk2,?δk1) 所貢獻(xiàn)(圖9(c)), 此路徑由于包圍節(jié)線會(huì)積累一個(gè)大小為π的貝里相位.類似地可以得到[147]

引入磁場(chǎng)后, 退相干機(jī)制抑制了無(wú)序誘導(dǎo)的電導(dǎo)率量子修正[204].在短程極限下得到磁導(dǎo)率為

類似地在長(zhǎng)程極限下

其中 Ψ (x) 為雙伽馬函數(shù).圖10 給出了(33)式和(34)式對(duì)磁導(dǎo)率的理論預(yù)測(cè).短程極限下弱局域化效應(yīng)導(dǎo)致正的磁導(dǎo)(圖10(a)), 而在長(zhǎng)程極限下的弱反局域化效應(yīng)導(dǎo)致了負(fù)的磁導(dǎo)(圖10(b)).實(shí)驗(yàn)中可以通過(guò)對(duì)溫度的調(diào)節(jié)來(lái)控制相位相干長(zhǎng)度l?的大小以匹配不同的曲線, 在低溫及 B ～0.1 —1.0 T時(shí), 由于 l?～100 nm—1 μm, lB～10 nm, 即 l??lB.通常, 與3D 擴(kuò)散相比, 2D 擴(kuò)散會(huì)導(dǎo)致更大的弱局域化或弱反局域化效應(yīng).此外, 節(jié)線半金屬的3D 擴(kuò)散行為可以視為大量的2D 有效子系統(tǒng), 導(dǎo)致磁導(dǎo)率的顯著提高[205].實(shí)際上, 在圖10 中可以觀察到,大3 個(gè)數(shù)量級(jí), 這表明弱反局域化效應(yīng)在節(jié)線半金屬的長(zhǎng)程散射極限下是個(gè)非常強(qiáng)的特征.

圖10 不同相位相干長(zhǎng)度 l? 下的磁導(dǎo)率, 短程極限(a)和長(zhǎng)程極限(b)分別對(duì)應(yīng)(33)式和(34)式.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[147]Fig.10.The magnetoconductivity in the (a) short range limit Eq.(33) and (b) long range limit Eq.(34) for different phase coherence lengths l?.Reproduced with permission from Ref.[147].

4.4 拓?fù)浣^緣體中的弱(反)局域化

基于費(fèi)曼圖方法我們計(jì)算了拓?fù)浣^緣體磁摻雜表面態(tài)的磁導(dǎo)[71], 磁摻雜的引入以兩種方式影響了體系的性質(zhì), 首先磁性雜質(zhì)導(dǎo)致的平均場(chǎng)在狄拉克點(diǎn)處打開能隙, 其次平均場(chǎng)的局部漲落以隨機(jī)方式散射表面態(tài)電子.經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn), 除了無(wú)能隙狄拉克費(fèi)米子產(chǎn)生的弱反局域化效應(yīng), 能隙的打開導(dǎo)致了額外的弱局域化項(xiàng), 隨著能隙的進(jìn)一步增加將使體系展現(xiàn)出完全的弱局域化.

零溫磁導(dǎo)公式為

其中Ψ是雙伽馬函數(shù),

對(duì)非磁性摻雜的拓?fù)浣^緣體的電子輸運(yùn)實(shí)驗(yàn)展現(xiàn)出非常大的矛盾[206?209], 磁導(dǎo)率隨磁場(chǎng)的增加而下降, 即展現(xiàn)出反局域化的行為(圖11(a)紅色曲線).然而, 當(dāng)溫度降低時(shí), 測(cè)得的電導(dǎo)率呈對(duì)數(shù)下降, 顯示出普通無(wú)序金屬中弱局域化的典型特征(圖11(b)藍(lán)色曲線).為了引入溫度的效應(yīng), 我們考慮電子-電子相互作用對(duì)電導(dǎo)率的修正[72]:

圖11 (a)磁導(dǎo)率 δ σ ≡σ(B)?σ(0) 與磁場(chǎng) B 的關(guān)系; (b) 電導(dǎo)率 σ 與溫度 T 的關(guān)系.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[72]Fig.11.The magnetoconductivity δ σ ≡σ(B)?σ(0) ;(b) conductivity σ vs temperature T.Reproduced with permission from Ref.[72].

ε0是真空介電常數(shù), εr是考慮晶格離子和價(jià)電子影響的相對(duì)介電常數(shù),.電導(dǎo)率公式是溫度T和磁場(chǎng) B 的函數(shù), 并且依賴于狄拉克模型參數(shù)Δ/(2EF) 和 γ , 以及與樣品相關(guān)的參數(shù) le,l?,F.(38)式明確闡明了由相互作用主導(dǎo)的電導(dǎo)率的溫度依賴性, 而磁導(dǎo)率主要由量子干涉貢獻(xiàn), 解決了拓?fù)浣^緣體輸運(yùn)實(shí)驗(yàn)上的矛盾.

5 弱磁場(chǎng)

5.1 拓?fù)浒虢饘僦械呢?fù)磁阻和平面霍爾效應(yīng)

在拓?fù)浒虢饘僦蟹瞧接沟呢惱锴士梢詫⑼獠看艌?chǎng)與電子速度耦合, 產(chǎn)生隨著磁場(chǎng)的增加而增長(zhǎng)的額外導(dǎo)電性[28,29].由于它與成對(duì)外爾點(diǎn)之間的手征電荷轉(zhuǎn)移相關(guān), 負(fù)磁阻也被認(rèn)為是手征反常的一個(gè)特征[26,210,211].許多拓?fù)浒虢饘俨牧现卸加^察到了負(fù)磁阻現(xiàn)象[41?43,46,55?57,60,61,63,66,68].除了在縱向磁場(chǎng)下產(chǎn)生隨磁場(chǎng)增大的手征電流以外, 最近的理論發(fā)現(xiàn), 外爾半金屬中可以存在平面霍爾效應(yīng)[212,213], 即磁場(chǎng)平行于電場(chǎng)時(shí)橫向有電荷積累即產(chǎn)生霍爾電導(dǎo)率 σyx.不同于經(jīng)典的霍爾效應(yīng), 平面霍爾效應(yīng)不是由洛倫茲力導(dǎo)致的, 因此吸引了很多理論和實(shí)驗(yàn)的關(guān)注[214?216].文獻(xiàn)[217]研究了普通外爾半金屬和傾斜外爾半金屬中的平面霍爾效應(yīng), 相比于前者, 傾斜外爾半金屬的縱向電導(dǎo)率σxx和霍爾電導(dǎo)率 σyx均給出了不同的磁場(chǎng) B 依賴關(guān)系.

我們從電子的半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程開始[95,218?220]:

其中 Dk=1+(e/?)B·?k是對(duì)相空間體積的修正項(xiàng), 包含 ? 的各項(xiàng)分別導(dǎo)致了反常霍爾效應(yīng)[221?223]、手征磁效應(yīng)[36]、以及負(fù)磁阻[28,29].

由于電導(dǎo)率是流-流關(guān)聯(lián)(圖5(a)), 速度與B的線性相關(guān)性導(dǎo)致電導(dǎo)率的 B2相關(guān)性.在2.1 節(jié),已經(jīng)證明貝里曲率與 1 /k2成正比.考慮到電導(dǎo)率公式的3D 積分中存在 ?2以及 k2, 則反常電導(dǎo)率部分應(yīng)與費(fèi)米波矢成反比, 與 B2成正比, 即

(41)式與文獻(xiàn)[28,29]中得到的公式是一致的.電導(dǎo)率隨著 B2的增加而增加, 產(chǎn)生負(fù)磁阻.由于非平庸的貝里曲率在外爾點(diǎn)處發(fā)散, 電導(dǎo)率隨費(fèi)米波矢和載流子密度的減小而增大.3D 時(shí), 載流子密度n與成正比, 即

因此, 為了驗(yàn)證非平庸貝里曲率的負(fù)磁阻特性, 有必要對(duì)三個(gè)性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn), 即角度依賴性、B2的磁場(chǎng)依賴性以及 n?2/3的載流子密度依賴性.在實(shí)驗(yàn)[61]中, 通過(guò)比較不同樣品的結(jié)果檢驗(yàn)了磁阻對(duì)載流子密度的依賴性.

