張曉偉，陳 明

（遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)是航天器系統(tǒng)的重要組成部分，相關(guān)研究已取得相當(dāng)大的突破［1-6］。文獻(xiàn)［1］基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了一種最優(yōu)的航天器姿態(tài)控制律；文獻(xiàn)［2］提出了一類航天器姿態(tài)跟蹤魯棒最優(yōu)控制策略；文獻(xiàn)［3］針對(duì)受約束的航天器姿態(tài)控制，設(shè)計(jì)了一類最優(yōu)的PID 控制器；文獻(xiàn)［4］結(jié)合自適應(yīng)律和狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)航天器系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了一類滑?？刂破?。在這些研究中，閉環(huán)系統(tǒng)的收斂速度大都以指數(shù)形式進(jìn)行收斂。

基于有限時(shí)間控制的姿態(tài)跟蹤控制方法，能使航天器的姿態(tài)誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零或是零點(diǎn)附近，與傳統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性理論相比，系統(tǒng)具有更好的快速性、魯棒性和抗干擾性。丁世宏等［7］基于最優(yōu)控制理論，設(shè)計(jì)了一類有限時(shí)間姿態(tài)控制器，使角速度能夠在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上最優(yōu)角速度。文獻(xiàn)［8］結(jié)合自適應(yīng)有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器和角速度計(jì)算設(shè)計(jì)了一種只需要姿態(tài)測(cè)量的有限時(shí)間航天器姿態(tài)控制器。文獻(xiàn)［9］考慮外部干擾、執(zhí)行器故障等，基于反步法提出了一種穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊航天器姿態(tài)跟蹤控制器。文獻(xiàn)［10］基于容錯(cuò)控制和雙冪次方法，設(shè)計(jì)了一類自適應(yīng)有限時(shí)間航天器姿態(tài)跟蹤容錯(cuò)控制算法。文獻(xiàn)［11］針對(duì)存在實(shí)際問(wèn)題的航天器系統(tǒng)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估算系統(tǒng)中未知的線性函數(shù)，設(shè)計(jì)了一類基于backstepping 策略的自適應(yīng)有限時(shí)間控制器。馬廣富等［12］為了提高航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的快速性，結(jié)合自適應(yīng)控制、backstepping策略以及滑?？刂?，設(shè)計(jì)了一類航天器姿態(tài)跟蹤有限時(shí)間控制策略。

目前，提升航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的控制速度成為了亟待解決的問(wèn)題。某些特定的任務(wù)需要保證航天器姿態(tài)系統(tǒng)達(dá)到特定的控制速度才能夠完成，不僅如此，即便航天器沒(méi)有要求特定的速度，更快的姿態(tài)控制速度也能提高航天器的工作效率。已有成果表明，快速有限時(shí)間控制器［13］具有更快的收斂速度。張凱等［14］為了保證實(shí)際系統(tǒng)的快速性，將非奇異快速終端滑模的思想和backstepping 策略相結(jié)合，并將控制器的參數(shù)進(jìn)行限制，構(gòu)造了快速有限時(shí)間控制方案。

本文設(shè)計(jì)了一類基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器，控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的姿態(tài)在任何有界輸入的前提下，都能夠快速收斂到平衡點(diǎn)。最后，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 航天器姿態(tài)數(shù)學(xué)模型

航天器姿態(tài)跟蹤模型由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程組成。本文采用四元數(shù)描述法來(lái)描述航天器的姿態(tài)。

首先定義四元數(shù)為［7］

其中

式中：參數(shù)q0∈R為四元數(shù)的標(biāo)量；qv=(q1,q2,q3)T∈R3是向量參數(shù)；ev是旋轉(zhuǎn)軸的方向單位矢量；φ∈[0°，360°]表示旋轉(zhuǎn)角度。

航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程［7］

式中：ω=(ω1,ω2,ω3)T是航天器的姿態(tài)角速度；E(q)表示單位矩陣，為反對(duì)稱矩陣，表示為

經(jīng)過(guò)計(jì)算可以驗(yàn)證：E(q)TE(q)=I3×3。

航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

其中：J∈R3×3表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，并且J是一個(gè)正定對(duì)角陣；u=(u1,u2,u3)T是由3 個(gè)執(zhí)行器所產(chǎn)生的控制力矩向量；ω×為反對(duì)稱矩陣，表示為

1.2 輸入飽和函數(shù)

在實(shí)際航天器姿態(tài)系統(tǒng)中存在輸入飽和現(xiàn)象，即航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的輸入力矩必須在有界范圍內(nèi)。在本文中，針對(duì)輸入信號(hào)u中的向量ui，定義一類新的飽和函數(shù)［15］

