霍寅龍， 周 復(fù)

(1. 上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240；2. 上海安浦鳴志自動(dòng)化設(shè)備有限公司 研發(fā)部， 上海 201107)

0 引言

混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)(HBM)具有保持力矩大、安定性好、低速力矩大等優(yōu)點(diǎn)，但也存在磁場飽和程度高、系統(tǒng)非線性強(qiáng)、參數(shù)難以測定[1]等問題。HBM最常見的應(yīng)用是與細(xì)分驅(qū)動(dòng)組成的位置開環(huán)控制系統(tǒng)，而速度閉環(huán)控制可進(jìn)一步提升響應(yīng)性能。因省去了機(jī)械位置傳感器，無位置傳感器估算HBM速度的方案有廣泛應(yīng)用前景。

以擴(kuò)展Kalman濾波器(EKF)作為觀測器來估算HBM轉(zhuǎn)子速度的方案依賴于對象準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，依賴準(zhǔn)確的估算對象數(shù)學(xué)模型，對參數(shù)變化的魯棒性較差。而HBM由于非線性過強(qiáng)，電感隨運(yùn)行狀態(tài)時(shí)變劇烈等原因，更適合采用引入了魯棒控制思想的擴(kuò)展H∞濾波(EHF)觀測算法。

現(xiàn)有的EHF估算步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)子狀態(tài)的的方案已經(jīng)證明EHF的估算精度和穩(wěn)定性優(yōu)于EKF[2]，但是這個(gè)研究存在一定局限性。首先，研究使用簡單的線性模型推導(dǎo)與仿真，模型不夠準(zhǔn)確，不符合步進(jìn)電機(jī)電感量非線性強(qiáng)、變化劇烈的特點(diǎn)；另外，研究中擴(kuò)展H∞濾波對魯棒性的分析較為簡單，對哪些變量魯棒性強(qiáng)的闡述與驗(yàn)證不足。

本文從HBM的磁場網(wǎng)絡(luò)模型入手，總結(jié)了非線性的兩個(gè)可疊加于最簡線性HBM模型中的特點(diǎn)，構(gòu)造非線性模型。再根據(jù)其非高斯分布的過程噪聲，設(shè)計(jì)了擴(kuò)展H∞濾波器作為觀測器估算HBM轉(zhuǎn)子速度的方案，并提出參數(shù)γ、cw、cv的計(jì)算公式。該方案相比擴(kuò)展Kalman濾波觀測器，對電感L變化的魯棒性更強(qiáng)。

1 步進(jìn)驅(qū)動(dòng)模型的非線性

混合式步進(jìn)電機(jī)與同步電機(jī)有統(tǒng)一的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，從磁網(wǎng)絡(luò)模型分析其等效電感可以獲得更精確的磁網(wǎng)絡(luò)模型與非線性模型。將該模型與細(xì)分驅(qū)動(dòng)結(jié)合，可將電機(jī)的非線性模型描述為線性模型疊加非高斯分布的系統(tǒng)噪聲與參數(shù)不確定性的形式。

1.1 磁網(wǎng)絡(luò)模型

與永磁同步電機(jī)類似，步進(jìn)電機(jī)的基本電壓平衡磁鏈模型[3]，如式(1)。

(1)

式中，ui、ii表示相端電壓與相電流；Ri表示相內(nèi)阻；ei為相反電勢(i=A,B)；LAA、LBB表示相繞組自感；MAB、MBA為兩相間繞組互感。如果不計(jì)定子極間、端部與永磁體的漏磁，忽略磁滯、渦流，忽略飽和、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和電感諧波分量[3]，可得到最簡線性模型的電壓和轉(zhuǎn)矩微分方程式，即其他分析常用的線性模型，如式(2)。

(2)

式中，ke表示反電勢系數(shù)；θe、ωe表示轉(zhuǎn)子電角度、電速度；L表示簡化的恒定電感量。

電機(jī)繞組的電感是定轉(zhuǎn)子電磁關(guān)系的定量表達(dá)，是步進(jìn)電機(jī)模型非線性的主要體現(xiàn)。根據(jù)對兩相8極步進(jìn)電機(jī)的磁網(wǎng)絡(luò)簡化模型的分析，繞組電感含有轉(zhuǎn)子電角度的2次諧波分量[1]，反電勢與速度獲得自感、互感與反電勢的表達(dá)式，如式(3)。