在半經(jīng)典區(qū)域, 電流密度矢量為[95]

括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)表示電場(chǎng) E 沿著 v 的分量引起的載流子分布偏離, 第二項(xiàng)表示手征化學(xué)勢(shì)導(dǎo)致的偏離.

對(duì)于由最小有效模型(7)描述的外爾半金屬,由于手征化學(xué)勢(shì)的影響, 電子通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的共同作用從一個(gè)外爾錐轉(zhuǎn)移到另一個(gè)手性相反的錐.如(44)式所示, 偏離平衡分布的這部分與 B ·E 成正比, 即當(dāng) B 和 E 不垂直時(shí), 與磁場(chǎng)的大小成正比.在沒有傾斜的情況下, 外爾錐在空間上是均勻的,并且速度 v 的大小在費(fèi)米面上沒有變化, 因此 v 在單個(gè)外爾錐的貢獻(xiàn)為零.而且由于電子分布的偏離, 與磁場(chǎng) B 成正比的反常速度項(xiàng) (?k·v)B 對(duì)兩個(gè)外爾錐的影響不能相互抵消.手征化學(xué)勢(shì)和反常速度的共同作用導(dǎo)致了 B2依賴的電流密度矢量(43)式, 其縱向分量導(dǎo)致了磁場(chǎng)平方依賴的縱向磁導(dǎo)率 σxx, 即手征反常.它的橫向分量產(chǎn)生了磁場(chǎng)平方依賴的霍爾電導(dǎo)率 σyx, 即平面霍爾效應(yīng).

對(duì)于傾斜的外爾半金屬, 其中一個(gè)外爾點(diǎn)上的最小有效模型可以寫為[217]

其中參數(shù) t 為描述傾斜程度的矢量, 當(dāng)|t|＜v 時(shí)該模型描述Ⅰ型外爾半金屬, 以下討論主要基于此類體系.

引入傾斜項(xiàng)后兩個(gè)具有相反手性的外爾錐沿著相反的方向發(fā)生傾斜.假設(shè) E 沿著傾斜的方向,(44)式括號(hào)中第一項(xiàng)顯示了由電場(chǎng) E 導(dǎo)致的分布偏離.因此, 兩個(gè)外爾錐中占據(jù)態(tài)的反常速度的貢獻(xiàn)不會(huì)抵消.但這一項(xiàng)不依賴于磁場(chǎng) B , 只有反常速度項(xiàng) (?k·v)B 線性依賴于磁場(chǎng) B , 由此導(dǎo)致的縱向和橫向電流分別產(chǎn)生了線性依賴于磁場(chǎng)的σxx和 σyx.考慮到(44)式括號(hào)中第二項(xiàng)手征化學(xué)勢(shì)的影響后, 不同于普通外爾半金屬, 此時(shí) v 的大小在費(fèi)米面上是變化的, 即 v 在單個(gè)外爾錐上的貢獻(xiàn)不會(huì)相互抵消.只要 B 和 E 不垂直, 則手征化學(xué)勢(shì)導(dǎo)致的載流子分布偏離正比于磁場(chǎng)的大小.導(dǎo)致除了由反常速度引起的2 次依賴于磁場(chǎng)的項(xiàng)外進(jìn)一步產(chǎn)生了線性依賴于磁場(chǎng)的 σxx和 σyx.

文獻(xiàn)[217]進(jìn)一步分析了磁場(chǎng)的角度和相空間體積的修正對(duì)電子輸運(yùn)的影響, 并指出該半經(jīng)典理論可以推廣到Ⅱ型外爾半金屬, 為未來(lái)可能的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提供指導(dǎo).

5.2 拓?fù)浣^緣體中的負(fù)磁阻

拓?fù)浒虢饘僦械氖终鞣闯26,210,211]被廣泛認(rèn)為是產(chǎn)生負(fù)磁阻的原因[41?43,46,55,56,60,61,63,65,66,68,224].然而, 在無(wú)法定義手征的拓?fù)浣^緣體中, 也可以觀察到負(fù)磁阻現(xiàn)象, 這導(dǎo)致了對(duì)負(fù)磁阻進(jìn)行理論解釋的巨大混亂[152?155,225?228].在文獻(xiàn)[80]中, 我們使用具有貝里曲率和軌道磁矩修正后的半經(jīng)典玻爾茲曼方程來(lái)解釋拓?fù)浣^緣體中的負(fù)磁阻, 并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了定量的比較(圖12).

實(shí)驗(yàn)中, 負(fù)磁阻存在于 T =100 K[154]的溫度以上, 因此可以排除量子干涉機(jī)制.此外, 由于拓?fù)浣^緣體Bi2Te3和Bi2Se3[229]的遷移率較差, 當(dāng)磁場(chǎng)達(dá)到6 T 時(shí), 朗道能級(jí)不能很好地形成.半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程(39)的速度項(xiàng)為

圖12 理論計(jì)算的負(fù)磁阻與實(shí)驗(yàn)[152?154]的比較.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[80]Fig.12.The comparison between the theoretical negative magnetoresistance and the experiments[152?154].Reproduced with permission from Ref.[80].

在玻爾茲曼理論中, 縱向電導(dǎo)率 σμμ由穿過(guò)費(fèi)米能級(jí)的所有能帶決定, 對(duì)于能帶 n[223],

其中 feq是平衡態(tài)的費(fèi)米分布, 弛豫時(shí)間 τ 假定為常數(shù)[29].

圖12 表明了負(fù)磁阻的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果之間的一致性.在實(shí)驗(yàn)[152]中, 溫度為1.8 K, 因此原始數(shù)據(jù)在零場(chǎng)附近具有正磁阻, 這是由弱反局域化導(dǎo)致的[206,208,230?233].在實(shí)驗(yàn)[153,154]中負(fù)磁阻隨溫度變化不大這與理論保持一致, 顯示了負(fù)磁阻的半經(jīng)典性質(zhì).在大多數(shù)使用半經(jīng)典輸運(yùn)理論研究磁阻的文獻(xiàn)中, 軌道磁矩均被忽略[28,223].如文獻(xiàn)[234,235],軌道磁矩對(duì)于外爾半金屬中磁阻的各向異性是必不可少的.文獻(xiàn)[80]表明, m ·B 對(duì) ε (k) 的修正可以有效地增加負(fù)磁阻.

其他的一些工作工作[236,237]發(fā)展了一般3D 非磁性金屬的具有二階精度的半經(jīng)典理論.這些工作給出了幾個(gè)令人驚訝的結(jié)果.首先, 由于 δ σint/σ0與弛豫時(shí)間無(wú)關(guān), 存在本征磁導(dǎo) δ σint.第二, 顯著的δσint項(xiàng)可能導(dǎo)致對(duì)科勒規(guī)則的偏離.第三, δ σint可能導(dǎo)致正的縱向磁導(dǎo).在僅占據(jù)最低朗道能帶的量子極限下, 磁阻微妙地依賴于散射機(jī)制[74,76,238], 而不是貝里曲率和軌道磁矩.最近的理論工作[227,239]為理解負(fù)磁阻提供了新的觀點(diǎn).值得注意的是文獻(xiàn)[240]利用格林函數(shù)方法系統(tǒng)地計(jì)算了有質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子在磁場(chǎng)下的輸運(yùn)行為, 該理論給出了負(fù)的且正比于 B2的縱向磁阻, 這一結(jié)論有望澄清長(zhǎng)久以來(lái)對(duì)拓?fù)湮飸B(tài)中負(fù)磁阻解釋的困難.

