張祖敘，孫榮璞，尹凱倩

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

通過對微積分的學(xué)習(xí)，可以利用比較原則、柯西判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法等[1]來判斷瑕積分的斂散性。從判別法的不同角度對階估計法進行研究，得到審斂性的定理。已有研究者對判別法進行過細致而全面的研究，如齊紫微[2]等學(xué)者給出的基于階估計法的無窮廣義積分審斂性定理。我們通過階估計法推導(dǎo)了判斷瑕積分斂散性的判別法，并通過比較判別法進行證明并附以實例，驗證了審斂法的有效性和實用性。

1 基于階估計法的瑕積分審斂性判別法

定理1.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(a,b]上的非負可積函數(shù)，且滿足：

易見瑕積分收斂，由比較判別法，瑕積分同樣收斂。

②當(dāng)p≥1時，經(jīng)過計算可知：

小結(jié)：在微積分學(xué)中只討論了分式的奇點為0的判別法，而定理1給出了分式的起點不為0的一般情況。

定理2.設(shè)f(x),g(x)是定義在區(qū)間(a,b]上的非負函數(shù)，則：

證明：

小結(jié)：與定理1提出的思路相一致，根據(jù)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，對微積分學(xué)中的原有積分進行了簡單推廣。

定理3.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a,b)上的非負可積函數(shù)，則：

證明：

①0

②p≥1時：

結(jié)合①②兩點，得到了定理3的證明。

小結(jié)：定理3對應(yīng)于微積分學(xué)中廣義積分的階判別法，將廣義積分調(diào)整為積分區(qū)間為半閉半開區(qū)間的瑕積分。

定理4.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(a,b)上的非負可積函數(shù)(a和b都是瑕點)，且對于?p∈(0,1)及c∈(a,b)，滿足：

證明：

小結(jié)：與定理3相比較，發(fā)現(xiàn)積分區(qū)間兩端均為瑕點。在證明該定理的過程中，對給定的積分區(qū)間進行分段，從而歸結(jié)為定理3的結(jié)果。

2 定理應(yīng)用

又因為tanx～x(x→0),ex-1～x(x→0)，所以有：

解：

3 結(jié)語

根據(jù)瑕積分階估計法，推廣了微積分學(xué)中分式奇點為0的一般情況，并提高了階估計法的適用范圍，通過實例的引入，驗證了審斂法的有效性和實用性。