(3)

式中，L0、L2、ke表示與電機(jī)相關(guān)的常數(shù)，由繞組匝數(shù)和平均齒層磁導(dǎo)決定。將式(3)帶入基本模型式(1)，得到磁網(wǎng)絡(luò)模型的微分方程，如式(4)。

(4)

式中，L2c=L2cos 2θe，L2s=L2sin 2θe。

由于步進(jìn)電機(jī)極對數(shù)多，飽和程度高，因此電感非線性程度大。文獻(xiàn)[4]提出了一種較準(zhǔn)確但難于標(biāo)定的非線性電感，如式(5)。

(5)

式中，L01，L21表示常數(shù)。

較準(zhǔn)確的電感模型與磁路推導(dǎo)出的電感、反電勢模型式(3)有相似形式，可將其看做是式(3)疊加了以相電流為變量的非線性偏置。應(yīng)用魯棒控制的觀點(diǎn)，可將非線性偏置L01|iA|、L01|iB|、L21|iA|、L21|iB|分別看做L0、L2在對應(yīng)相方程內(nèi)的參數(shù)不確定性，一種結(jié)構(gòu)不確定性(structured uncertainty)[5]。設(shè)計(jì)觀測器的目標(biāo)是增強(qiáng)對電感參數(shù)L的魯棒性。

1.2 與細(xì)分驅(qū)動(dòng)結(jié)合的磁網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)模型

細(xì)分驅(qū)動(dòng)(Micro-Step)是步進(jìn)電機(jī)的位置開環(huán)系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的驅(qū)動(dòng)方式。該驅(qū)動(dòng)方式的實(shí)質(zhì)是控制恒定幅值的電流矢量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁鏈，帶動(dòng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)。因電流閉環(huán)，AB 兩相實(shí)際電流合成矢量會(huì)跟隨并落后電流指令矢量一個(gè)角度，稱為功角。將兩相實(shí)際電流寫作，如式(6)。

(6)

式中，Iref表示電流指令幅值；θe表示轉(zhuǎn)子位置；Δθ表示步進(jìn)電機(jī)功角。當(dāng)負(fù)載恒定，電機(jī)勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，功角Δθ為恒值[6]。

將式(6)與式(3)代入式(1)后化簡，得到磁網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行電壓模型，如式(7)。

(7)

式中，三次余項(xiàng)wA=3ωeL2Irefsin(3θe+Δθ)/L0，wB=-3ωeL2Irefcos(3θe+Δθ)/L0。

不難看出，該式與最簡線性式(2)模型有相似的結(jié)構(gòu)，區(qū)別是疊加了三階分量。因此，不妨將此三次項(xiàng)看作最簡電壓模型的過程激勵(lì)噪聲，噪聲幅值為3ωeL2Iref，而該噪聲能量有界。如果將更準(zhǔn)確的式(5)替換掉原來的式(3)，代入式(1)后化簡，則可以得到比式(7)更完整的混合式步進(jìn)電機(jī)非線模型。該非線性模型的推導(dǎo)，如圖1所示。

圖1 非線性模型分析過程

從以上分析可知，步進(jìn)電機(jī)的非線性電壓模型可簡化為常用的最簡線性模型疊加兩類干擾：(1)范圍確定的電感不確定性；(2)能量有界的過程噪聲。而Kalman濾波算法要求噪聲符合高斯分布，不適用于處理該非線性。因此本文采用對噪聲統(tǒng)計(jì)特征無要求的H∞魯棒濾波器作為觀測器估算轉(zhuǎn)子速度，并提高對電感的魯棒性，兼顧兩類非線性的影響。

2 擴(kuò)展H∞濾波觀測器設(shè)計(jì)

系統(tǒng)為處理外部干擾與內(nèi)部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的不確定性，利用H∞范數(shù)的概念來設(shè)計(jì)濾波器，其目標(biāo)是最小化干擾輸入到濾波誤差輸出的H∞范數(shù)。相比于Kalman濾波器，H∞濾波器的優(yōu)勢在于無需對輸入信號進(jìn)行統(tǒng)計(jì)假設(shè)，而且有效折中了魯棒性和濾波精度。