6 強(qiáng)磁場(chǎng)

6.1 外爾和狄拉克半金屬中的量子振蕩

由2.1 節(jié)可知, 在 z 方向的磁場(chǎng)中能譜演化為一系列1D 的朗道能帶[74,76](圖2), 這導(dǎo)致了電阻的SdH 振蕩.一般用栗弗席茲-科塞維奇(Lifshitz–Kosevich)公式[241]來(lái)描述:

式中, ? 為相移, F 為振蕩頻率, B 為磁場(chǎng)大小.每個(gè)頻率分量的相移為 ? 1/2+?B/2π+?3D, 其中?3D=?1/8 為僅針對(duì)3D 的修正, ?B為貝里相位[95,242].費(fèi)米面沿磁場(chǎng)方向的曲率決定了 ?3D的符號(hào)[243,244].拓?fù)湮飸B(tài)為探索非平庸貝里相位提供了一個(gè)新的平臺(tái)[50?52,54,67,245?255].拓?fù)浒虢饘僦芯哂蓄~外大小為 π 的貝里相位[122,242], 因此在2D 和3D 體系中相移分別為 0[256]和 ± 1/8[257].在文獻(xiàn)[77]中, 我們發(fā)現(xiàn)在栗弗席茲點(diǎn)附近, 量子振蕩的相移可以超過(guò)一般的 ± 1/8 或 ± 5/8 , 并且非單調(diào)地向更寬范圍 ± 7/8 和 ± 9/8 之間移動(dòng).到目前為止, 在HfSiS[258?264], ZrSi(Se/Te)[265]和ZrGe(S/Se/Te)[266]中對(duì)量子振蕩都進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究, 但它們的相移并不相同.表2 總結(jié)了具有線性和拋物線色散的 2 維和 3 維能帶的相移.

表2 對(duì)于具有不同色散和維度的系統(tǒng), (48)式中的相移 ?.B z 和 B // 是節(jié)線平面內(nèi)外的磁場(chǎng).α , β , γ , δ 對(duì)應(yīng)于圖14 中費(fèi)米面的截面.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[79]Table 2.For systems with different dispersion and dimensions, the phase shift φ in Eq.(48).B z and B // are magnetic fields outside and inside the nodal-line plane.α , β ,γ , and δ correspond to the cross sections of Fermi surface in Fig.14.Reproduced with permission from Ref.[79].

實(shí)驗(yàn)中, 在 B 軸上的峰值位置或谷值位置給出整數(shù)朗道指數(shù) n , 進(jìn)而從 n 和 1 /B 的圖中得到相移和頻率 F.盡管如此, 對(duì)于是峰值[50?52,66,67,246,257]還是谷值[54,248,251,267]應(yīng)該被賦予朗道指數(shù)尚不明晰.我們的計(jì)算結(jié)果表明, 在朗道能帶邊緣出現(xiàn)了與整數(shù)朗道指數(shù)對(duì)應(yīng)的電阻率 ρzz和 ρxx的峰值.利用線性響應(yīng)理論[268?271]估算電阻率分量[272,273].對(duì)于縱向情況, 電阻率 ρzz= 1 /σzz.在帶邊附近, 電導(dǎo)率 σzz呈現(xiàn)谷值, 因此 ρzz呈現(xiàn)峰值.對(duì)于橫向情況,, 縱向電導(dǎo)率和場(chǎng)致霍爾電導(dǎo)率分別為

式中 δ ?1 為振蕩部分, σ0為零場(chǎng)電導(dǎo)率.通過(guò)詳細(xì)分析[74,269,274]可知, 峰的位置遵循關(guān)系式ρzz～, 因 此 ρzz和 ρxx在朗道能帶邊緣出現(xiàn)的峰及其相移是相同的.

由圖13 可見, 數(shù)值結(jié)果與理論分析預(yù)測(cè)高度一致.定義 EA=Akw和對(duì)于隨著拍頻模式的出現(xiàn), ? -EF曲線開始出現(xiàn)斷裂.在圖13(c)中, 對(duì)于 EA＜EM相移降到 ? 5/8 以下, 而不是在栗弗席茲點(diǎn)周圍從–1/8 單調(diào)地移到–5/8(即EF=EM), 這是因?yàn)闆]有簡(jiǎn)單的依賴關(guān)系[77].在栗弗席茲點(diǎn), 可以解析地證明相移為 ? 9/8 , 這與圖13(c)中的相移一致.它相當(dāng)于 ? 1/8 , 通常認(rèn)為它起源于大小為 π 的貝里相位.

由(11)式描述的狄拉克半金屬具有時(shí)間反演對(duì)稱性[105,275]].對(duì)于狄拉克半金屬, 總相移可以取兩個(gè)值, α ∈[0,1/4] 和 [3/4,1] 時(shí)為 ? 1/8 , α ∈[1/4,3/4] 為 ? 5/8.在栗弗席茲點(diǎn)附近, 總相移可能在兩個(gè)值之間變化.

一般情況下電子載流子應(yīng)該產(chǎn)生負(fù)相移, 空穴載流子應(yīng)該產(chǎn)生正相移[257].然而, 在狄拉克半金屬Cd3As2的實(shí)驗(yàn)中, 電子載流子的相移為正值[50,51,54].一種可能的解釋是, 對(duì)于實(shí)驗(yàn)中的相移1/8—3/8,由于 2π 的周期性它們的實(shí)際值應(yīng)為–7/8—–5/8.表3 列出了相移實(shí)驗(yàn)值的對(duì)應(yīng)項(xiàng).在文獻(xiàn)[77]中,除了軌道量子干涉[276]、塞曼劈裂[52,247,277]和費(fèi)米面嵌套[51]等機(jī)制, 我們還證明了由于能帶反轉(zhuǎn)而出現(xiàn)的拍頻模式.

表3 從Cd3As2 的實(shí)驗(yàn)中得到的相移 ? exp.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[77]Table 3.The phase shift ? exp obtained from the experiment of Cd3As2.Reproduced with permission from Ref.[77].

6.2 節(jié)線半金屬中的量子振蕩

對(duì)于節(jié)線半金屬無(wú)論是面內(nèi)還是面外, 輪胎狀費(fèi)米面都具有最大截面和最小截面.其次, 貝里相位沿與節(jié)線平行的圓為0, 沿包圍節(jié)線的圓為 π.根據(jù)昂薩格關(guān)系得到, 其中 A 是費(fèi)米面上垂直于磁場(chǎng)的極值截面面積.當(dāng)節(jié)線平面垂直于磁場(chǎng), 即磁場(chǎng)取 Bz時(shí), kz=0 平面上有兩個(gè)極值截面(圖14(b)).通過(guò)理論分析發(fā)現(xiàn), 外圓的高頻項(xiàng)為, 內(nèi)圓的低頻項(xiàng)為Fβ=m(u?EF)/(?e).這兩個(gè)頻率可能導(dǎo)致拍頻模式的出現(xiàn)[278].在文獻(xiàn)[79]中, 通過(guò)分析電阻率的計(jì)算結(jié)果得到了節(jié)線半金屬的相移和頻率.需要指出的是, 當(dāng)保護(hù)節(jié)線的對(duì)稱性破缺時(shí), 出現(xiàn)大小為Δ的能隙將導(dǎo)帶和價(jià)帶分開, 此時(shí)貝里相位為表4 進(jìn)一步總結(jié)了隨機(jī)情況下相移的一般規(guī)則, 這些一般的規(guī)則可以幫助分析一些其他的材料, 例如ZrSiS 和Cu3PdN[259?264].