其中：S=(S1,S2,S3)T是系統(tǒng)的飽和輸入信號(hào)；umax和umin是輸入信號(hào)的上界和下界。

對(duì)于式（4），采用分段函數(shù)來(lái)表示飽和輸入函數(shù)的近似值，定義

式中：h=(h1,h2,h3)T，則u=sat(S)可表示為

其中：h和l=(l1,l2,l3)T都是關(guān)于S的函數(shù)，l=sat(u)-h是一個(gè)有界函數(shù)，且滿足

這里，L=(L1,L2,L3)T，Li=max(li),i=1,2,3。

依據(jù)中值定理，存在一個(gè)已知的常數(shù)μ(0 ＜μ＜1)，滿足

其中

則

令S0=0，可以得到

結(jié)合式（4）、式（6）和式（10），得出

即

1.3 定義和引理

定義1［16］對(duì)于本文中的x=(x1,x2,x3)T，定義sgnα(x)的形式為：其中 sgn(?)為符號(hào)函數(shù)。

引理1［7］對(duì)于任何實(shí)數(shù)，若有 0 ＜b＜1 和xi，i=1,2,…,n，則有下列不等式成立

引理2［13］快速有限時(shí)間Lyapunov 穩(wěn)定性定理：考慮如下系統(tǒng)

若存在一個(gè)函數(shù)V(x)＞0，使得

其中，x∈D,D=Rn，c＞0 ，b＞0 ，0 ＜α＜1，那么系統(tǒng)（14）的原點(diǎn)是全局快速有限時(shí)間穩(wěn)定的，并且設(shè)定時(shí)間取決于初始狀態(tài)x(0)=x0，且收斂時(shí)間

2 控制器設(shè)計(jì)

將航天器的角速度ω作為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的輸入，將整個(gè)航天器模型視為一個(gè)非線性系統(tǒng)［5］。本文的控制器設(shè)計(jì)分為兩個(gè)部分：快速有限時(shí)間控制律u和考慮輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器S。

2.1 快速有限時(shí)間控制律設(shè)計(jì)

對(duì)于航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型來(lái)說(shuō)，其目標(biāo)一般都是將qv鎮(zhèn)定到 (0,0,0)T，將q0鎮(zhèn)定到1 或者-1。當(dāng)q0=1 時(shí)，φ=4kπ,k∈Z；當(dāng)q0=-1 時(shí)，φ=4kπ+2π,k∈Z，顯而易見(jiàn)，無(wú)論q0等于1或者-1，φ均為2π 的整數(shù)倍。也就是說(shuō)航天器繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是2π 的整數(shù)倍，所以q0無(wú)論為1或者是-1，均表示航天器具有相同的姿態(tài)。

針對(duì)航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型（2），選取性能指標(biāo)為

式中：Q=QT≥ 0,R=RT＞0 都為加權(quán)陣。

式（16）是一個(gè)典型的線性二次型性能指標(biāo)。接下來(lái)構(gòu)造Hamilton 函數(shù)，并通過(guò)分析Hamilton-Jacobi方程，從而解出最優(yōu)控制律其目標(biāo)是保證針對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型所設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)Θ 能夠達(dá)到極小。

Hamilton函數(shù)可以取為

其中Θ*為性能指標(biāo)Θ 的最優(yōu)值。由于控制律u不受約束，所以，由最優(yōu)控制的極值條件以及式（17）得

由式（18）得到最優(yōu)控制律

由Hamilton-Jacobi方程得到

整理得

令

將式（22）代入到式（21）中，并且由ET(q)E(q)=I，得出

式中：R-1是個(gè)參數(shù)對(duì)角陣。

令Q=R-1，λ=2qv，結(jié)合式（19）得到最優(yōu)控制律

在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)快速有限時(shí)間控制器u，使航天器的角速度ω能夠趨近于。令e(t)=再結(jié)合航天器動(dòng)力學(xué)方程（3）得到誤差模型

針對(duì)誤差模型（25），將控制律u設(shè)計(jì)為

式中：a1和a2都是大于零的設(shè)計(jì)參數(shù)；指數(shù)α滿足 0 ＜α＜1。

證明取Lyapunov函數(shù)

對(duì)V1求導(dǎo)，可得

由定義1可得

將式（28）寫(xiě)為

結(jié)合引理1，可以得到

式中：Jmax=max{Ji},i=1,2,3。

根據(jù)式（28），將式（32）重新表示為

兩邊同時(shí)乘以a1，得到

又因?yàn)?/p>

兩邊同時(shí)乘以-a2，得到

將式（36）重新表示為

結(jié)合式（28）、（33）及（37），得

顯見(jiàn)，式（38）滿足快速有限時(shí)間得收斂形式，且收斂時(shí)間為

證畢。

2.2 基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器

設(shè)計(jì)一類基于輸入飽和的航天器快速有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制器