2.1 擴(kuò)展H∞濾波的求解

在實(shí)際系統(tǒng)中，通常使用次優(yōu)H∞估計(jì)，對給定正數(shù)γ，找到H∞的次優(yōu)遞推策略，令濾波和預(yù)測的最大能量增益||T||∞<γ。由系統(tǒng)增益的特性可知，當(dāng)輸入信號的能量是單位有界時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)，即為輸出的最大能量(h2范數(shù))[7]。所以，||T||∞即是從輸入u到輸出y的最大能量增益，最大值設(shè)定為以γ2為上界。由于能量有上限，干擾的形狀、統(tǒng)計(jì)特性不會(huì)對濾波輸出造成過大影響。因此，H∞濾波由于γ的能量限制而對干擾具有魯棒性，γ為H∞濾波的特征性參數(shù)。

擴(kuò)展H∞濾波適用于如下非線性離散系統(tǒng)，如式(8)。

(8)

式中，yk表示對xk的傳感器測量值；ak和ck表示非線性狀態(tài)函數(shù)；wk、vk分別表示系統(tǒng)的過程噪聲和測量噪聲，其協(xié)方差為Qk、Rk。

文獻(xiàn)[8]中證明，上述非線性離散系統(tǒng)與下列變比H∞問題有相同濾波解，如式(9)。

(9)

式中，Ak是ak的Taylor展開的一階項(xiàng)，過程噪聲和測量噪聲的變比cw和cv，cv2=1-γ2δ12-γ2δ32，cw2=cv2；pk與qk為ak和ck在估計(jì)點(diǎn)xk/k處Taylor展開的一階項(xiàng)與梯度之差，δ1與δ3則為高階項(xiàng)的誘導(dǎo)范數(shù)的上界。

求解上式，我們在不忽略高次項(xiàng)的同時(shí)可以獲得原非線性問題的擴(kuò)展H∞濾波EHF的解，如式(10)

(10)

式(8)與(9)式的求解過程中，如果Taylor展開后忽略2階以上的項(xiàng)，即可得到擴(kuò)展Kalman濾波的解。H∞濾波實(shí)質(zhì)上就是 Krein 空間中的Kalman濾波[9]。

2.2 基于 EHF 的步進(jìn)電機(jī)觀測器設(shè)計(jì)

考慮電機(jī)穩(wěn)態(tài)即轉(zhuǎn)速變化趨近于0的情況，步進(jìn)電機(jī)的最簡線性模型式(2)與轉(zhuǎn)矩、速度方程可寫作狀態(tài)方程形式，如式(11)。

(11)

(12)

根據(jù)H∞濾波的形式，將式(11)疊加非線性的過程噪聲項(xiàng)，組成非線性模型，再離散化、線性化，改寫為離散遞推公式形式，如式(13)。

(13)

Δ1是a(xk)的Taylor展開高階項(xiàng)，其二階即為k導(dǎo)數(shù)，計(jì)算導(dǎo)數(shù)平方和后得到二階范數(shù)邊界最小值，如式(14)。

(14)

wk作為過程噪聲，不考慮系統(tǒng)產(chǎn)生的白噪聲w1～w4，可根據(jù)表達(dá)式獲得除白噪聲外的過程噪聲最小能量，如式(15)。

(15)

于是，按照式(9)的形式構(gòu)造步進(jìn)電機(jī)非線性模型的擴(kuò)展H∞濾波狀態(tài)觀測器的遞推解。其中關(guān)鍵參數(shù)變比cw、cv的最小值與參數(shù)γ的關(guān)系，如式(16)。

(16)

γ值的選取影響擴(kuò)展H∞濾波的估計(jì)性能，γ越小，選取的噪聲能量范圍越小，抗干擾的魯棒性越強(qiáng)；而γ越大，濾波精度會(huì)越高。γ趨近于無窮大時(shí)EHF退化為EKF[8]。

3 仿真結(jié)果分析

利用Simulink搭建HBM及其細(xì)分驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的仿真模型，如圖2所示。

圖2 HBM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與觀測器仿真

其中電機(jī)本體HBM Motor模塊以磁網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建，如圖3所示。

圖3 電機(jī)本體仿真模塊

圖3中的d/dtiA、d/dtiB、d/dtwe3個(gè)Fcn函數(shù)模塊分別表示A相電壓微分方程、B相電壓微分方程與電速度微分方程，f(u)函數(shù)使用式(4)的電壓方程與式(11)的轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速方程。MOSFET Driver為功率放大電路仿真，Controller in DSC仿真了脈沖輸入的細(xì)分算法和電流環(huán)閉環(huán)控制。EHF估計(jì)模塊由式(10)設(shè)計(jì)，使用EKF與之對比。