圖13 對(duì)于(1)式描述的外爾半金屬, 數(shù)值(散點(diǎn))和解析(實(shí)線)得到的頻率 F 的曲線 (a)固定 M 對(duì)應(yīng)不同的 A ; (b)固定A對(duì)應(yīng)不同的 M.(c)固定 E M 不同的 E A 對(duì)應(yīng)的相移 ? 的曲線.曲線斷裂是因?yàn)樵谂念l模式出現(xiàn)時(shí), F 和 ? 無(wú)法擬合.垂直虛線表示栗弗席茲點(diǎn).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[77]Fig.13.For the Weyl semimetal described in Eq.(1), the frequency F obtained by numerical (scatters) and analytical (solid curves): (a) Fixed M corresponds to different A ; (b) fixed A corresponds to different M.(c) Fixed E M , for different E A corresponds to the curve of phase shift ?.The curve breaks because F and ? can not fit when beating patterns occur.The vertical dashed lines represents the Lifshitz point.Reproduced with permission from Ref.[77].

對(duì)于節(jié)線半金屬, 大多數(shù)量子振蕩實(shí)驗(yàn)都是針對(duì)ZrSiS 族材料[258?266], 其中費(fèi)米能處既有電子型也有空穴型口袋[140,141,259,264].文獻(xiàn)[79]進(jìn)一步分析了Cu3PdN[120,121]的相移.

圖14 (a) (17)式中節(jié)線半金屬的節(jié)線(虛線環(huán)), 輪胎狀和鼓形費(fèi)米面, E F 是費(fèi)米能, u 是模型參數(shù); (b)輪胎狀費(fèi)米面在節(jié)線平面內(nèi)的最大(α)和最小(β)截面; (c)輪胎狀費(fèi)米面在節(jié)線平面外的最大(γ)和最小(δ)截面.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[79]Fig.14.(a) In the model of nodal-line semimetal Eq.(17),the nodal line (dashed ring), torus and drum Fermi surface,EF is Fermi energy, u is model parameter; (b) the maximum(α) and minimum (β) cross sections of the torus Fermi surface; (c) the maximum (γ) and minimum (δ) cross sections of the Fermi surface outside the nodal-line plane.Reproduced with permission from Ref.[79].

表4 節(jié)線半金屬的相移 ?.α ,β,γ,δ 是圖14 中的極值截面.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[79]Table 4.The phase shift ? of the nodal-line semimetal.α ,β,γ,δ are the extremal cross sections in Fig.14.Reproduced with permission from Ref.[79].

6.3 3D 量子霍爾效應(yīng)

2D 量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)打開了拓?fù)湮飸B(tài)領(lǐng)域的大門[157,279].在3D 電子氣中, 由于沿磁場(chǎng)方向的波矢 k 是好量子數(shù), 量子霍爾效應(yīng)通常只能在2D系統(tǒng)中觀察到[157,256,280?282].在文獻(xiàn)[78,283]中, 我們描述了拓?fù)浒虢饘僦械?D 量子霍爾效應(yīng).拓?fù)浒虢饘僭谄叫杏谕鉅桙c(diǎn)方向的表面處有拓?fù)浔Ｗo(hù)的表面態(tài), 即費(fèi)米弧[284,285?288](圖15(a)和圖15(b)).

圖15 (a)外爾半金屬中的費(fèi)米弧和體態(tài)的色散, k // 表示 (kx,ky) ; (b)在 k z-kx 平面上 y =L/2 , E F =Ew 處的費(fèi)米弧; (c)寬度為 W , 厚度為 L 的外爾半金屬板; (d)在EF = 處的費(fèi)米弧(實(shí)線); 波函數(shù)在 處沿 y 軸的分布; (h) 3D 量子霍爾效應(yīng)中的朗道能級(jí)和邊緣態(tài);(i)單一表面的電子無(wú)法被y 方向的磁場(chǎng) B 驅(qū)動(dòng)完成一個(gè)完整的回旋運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[78,283]Fig.15.(a) The energy dispersions of the Fermi arc and bulk states in a Weyl semimetal, k // stands for (kx,ky) ;(b) the Fermi arc at y =L/2 and E F =Ew in the kz-kx plane; (c) a Weyl semimetal slab with width W and thickness L; (d) Fermi arc (solid) at the distribution of wave function along y -axis at k z =0 ; (h) the Landau levels and edge states in the 3D quantum Hall effect; (i) an electron in single surface could not be driven in a y-direction magnetic field B to perform a complete cyclotron motion.Reproduced with permission from Refs.[78,283].

單一表面上, 費(fèi)米弧無(wú)法形成一個(gè)閉合的費(fèi)米環(huán), 而這一點(diǎn)對(duì)量子霍爾效應(yīng)至關(guān)重要.然而, 在外爾半金屬中, 來(lái)自相反表面的費(fèi)米弧(圖15(c))可以形成所需的閉合費(fèi)米環(huán)(圖15(d)).電子通過(guò)外爾點(diǎn)在相對(duì)表面的費(fèi)米弧之間實(shí)現(xiàn)隧穿(圖15(e)—圖15(g)), 通過(guò)這一機(jī)制電子可以完成完整的回旋運(yùn)動(dòng), 從而實(shí)現(xiàn)3D 量子霍爾效應(yīng).在實(shí)際材料中,隧穿距離受平均自由程的限制, 在高遷移率的拓?fù)浒虢饘賉60,103]中, 平均自由程大約為 1 00 nm , 在一些材料中甚至可以達(dá)到 1 μm[289], 在我們的計(jì)算中塊體厚度為100 nm.為使量子霍爾效應(yīng)僅來(lái)自費(fèi)米弧的貢獻(xiàn)需將費(fèi)米能級(jí)調(diào)到外爾點(diǎn)上來(lái)耗盡體態(tài)載流子[290].外爾半金屬TaAs 家族[291?295]和狄拉克半金屬Cd3As2和Na3Bi 具有量子霍爾效應(yīng)所要求的極高遷移率[46,48,50,51,54]、低載流子密度[224]等特性.通過(guò)費(fèi)米弧的3D 量子霍爾效應(yīng)預(yù)計(jì)可以存在于Cd3As2[224,296?298], Na3Bi 以及TaAs家族的材料中[61,290].

根據(jù)久保(Kubo)公式, 我們計(jì)算了霍爾電導(dǎo)[78,299?303].當(dāng)費(fèi)米能遠(yuǎn)離外爾點(diǎn)時(shí), 霍爾電導(dǎo)服從通常的 1 /B 依賴關(guān)系.當(dāng)費(fèi)米能向外爾點(diǎn)移動(dòng)時(shí), 開始出現(xiàn)的量子化平臺(tái).

從圖15(c)可見, 費(fèi)米弧的邊界態(tài)具有獨(dú)特的3D 空間分布.具體而言, 上邊界態(tài)向左傳播(綠色箭頭), 下邊界態(tài)向右傳播(橙色箭頭).這種費(fèi)米弧邊緣態(tài)的獨(dú)特3D 分布可以通過(guò)掃描隧道顯微鏡[304]或微波阻抗顯微鏡[305]來(lái)探測(cè).與拓?fù)浣^緣體[281,282]不同, 基于費(fèi)米弧的量子霍爾效應(yīng)需要兩個(gè)表面的共同作用.最近的工作[306]系統(tǒng)地探討了外爾半金屬中3D 量子霍爾效應(yīng)的邊緣態(tài)圖像.外爾半金屬中不同手性外爾點(diǎn)處的速度相反, 強(qiáng)磁場(chǎng)使體態(tài)進(jìn)入手征朗道能帶, 這一點(diǎn)顯著地影響了邊緣態(tài)的載流子輸運(yùn).除了上下表面的費(fèi)米弧通過(guò)隧穿形成一個(gè)閉環(huán)[78]外, 在磁場(chǎng)作用下拓?fù)浒虢饘僦羞€觀察到其他奇異的量子霍爾現(xiàn)象[296,307,308].在垂直磁場(chǎng) B 中, 基于半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程從理論上給出了邊緣態(tài)的閉合3D 軌道.在 x 方向, 由于手征朗道能帶的影響, 上(下)表面費(fèi)米弧態(tài)的半圓軌道形成跳躍邊緣態(tài).在 z 方向, 手征朗道能帶和側(cè)面的費(fèi)米弧態(tài)共同構(gòu)成閉合軌道.此外, 由于手征朗道能帶沿磁場(chǎng)方向色散, 邊緣態(tài)的量子通道可以由傾斜的磁場(chǎng)控制, 導(dǎo)致邊緣態(tài)的分布和霍爾電導(dǎo)的行為發(fā)生了顯著的變化.當(dāng)調(diào)整 Bz并保持 By不變時(shí), 邊緣態(tài)的位置會(huì)從一側(cè)變化到另一側(cè), 霍爾電導(dǎo)也隨之改變符號(hào).文獻(xiàn)[306]利用數(shù)值方法進(jìn)一步分析了局域態(tài)密度分布, 以及霍爾電導(dǎo)隨磁場(chǎng)大小和方向的變化.