式中：S是將要設(shè)計(jì)的控制器；diag(L1,L2,L3)是一個(gè)對(duì)角陣；L1,L2,L3是L3×1的行向量；sgn(e)是關(guān)于e的符號(hào)函數(shù)，且sgn(e)=[sgn(e1) sgn(e2) sgn(e3)]T。

證明取Lyapunov函數(shù)為

對(duì)V求導(dǎo)，可得

令

則式（42）可改寫(xiě)為

所以僅證明如下

由式（7）可得，li≤Li，所以

綜上所述，可得

收斂時(shí)間滿足

由式（48）可以得知，本節(jié)所設(shè)計(jì)的控制器滿足快速有限時(shí)間Lyapunov穩(wěn)定。證畢。

3 仿真分析

3.1 快速有限時(shí)間控制方案仿真分析

首先，在不考慮輸入飽和的情況下，利用文中所設(shè)計(jì)的快速有限時(shí)間控制律（26），對(duì)航天器姿態(tài)模型（2）和（3）進(jìn)行跟蹤控制。取與文獻(xiàn)［7］中相同的系統(tǒng)參數(shù)。

設(shè)四元數(shù)的初始狀態(tài)為：q(0)=(0.330 2 0.462 1 0.191 6 0.800 4)T，設(shè)角速度初始值ω(0)=(-0.2 0.3 0.5)T，將控制律設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)為：a1=8 ，a2=8,指 數(shù)α=0.5 ，取

航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)的四元數(shù)響應(yīng)曲線對(duì)比如圖1 所示。在快速有限時(shí)間控制律的設(shè)計(jì)下，四元數(shù)q0,q1,q2,q3的響應(yīng)速度明顯比有限時(shí)間控制器能夠更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而且還在一定程度上抑制了q2和q3中的擾動(dòng)。

角速度響應(yīng)曲線如圖2所示，角速度誤差響應(yīng)曲線如圖3所示。兩種方法均能實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤，但相比于有限時(shí)間控制方法來(lái)說(shuō)，本文所設(shè)計(jì)的快速有限時(shí)間控制器能夠以較快的速度和相當(dāng)準(zhǔn)確的控制精度跟蹤上最優(yōu)角速度使性能指標(biāo)Θ更快達(dá)到極小。

控制力矩響應(yīng)曲線如圖4 所示。本文設(shè)計(jì)的快速有限時(shí)間控制器的響應(yīng)時(shí)間明顯比有限時(shí)間控制器的響應(yīng)時(shí)間快。需要注意的是，本文的設(shè)計(jì)方案并沒(méi)有考慮到輸入飽和問(wèn)題，所以控制器的峰值力矩相對(duì)較高，從而導(dǎo)致控制器輸入的能量消耗。

3.2 基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制方案仿真分析

本文所提出的基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器為

仿真過(guò)程中所用到的新參數(shù)

圖5 是基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器所描繪出的四元數(shù)的響應(yīng)曲線。加入輸入飽和限制條件以后，四元數(shù)的響應(yīng)曲線并沒(méi)有受到明顯影響。

圖6是考慮輸入飽和的角速度的響應(yīng)曲線，圖7 是考慮輸入飽和的角速度誤差的響應(yīng)曲線。本文設(shè)計(jì)的控制方案能夠保證航天器的姿態(tài)和角速度達(dá)到正常情況下的穩(wěn)定效果，并且具有較高的快速性以及穩(wěn)定度。

圖8 是基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制作用下的響應(yīng)曲線，控制輸入的界限設(shè)置在（-1,1）區(qū)間內(nèi)。考慮到輸入飽和以后，控制器可以滿足任何的控制輸入要求，也就是說(shuō)通過(guò)很小的控制量就能夠快速實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤，這在實(shí)際系統(tǒng)中大大減少了輸入的能量消耗。

上述仿真結(jié)果充分說(shuō)明了本文所提出的基于輸入飽和的航天器快速有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制方案，在系統(tǒng)輸入受限的情況下，能夠使航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的姿態(tài)在任意有界輸入下被快速有限時(shí)間鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn)。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)四元數(shù)描述法建立的航天器姿態(tài)模型，首先利用最優(yōu)控制理論，得到最優(yōu)期望跟蹤角速度；以此為基礎(chǔ)，提出了一種快速有限時(shí)間控制策略，旨在實(shí)現(xiàn)航天器角速度的快速跟蹤，確保其跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂到零。同時(shí)，考慮到執(zhí)行器輸出的力矩不能過(guò)大，進(jìn)一步考慮了輸入飽和問(wèn)題，即通過(guò)較小的控制量就能實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)的快速跟蹤。仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的有效性。期望為航天器姿態(tài)跟蹤控制提供有效的分析方法及理論依據(jù)。