電機(jī)模型的主要參數(shù)如下：極對數(shù)p=50，定子相電阻R=0.65 Ω，定子相電感(平均值)L0=6.4 mH(1 kHz 1Vrms)，變化范圍L2=1.0 mH，反電勢系數(shù)ke=0.768 5，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=900 g·cm2。細(xì)分驅(qū)動(dòng)的PWM計(jì)算周期50 us，速度采樣頻率5 kHz。為兼顧運(yùn)行速度，模型采用步長1 ms的ode23算法。

利用線性最簡模型式(2)設(shè)計(jì)5 kHz計(jì)算頻率的擴(kuò)展H∞濾波EHF觀測器與擴(kuò)展Kalman濾波EKF觀測器，觀測對象為磁網(wǎng)絡(luò)模型式(4)，同步估算步進(jìn)電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)速，比較二者的估算精度與抗干擾魯棒性。根據(jù)模型參數(shù)的計(jì)算，考慮電感參數(shù)不確定性的余量，設(shè)定擾動(dòng)衰減因子、初始估計(jì)誤差、過程噪聲和測量噪聲的協(xié)方差依次為：γ2=0.1，P0=diag[0.01 0.1 1 0.1]，Q=diag[0.1 0.1 1 0.01]，R=diag[0.2 0.2]，cw、cv直接放入EHF估算器中根據(jù)γ計(jì)算。

仿真在0.4秒處增加6/s上升的外部負(fù)載，0.5 s恢復(fù)空載，1024細(xì)分驅(qū)動(dòng)的仿真結(jié)果，如圖4所示。

圖4 EKF&EHF估算速度對比

比較仿真結(jié)果可以得出，EKF與EHF估算速度誤差最大為 0.808 與 0.797 rad/s，二者的動(dòng)態(tài)性能接近。收斂后穩(wěn)態(tài)波動(dòng)小，估算速度穩(wěn)態(tài)時(shí)波動(dòng)峰峰值為 0.808 rad/s 與 0.362 rad/s，EHF的穩(wěn)態(tài)波動(dòng)更小，穩(wěn)態(tài)性能更好。在負(fù)載變化過程中，EHF跟隨電機(jī)實(shí)際速度變化的能力也強(qiáng)于EKF。

然后，在1024細(xì)分下，測試了電感參數(shù)變化對EKF和EHF的估算性能變化，測試條件和結(jié)果，如表1所示。

表1 EKF與EHF性能對比

仿真圖像如圖5、圖6所示。

圖5 L=200% EKF&EHF估算速度對比

圖6 L=30% EKF&EHF估算速度對比

由結(jié)果可知，EHF穩(wěn)態(tài)性能明顯優(yōu)于EKF，抵抗電感變化的魯棒性更強(qiáng)。而在電感減小時(shí)，EHF的動(dòng)態(tài)性能也優(yōu)于EKF。

4 總結(jié)

本文根據(jù)二相混合式步進(jìn)電機(jī)的磁路特點(diǎn)，對步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的非線性來源做了分析，再結(jié)合細(xì)分驅(qū)動(dòng)模式，將模型非線性項(xiàng)化簡為范圍確定的參數(shù)不確定性與能量有界的過程噪聲。針對模型噪聲能量有界的特性，設(shè)計(jì)了擴(kuò)展H∞濾波器作為步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，實(shí)現(xiàn)了對轉(zhuǎn)子速度的估算。在對非線性的探討方面考慮了如下兩方面。

① 工程師根據(jù)過程噪聲部分設(shè)計(jì)濾波器的參數(shù)，給出γ與cw、cv的計(jì)算關(guān)系。

② 根據(jù)電感L的不確定性，設(shè)計(jì)了電感增大和減小的仿真實(shí)驗(yàn)。

本文設(shè)計(jì)了兩種濾波器估算非線性步進(jìn)電機(jī)模型速度的對比仿真，仿真結(jié)果表明，相比擴(kuò)展Kalman濾波，擴(kuò)展H∞濾波器估算速度的精確性較高，而且其抵抗電感變化的魯棒性更強(qiáng)。