3D 量子霍爾效應(yīng)也可以由電荷密度波(CDW)機(jī)制[309]實(shí)現(xiàn), 最近在ZrTe5[310]的實(shí)驗(yàn)中觀察到了這一機(jī)制, 并看到了清晰的量子化平臺(tái).在文獻(xiàn)[87]中我們?cè)敿?xì)地探討了這一機(jī)制, 并給出了一個(gè)完備的理論可以解釋實(shí)驗(yàn)的主要特征.我們發(fā)現(xiàn)電荷密度波可以在1D 的朗道能帶上產(chǎn)生, 而且強(qiáng)烈依賴于磁場(chǎng)的大小.磁場(chǎng)誘導(dǎo)了3D 電子氣向電荷密度波相的二階相變, 導(dǎo)致朗道能帶打開一個(gè)能隙從而使體態(tài)絕緣, 即3D 電子氣變?yōu)橐幌盗械?D 量子霍爾態(tài), 從而實(shí)現(xiàn)3D 量子霍爾效應(yīng)（圖16）.

通過(guò)沿 z 方向的電子-電子或電子-聲子相互作用, 可使 kF和 ? kF附近的電子之間產(chǎn)生耦合從而打開電荷密度波能隙(由序參量 Δ 描述).電子-電子相互作用為[311,312]

圖16 左圖: 2D 電子氣在磁場(chǎng)中形成量子霍爾態(tài).中間圖: 3D 時(shí)朗道能級(jí)變?yōu)橐幌盗?D 的朗道能帶.右圖:電荷密度波使朗道能帶打開能隙, 使體態(tài)絕緣, 可以觀察到3D 量子霍爾效應(yīng).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[87]Fig.16.Left: the quantum Hall state in 2D electron gas under magnetic field.Center: in 3D, the Landau levels turn to one dimensional Landau bands.Right: the charge density wave gap the Landau band, so that the bulk is insulating and the 3D quantum Hall effect can be observed.Reproduced with permission from Ref.[87].

在實(shí)驗(yàn)中, 霍爾電阻率的平臺(tái)覆蓋了1.7—2.1 T 的較寬范圍, 以 (e2/h) 為單位的霍爾電導(dǎo)率由電荷密度波的層數(shù)決定.電荷密度波波長(zhǎng) λcdw與費(fèi)米波長(zhǎng)相關(guān):

在1.7—2.1 T 之間觀察到的 ρxx平臺(tái)意味著存在公度的電荷密度波, 即電荷密度波波長(zhǎng)與晶格常數(shù)a的整數(shù)倍相稱.通過(guò)比較公度和非公度的電荷密度波在2.1 T 附近的基態(tài)能量, 發(fā)現(xiàn)對(duì)于公度和非公度的電荷密度波在磁場(chǎng)分別在 [1.7,2.1] T 以及[2.1,3.0] T 的區(qū)間時(shí)具有較低的能量, 因此在兩種電荷密度波之間存在交叉.在 B ∈[1.7,2.1] T 范圍內(nèi)固定的 λcdw表示費(fèi)米能不變, 即系統(tǒng)屬于巨正則系綜載流子的數(shù)量可以改變.相比之下, 非公度電荷密度波中的載流子數(shù)量不能改變.因此, 電子能量的變化導(dǎo)致 B ∈[1.7,2.1] T 范圍內(nèi)公度的電荷密度波基態(tài)能量降低.進(jìn)一步將磁場(chǎng)增加到2.1 T 以上, 磁場(chǎng)將把費(fèi)米能推得更低(最終到達(dá)帶底), 進(jìn)一步說(shuō)明由磁場(chǎng)誘導(dǎo)的電荷密度波存在從公度到非公度的交叉.

7 極強(qiáng)磁場(chǎng)

7.1 量子極限下的負(fù)磁阻

選擇隨機(jī)高斯勢(shì)來(lái)探討量子極限下無(wú)序散射對(duì)磁阻的影響

式中, ui表示隨機(jī)分布雜質(zhì)在 Ri處的散射強(qiáng)度, d是確定散射勢(shì)范圍的參數(shù).雜質(zhì)勢(shì)范圍 d 和磁長(zhǎng)度lB定義了兩個(gè)區(qū)域, 長(zhǎng)程勢(shì)區(qū)域 d ?lB和短程勢(shì)極限 d ?lB.在強(qiáng)磁場(chǎng)極限下, 如果 B ＞10 T, 磁長(zhǎng)度 lB小于 1 0 nm.

通過(guò)考慮散射時(shí)間對(duì)磁場(chǎng)的依賴性, 我們發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)場(chǎng)極限(B →∞)下, 即對(duì)于第0 個(gè)朗道能帶,費(fèi)米面上的態(tài)間散射的弛豫時(shí)間為得到強(qiáng)場(chǎng)極限下的電導(dǎo)率

當(dāng)磁場(chǎng)為零時(shí), 磁長(zhǎng)度發(fā)散, d /lB→0 , 給出最小電導(dǎo)率[76]

注意外爾點(diǎn)處態(tài)密度在零磁場(chǎng)時(shí)趨于0, 類似的結(jié)果在沒有朗道能級(jí)的情況下也曾被發(fā)現(xiàn)過(guò)[316].通過(guò)進(jìn)一步的計(jì)算得到磁導(dǎo)[76]

圖17 給出了不同極限下的縱向和橫向磁導(dǎo).特別地, 圖17(f)中長(zhǎng)程勢(shì)極限下的 σxx∝1/B.垂直于 x -y 平面的場(chǎng)中, 還存在霍爾電導(dǎo)率σyx=sgn(M)(kw/π)e2/h+en0/B, 其中第一項(xiàng)是反常霍爾電導(dǎo)率, 第二項(xiàng)是經(jīng)典電導(dǎo)率.在弱場(chǎng)中, 經(jīng)典霍爾效應(yīng)占主導(dǎo)地位, σxx和 σyx都與 1 /B 成 正比,在磁場(chǎng) B 中電阻是線性的.注意, 這里垂直場(chǎng)中的線性磁阻與以前的機(jī)制并不相同[274,317].

7.2 量子極限下的背散射禁止

拓?fù)浣^緣體作為拓?fù)湮飸B(tài)中最先被關(guān)注的體系, 為探索奇異的拓?fù)湮飸B(tài)[318?325]提供了諸多線索.在強(qiáng)磁場(chǎng)中, 2D 拓?fù)浣^緣體的最低朗道能級(jí)相互交叉, 該特征可以作為量子自旋霍爾相的標(biāo)志[326,327].同樣在2D 情況下, 干涉效應(yīng)[328]也可以用來(lái)探測(cè)量子自旋霍爾相.然而在3D 時(shí), 如何利用最低朗道能帶來(lái)識(shí)別拓?fù)浣^緣體卻很少被討論.在文獻(xiàn)[81]中, 我們研究了3D 拓?fù)浣^緣體在強(qiáng)場(chǎng)量子極限下的磁阻(圖18(b)).在臨界磁場(chǎng)中, 背散射在量子極限下被完全抑制, 這一效應(yīng)可以用來(lái)識(shí)別拓?fù)浣^緣體.不過(guò)這種禁止的背散射在拓?fù)浒虢饘僦惺遣淮嬖诘腫74,76,238].這一理論與最近的實(shí)驗(yàn)展現(xiàn)出驚人的一致性(圖18(c)和圖18(d)).此外, 這一機(jī)制可以很好地應(yīng)用于那些能隙較小的材料, 例如ZrTe5[329,330]和Ag2Te[331].

在沿 z 方向的強(qiáng)磁場(chǎng) B 中, 能譜量子化為一系列1D 的朗道能帶(圖18(a)和圖18(b)).最低的兩個(gè)朗道能帶分別表示為 0 + 和 0 ? , 其能量為E0±=質(zhì)量項(xiàng)m=當(dāng)費(fèi)米能僅與 0 + 朗道能帶相交, 其本征態(tài)為

圖17 不同的勢(shì)范圍下, 外爾半金屬在 方向磁場(chǎng)B 中的縱向電導(dǎo)率 σ zz 和橫向電導(dǎo)率 σ xx.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[76]Fig.17.The longitudinal conductivity σ zz and transverse conductivity σ xx of the Weyl semimetal in the -direction magnetic field B under the different potential ranges.Reproduced with permission from Ref.[76].

圖18 (a) 3D 拓?fù)浣^緣體的零場(chǎng)能譜(k x =ky =0); (b)在強(qiáng)磁場(chǎng)中, 費(fèi)米能只穿過(guò) 0 + 朗道能帶; (c)實(shí)驗(yàn)測(cè)得Pb1–xSnxSe 的磁阻[226]; (d)理論計(jì)算出的磁阻.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[81]Fig.18.(a) The zero field energy spectrum of 3D topological insulator (k x =ky =0); (b) in a strong magnetic field, fermi energy EF can only crosses the 0 + Landau energy band; (c) the magnetoresistance of Pb1–xSnxSe in experiment[226]; (d) the theoretical calculated magnetoresistance.Reproduced with permission from Ref.[81].

7.3 外爾費(fèi)米子湮滅

當(dāng)外界強(qiáng)磁場(chǎng)與外爾費(fèi)米子耦合時(shí)其手性消失并獲得質(zhì)量, 而這是外爾費(fèi)米子最明顯的兩個(gè)特征, 在這個(gè)意義上, 外爾費(fèi)米子被湮滅.在外爾半金屬TaP 中我們實(shí)現(xiàn)了這種磁耦合[64].

2.1 節(jié)給出了沿 z 方向磁場(chǎng)中的朗道能帶.現(xiàn)在把這種情況推廣到垂直于 y 方向B =B(sin ?,0,cos ?) 的 任意場(chǎng), 其中 ? 是 z 方向和磁場(chǎng)之間的夾角.朗道規(guī)范可選為 A =(?Bzy,0,Bxy) ,在皮爾斯(Pierls)代換下

哈密頓量變?yōu)?/p>

圖19 給出了外爾半金屬的朗道能帶.當(dāng)磁場(chǎng)沿 z 方向(θ =0)時(shí), 最低的朗道能帶(紅色)穿過(guò)費(fèi)米能(虛線).隨著磁場(chǎng)從 z 方向旋轉(zhuǎn)到 x 方向(θ =π/2), 最低朗道能帶發(fā)生了移動(dòng).當(dāng)磁場(chǎng)沿x方向時(shí), 朗道能帶的能譜是粒子-空穴對(duì)稱的, 并且由于外爾費(fèi)米子之間的耦合存在一個(gè)能隙.這就是為什么在外爾半金屬TaP[64]的強(qiáng)場(chǎng)量子極限下,霍爾電阻出現(xiàn)明顯的符號(hào)反轉(zhuǎn).由于能隙的存在,外爾費(fèi)米子獲得質(zhì)量并失去其手性.由于具有手性和無(wú)質(zhì)量是外爾費(fèi)米子的兩個(gè)主要特征, 因此霍爾信號(hào)表明外爾費(fèi)米子被湮滅.

7.4 外爾半金屬中的不飽和磁化

強(qiáng)磁場(chǎng)中外爾費(fèi)米子的第0 個(gè)朗道帶是純手征的[27,210,211].然而, 量子極限下的的磁阻復(fù)雜地依賴于雜質(zhì)散射的性質(zhì), 不能確定地給出準(zhǔn)粒子的能譜信息[74,76,77,238].相比之下, 電子的磁響應(yīng)要簡(jiǎn)單得多, 因?yàn)樗鼈儾粫?huì)與雜質(zhì)散射相互作用.事實(shí)上,它們僅由電子的熱力學(xué)勢(shì) ? 對(duì)于磁場(chǎng) H 的導(dǎo)數(shù)決定, 而且已被證明可以用來(lái)探測(cè)費(fèi)米面的性質(zhì)[241,332,333].在文獻(xiàn)[85]中我們提出了一種在量子極限下利用磁響應(yīng)探測(cè)相對(duì)論性準(zhǔn)粒子的方法.我們證明外爾半金屬TaAs 的有效橫向磁化強(qiáng)度MT和有效平行磁化強(qiáng)度 M//是超越量子極限的準(zhǔn)線性場(chǎng)依賴的, 這些非飽和磁響應(yīng)明顯不同于非相對(duì)論性準(zhǔn)粒子.該方法作為一種熱力學(xué)探測(cè)手段, 可用于識(shí)別拓?fù)洳牧现械南鄬?duì)論性準(zhǔn)粒子.

圖19 外爾半金屬在垂直 y 方向的磁場(chǎng) B 中的朗道能帶,其中 k // ≡kx sin ?+kz cos ? 為平行于 B 的波矢, tan ?=Bx/Bz.紅色曲線是第0 個(gè)朗道能帶, 虛線是費(fèi)米能.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[70]Fig.19.The Landau energy band of Weyl semimetal in the magnetic field B perpendicular to the y direction, where k// ≡kx sin ?+kz cos ? is the wave vector parallel to B ,tan ?=Bx/Bz.The red curve is the 0 th Landau energy band, and the dashed line represents the Fermi energy.Reproduced with permission from Ref.[70].

磁化強(qiáng)度來(lái)自于導(dǎo)帶和價(jià)帶的共同貢獻(xiàn).當(dāng)磁場(chǎng)增加時(shí), 朗道能帶相繼離開費(fèi)米面, 在只有最低的朗道能帶被占據(jù)之前 M//在零附近振蕩 MT隨著磁場(chǎng)的增加而下降.在磁場(chǎng)較弱時(shí)有很多朗道能帶被占據(jù), 費(fèi)米能 EF幾乎保持不變, 因此對(duì)于固定費(fèi)米能 EF和固定載流子濃度 Nc兩種情況弱場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果幾乎相同.然而, 當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入量子極限時(shí),EF在強(qiáng)磁場(chǎng)中的變化將不再可以忽略.如果 EF固定, 零點(diǎn)能將使 EF之上的第0 個(gè)朗道能帶繼續(xù)升高以致超過(guò)臨界磁場(chǎng), 導(dǎo)致 M//和 MT消失.如果Nc固定, 則無(wú)論磁場(chǎng)增加多少, EF都將被固定在第0 個(gè)朗道能帶的邊緣, 導(dǎo)致 M//出現(xiàn)飽和, MT在一個(gè)常值上保持不變.這種強(qiáng)場(chǎng)行為可以歸結(jié)為價(jià)帶和導(dǎo)帶的貢獻(xiàn)在強(qiáng)場(chǎng)下飽和, 換句話說(shuō), 由于非相對(duì)論性的能帶色散, M//和 MT在量子極限下是不變的.對(duì)于鉍、硫摻雜的Bi2Te3和InSb 這種3D 有能隙的體系, 實(shí)驗(yàn)觀察到了 M//和 MT在量子極限下明顯的飽和行為[333,334].

相比之下, 由于能帶反轉(zhuǎn)和相對(duì)論性能譜, 無(wú)能隙的外爾費(fèi)米子以一種不同的方式對(duì)磁化強(qiáng)度產(chǎn)生貢獻(xiàn).在弱場(chǎng)中, M//和 MT都圍繞一個(gè)平均值振蕩.當(dāng)除了第0 個(gè)以外的所有朗道能帶都離開EF時(shí), 兩種手征模式都對(duì)磁響應(yīng)有貢獻(xiàn), 導(dǎo)致強(qiáng)磁場(chǎng)中不飽和的 M//和 MT.

先前的理論[335?337]只針對(duì)不同類型的能帶結(jié)構(gòu)在全磁場(chǎng)范圍內(nèi)計(jì)算了 M//, 這里為任意角度磁場(chǎng)下的 M//, MT建立一個(gè)更一般的磁化理論.詳細(xì)的計(jì)算參考文獻(xiàn)[85], 這里給出強(qiáng)場(chǎng)極限下的主要結(jié)論.由方程(2) 描述的單節(jié)點(diǎn)3D 無(wú)質(zhì)量外爾費(fèi)米子的哈密頓量可以寫為

以前的研究主要集中于弱磁場(chǎng)下的磁化, 如文獻(xiàn)[338]所指出的外爾半金屬的貝里順磁性.此外, 最近對(duì)晶格模型的理論計(jì)算表明, 軌道對(duì)磁化強(qiáng)度大小和符號(hào)的貢獻(xiàn)取決于外爾/狄拉克半金屬中費(fèi)米能的精確值[339].對(duì)于模型(59)量子極限下的平行磁化強(qiáng)度為

橫向磁化強(qiáng)度為

圖20 給出了在強(qiáng)磁場(chǎng)中對(duì)TaAs 樣品進(jìn)行測(cè)量得到的 M//和 MT.由圖可見實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以很好地用(60)式和(61)式進(jìn)行擬合.我們對(duì)3D 外爾費(fèi)米子的理論計(jì)算再現(xiàn)了弱場(chǎng)中的德哈斯-范阿爾芬(dHvA)振蕩以及量子極限下 M//顯著增強(qiáng)的行為.需要強(qiáng)調(diào)的是, 不同于非相對(duì)論性電子的飽和磁化, 對(duì)于固定 EF和固定 Nc兩種情況 M//和 MT在強(qiáng)磁場(chǎng)中均給出了類似的趨勢(shì).

圖20 實(shí)驗(yàn)與理論的比較 (a) M // (黑線); (b) M T (黑線).轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[85]Fig.20.Comparison between experiments and theory for the M // and M T of TaAs: (a) M // (black line); (b) MT(black line).Reproduced with permission from Ref.[85].

7.5 反常熱電效應(yīng)

熱電效應(yīng)是對(duì)材料拓?fù)湫再|(zhì)更敏感的一種探測(cè)手段.非平庸電子的存在導(dǎo)致拓?fù)洳牧铣尸F(xiàn)出反常的熱電行為.在較高的磁場(chǎng)下, 能斯特信號(hào)在熱電勢(shì)接近零的臨界磁場(chǎng)處出現(xiàn)符號(hào)反轉(zhuǎn).在強(qiáng)場(chǎng)量子極限下, 熱電勢(shì)和能斯特信號(hào)都呈現(xiàn)出奇異的峰值.我們認(rèn)為這些反常行為可以歸因于拓?fù)洳牧现械? 個(gè)朗道能帶的能隙閉合和能帶反轉(zhuǎn)[86].

過(guò)渡金屬五碲化物(ZrTe5, HfTe5等)作為非常接近拓?fù)湎嘧兣R界的拓?fù)洳牧弦鹆讼喈?dāng)大的關(guān)注[43?45,340?347].近40 年來(lái), 作為熱電材料的ZrTe5以其巨大的熱電勢(shì)而聞名[348].然而, 關(guān)于ZrTe5在磁場(chǎng)中的熱電性質(zhì)卻很少有人研究.在存在垂直磁場(chǎng)和縱向熱梯度的情況下, 載流子的擴(kuò)散可以產(chǎn)生縱向電場(chǎng) Ex=?Sxx·|?T|(熱電勢(shì))和橫向電場(chǎng)Ey=Sxy·|?T|(能斯特效應(yīng))[349].由于這些熱電效應(yīng)與電導(dǎo)率的導(dǎo)數(shù)成正比, 它們對(duì)異常的載流子輸運(yùn)尤為敏感, 并已被用于研究各種半金屬和拓?fù)洳牧蟍350?359].

我們?cè)敿?xì)探討了ZrTe5在磁場(chǎng)下的熱電效應(yīng)[86].圖21 給出了熱電勢(shì) ? Sxx的溫度依賴性.高溫時(shí),負(fù)的 ? Sxx表明主要載流子是空穴.隨著溫度的降低, ? Sxx在溫度大約為 T?=132 K 時(shí)變?yōu)檎? 并且電阻率達(dá)到峰值, 表明ZrTe5從 p 型半導(dǎo)體轉(zhuǎn)變?yōu)?n 型半金屬, 這一點(diǎn)與以前的研究相一致[346,360].由于不同遷移率的電子和空穴載流子的存在, ZrTe5在室溫下表現(xiàn)出巨大的磁熱電勢(shì).其熱電勢(shì)在9 T 的磁場(chǎng)中可增加至370 μV/K, 比大多數(shù)材料的熱電勢(shì)都大, 但比外爾半金屬的熱電勢(shì)要小[361].

圖21 零磁場(chǎng)下ZrTe5 的電阻率 ρ (T) (黑色)和塞貝克系數(shù) - Sxx(T) (藍(lán)色)的溫度依賴曲線.插圖:實(shí)驗(yàn)測(cè)量示意圖,B 是磁場(chǎng), ? T 是溫度梯度, a , b 和 c 是晶軸.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[86]Fig.21.Temperature dependence of the electrical resistivity ρ (T) (black) and Seebeck coefficient - Sxx(T) (blue)of ZrTe 5 at zero magnetic field.Inset: the measurement setup.B is the magnetic field and ? T is the temperature gradient.a ,b and c are crystallographic axes.Reproduced with permission from Ref.[86].

在更低溫下, ? Sxx甚至隨著磁場(chǎng)的增加而準(zhǔn)線性增長(zhǎng), 直至達(dá)到量子極限.這種線性熱電勢(shì)成為ZrTe5區(qū)別于其他材料的主要特征[353,354,356,357].在低溫下實(shí)驗(yàn)樣品中的平庸電子和非平庸電子均對(duì)熱輸運(yùn)有貢獻(xiàn)[330,360].為了區(qū)分常規(guī)和反常的能斯特信號(hào), 使用經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)擬合弱場(chǎng)數(shù)據(jù)[357]

其中 μ 是載流子遷移率, B0是飽和磁場(chǎng).和分別表示常規(guī)和反常能斯特信號(hào)的幅度.在弱場(chǎng)下, 這種經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式可以很好地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).根據(jù)我們的分析, 反常的能斯特信號(hào)出現(xiàn)在30 K以下, 并且隨著溫度的降低,急劇增加.在最低溫度下, 反常信號(hào)和常規(guī)能斯特信號(hào)的幅度相當(dāng).所有結(jié)果表明, 在30 K 以下, 非平庸電子開始主要支配磁熱電勢(shì)的特性, 導(dǎo)致了 - Sxx(B) 和Sxy(B)的反常行為.

最近的研究表明, ZrTe5的整數(shù)朗道指數(shù)可以利用電阻率的峰值位置來(lái)確定[310,330,347,362].當(dāng)磁場(chǎng)達(dá)到5.2 T 以上時(shí), 所有電子占據(jù)最低朗道能帶,即系統(tǒng)處于量子極限.此時(shí)隨著磁場(chǎng)的增加, 狄拉克半金屬或外爾半金屬的熱電勢(shì)預(yù)期會(huì)非飽和地線性增長(zhǎng)[363].

為了進(jìn)一步闡明量子極限下不尋常的熱電響應(yīng), 繼續(xù)增加磁場(chǎng)至33 T (圖22(a)), 此時(shí) - Sxx開始增加.相應(yīng)地, 在系統(tǒng)進(jìn)入量子極限后, 能斯特信號(hào)出現(xiàn)一個(gè)峰值.另一個(gè)反常特征是能斯特信號(hào)Sxy在 B?=14 T 附近符號(hào)發(fā)生了反轉(zhuǎn), 同時(shí)不同溫度下的熱電勢(shì) - Sxx收斂到零.之前, 在外爾半金屬TaP 中觀察到場(chǎng)誘導(dǎo)的 ρyx符號(hào)發(fā)生變化, 其中最低朗道能帶在極強(qiáng)磁場(chǎng)下移動(dòng)到化學(xué)勢(shì)之上, 電子載流子數(shù)量急劇減少[64].載流子類型的改變可能是導(dǎo)致能斯特或霍爾信號(hào)的符號(hào)出現(xiàn)反轉(zhuǎn)的原因.然而, 對(duì)于我們的樣品, 低溫下的電荷載流子只是電子[360].此外, 霍爾電阻 ρyx在 B?附近變化平穩(wěn).因此, 載流子類型的變化不可能解釋 Sxy的反常符號(hào)反轉(zhuǎn).

圖22 (a)不同溫度下對(duì) - Sxx 的強(qiáng)場(chǎng)測(cè)量; (b)不同溫度下 對(duì) S xy 的強(qiáng)場(chǎng)測(cè)量.臨界場(chǎng) B ? 附近 S xy 改變符號(hào), -Sxx收斂到零.轉(zhuǎn)載自文獻(xiàn)[86]Fig.22.(a) High-field measurements of - Sxx at several temperatures; (b) high-field measurements of S xy at several temperatures.Near the critical field B ? , S xy changes its sign and - Sxx converges to zero.Reproduced with permission from Ref.[86].

使用3D 有質(zhì)量狄拉克模型探討量子極限下反常 - Sxx和 Sxy的潛在機(jī)制[44].可以得到第0 個(gè)(ν =0)朗道能帶為[86]

其中 s =±1 代表電子和空穴帶, λ =±1 , v 是費(fèi)米速度, m 是描述 γ 點(diǎn)附近小能隙的狄拉克質(zhì)量[329].帶 底時(shí)

因此, 對(duì)于有限質(zhì)量 m , 第0 個(gè)電子和空穴的朗道能帶之間的能隙隨磁場(chǎng)先減小后增大.到達(dá)臨界磁場(chǎng) B?=2m/(gμB) 時(shí)體系處于無(wú)能隙狀態(tài).相反, 在普通材料中, 第0 個(gè)電子和空穴的朗道能帶之間的能隙隨磁場(chǎng)單調(diào)增加.由于ZrTe5的狄拉克質(zhì)量小, g 因子大, 在中強(qiáng)磁場(chǎng)下很容易觀察到這種朗道能隙的閉合.此外, 對(duì)于這種低密度系統(tǒng)在強(qiáng)磁場(chǎng)下載流子密度是固定的,

其中 f (x) 是費(fèi)米-狄拉克分布.由于第0 個(gè)朗道能帶能隙閉合, 這個(gè)固定的 n 導(dǎo)致費(fèi)米能級(jí)顯著下降到量子極限之外.能斯特信號(hào)中的兩項(xiàng)Sxy=ρxxαxy?ρyxαxx有相反的符號(hào),當(dāng)朗道能帶無(wú)能隙時(shí), 它們相互競(jìng)爭(zhēng)并具有相同的絕對(duì)值, 導(dǎo)致 Sxy的符號(hào)反轉(zhuǎn).當(dāng)磁場(chǎng)大于 B?后最低朗道能帶的能隙增大, 導(dǎo)致了熱電勢(shì)的增長(zhǎng).

其他狄拉克材料也觀察到了類似的行為[226,354].我們對(duì)ZrTe5中反常熱電性質(zhì)的理解為探索拓?fù)湮飸B(tài)中的新奇物理開辟了一條新途徑.從這個(gè)意義上說(shuō), 磁熱電研究為我們提供了一個(gè)強(qiáng)大、簡(jiǎn)單且有效的實(shí)驗(yàn)工具來(lái)探索拓?fù)洳牧现械钠娈愋袨?

8 評(píng)論和展望

量子極限中的大多數(shù)理論都采用玻恩近似, 當(dāng)磁長(zhǎng)度比無(wú)序勢(shì)的范圍短得多時(shí), 電子可能被同一雜質(zhì)多次散射.2D 和3D 時(shí)玻恩近似可能不再是好的處理手段[317,364,365], 超越玻恩近似將是3D 系統(tǒng)在極強(qiáng)磁場(chǎng)下的一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的課題.

有關(guān)量子振蕩的理論需要進(jìn)一步完善[366?369],相移規(guī)則能否推廣到Ⅱ型外爾半金屬[367,370,371]以及其他拓?fù)湮飸B(tài)體系[372,373]將是一個(gè)值得探討的問(wèn)題.

研究幾何相位時(shí), 參數(shù)空間通常是實(shí)空間或動(dòng)量空間[95].但費(fèi)米弧和外爾點(diǎn)形成的外爾軌道是一種新的物理現(xiàn)象, 幾何相位在實(shí)空間和動(dòng)量空間均有積累.特別是, 當(dāng)電子在上表面和下表面之間隧穿時(shí), 幾何相位沿路徑的積累具有厚度依賴性[291,374].最近, 一項(xiàng)新的實(shí)驗(yàn)利用這種厚度相關(guān)的相移來(lái)證明外爾軌道對(duì)觀測(cè)到的量子化霍爾電阻的貢獻(xiàn)[298], 未來(lái)有望會(huì)有更多的工作來(lái)驗(yàn)證這些理論.

在量子極限下, 我們的理論表明, 如果體系是3D 強(qiáng)拓?fù)浣^緣體, 則可能出現(xiàn)最多兩次電阻下降[81].令人驚訝的是, 最近的實(shí)驗(yàn)表明在量子極限下最多可以有5 次振蕩[375,376].振蕩作為磁場(chǎng)的函數(shù)遵循標(biāo)度不變性定律, 與冷原子體系中的Efimov 束縛態(tài)非常相似, 類Efimov 束縛態(tài)可以用來(lái)理解偶然振蕩[377,378].實(shí)驗(yàn)中電阻的直接擬合也證明了這一點(diǎn)[375,376,378].然而, 其他可能導(dǎo)致標(biāo)度不變性振蕩的機(jī)制將是人們廣泛感興趣的話題.

固體中由空間群描述的豐富對(duì)稱性保護(hù)的能量節(jié)點(diǎn), 可能導(dǎo)致在高能物理中沒有對(duì)應(yīng)粒子的無(wú)質(zhì)量費(fèi)米子[379?382].文獻(xiàn)[383,384]提出了具有三重簡(jiǎn)并的費(fèi)米子.作為介于狄拉克費(fèi)米子和外爾費(fèi)米子的中間費(fèi)米子, 其對(duì)應(yīng)的半金屬體系具有新奇的輸運(yùn)特征[385?387].

更多的課題也將引起廣泛的興趣, 包括磁性外爾半金屬的量子輸運(yùn)[388?397], 籠目(Kagome)鐵磁體Fe3Sn2[398], 雙外爾半金屬[6,107], Ⅱ型外爾半金屬[294,399?408], Hopflink 節(jié)線半金屬[409?412], 超越量子極限的量子振蕩[413], 拓?fù)浒虢饘僦械钠者m電導(dǎo)漲落[414], 狄拉克半金屬中的AB 效應(yīng)[415], 外爾半金屬的表面準(zhǔn)粒子干涉[416?419], Fano 效應(yīng)[420].