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        航天器快速有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤輸入飽和控制

        2021-01-27 02:16:50張曉偉
        關(guān)鍵詞:最優(yōu)控制角速度航天器

        張曉偉,陳 明

        (遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,遼寧 鞍山 114051)

        航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)是航天器系統(tǒng)的重要組成部分,相關(guān)研究已取得相當(dāng)大的突破[1-6]。文獻(xiàn)[1]基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了一種最優(yōu)的航天器姿態(tài)控制律;文獻(xiàn)[2]提出了一類航天器姿態(tài)跟蹤魯棒最優(yōu)控制策略;文獻(xiàn)[3]針對(duì)受約束的航天器姿態(tài)控制,設(shè)計(jì)了一類最優(yōu)的PID 控制器;文獻(xiàn)[4]結(jié)合自適應(yīng)律和狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)航天器系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì),設(shè)計(jì)了一類滑??刂破?。在這些研究中,閉環(huán)系統(tǒng)的收斂速度大都以指數(shù)形式進(jìn)行收斂。

        基于有限時(shí)間控制的姿態(tài)跟蹤控制方法,能使航天器的姿態(tài)誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零或是零點(diǎn)附近,與傳統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性理論相比,系統(tǒng)具有更好的快速性、魯棒性和抗干擾性。丁世宏等[7]基于最優(yōu)控制理論,設(shè)計(jì)了一類有限時(shí)間姿態(tài)控制器,使角速度能夠在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上最優(yōu)角速度。文獻(xiàn)[8]結(jié)合自適應(yīng)有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器和角速度計(jì)算設(shè)計(jì)了一種只需要姿態(tài)測(cè)量的有限時(shí)間航天器姿態(tài)控制器。文獻(xiàn)[9]考慮外部干擾、執(zhí)行器故障等,基于反步法提出了一種穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊航天器姿態(tài)跟蹤控制器。文獻(xiàn)[10]基于容錯(cuò)控制和雙冪次方法,設(shè)計(jì)了一類自適應(yīng)有限時(shí)間航天器姿態(tài)跟蹤容錯(cuò)控制算法。文獻(xiàn)[11]針對(duì)存在實(shí)際問(wèn)題的航天器系統(tǒng),利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估算系統(tǒng)中未知的線性函數(shù),設(shè)計(jì)了一類基于backstepping 策略的自適應(yīng)有限時(shí)間控制器。馬廣富等[12]為了提高航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的快速性,結(jié)合自適應(yīng)控制、backstepping策略以及滑??刂?,設(shè)計(jì)了一類航天器姿態(tài)跟蹤有限時(shí)間控制策略。

        目前,提升航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的控制速度成為了亟待解決的問(wèn)題。某些特定的任務(wù)需要保證航天器姿態(tài)系統(tǒng)達(dá)到特定的控制速度才能夠完成,不僅如此,即便航天器沒(méi)有要求特定的速度,更快的姿態(tài)控制速度也能提高航天器的工作效率。已有成果表明,快速有限時(shí)間控制器[13]具有更快的收斂速度。張凱等[14]為了保證實(shí)際系統(tǒng)的快速性,將非奇異快速終端滑模的思想和backstepping 策略相結(jié)合,并將控制器的參數(shù)進(jìn)行限制,構(gòu)造了快速有限時(shí)間控制方案。

        本文設(shè)計(jì)了一類基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器,控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的姿態(tài)在任何有界輸入的前提下,都能夠快速收斂到平衡點(diǎn)。最后,通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

        1 基礎(chǔ)知識(shí)

        1.1 航天器姿態(tài)數(shù)學(xué)模型

        航天器姿態(tài)跟蹤模型由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程組成。本文采用四元數(shù)描述法來(lái)描述航天器的姿態(tài)。

        首先定義四元數(shù)為[7]

        其中

        式中:參數(shù)q0∈R為四元數(shù)的標(biāo)量;qv=(q1,q2,q3)T∈R3是向量參數(shù);ev是旋轉(zhuǎn)軸的方向單位矢量;φ∈[0°,360°]表示旋轉(zhuǎn)角度。

        航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[7]

        式中:ω=(ω1,ω2,ω3)T是航天器的姿態(tài)角速度;E(q)表示單位矩陣,為反對(duì)稱矩陣,表示為

        經(jīng)過(guò)計(jì)算可以驗(yàn)證:E(q)TE(q)=I3×3。

        航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

        其中:J∈R3×3表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣,并且J是一個(gè)正定對(duì)角陣;u=(u1,u2,u3)T是由3 個(gè)執(zhí)行器所產(chǎn)生的控制力矩向量;ω×為反對(duì)稱矩陣,表示為

        1.2 輸入飽和函數(shù)

        在實(shí)際航天器姿態(tài)系統(tǒng)中存在輸入飽和現(xiàn)象,即航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的輸入力矩必須在有界范圍內(nèi)。在本文中,針對(duì)輸入信號(hào)u中的向量ui,定義一類新的飽和函數(shù)[15]

        其中:S=(S1,S2,S3)T是系統(tǒng)的飽和輸入信號(hào);umax和umin是輸入信號(hào)的上界和下界。

        對(duì)于式(4),采用分段函數(shù)來(lái)表示飽和輸入函數(shù)的近似值,定義

        式中:h=(h1,h2,h3)T,則u=sat(S)可表示為

        其中:h和l=(l1,l2,l3)T都是關(guān)于S的函數(shù),l=sat(u)-h是一個(gè)有界函數(shù),且滿足

        這里,L=(L1,L2,L3)T,Li=max(li),i=1,2,3。

        依據(jù)中值定理,存在一個(gè)已知的常數(shù)μ(0 <μ<1),滿足

        其中

        令S0=0,可以得到

        結(jié)合式(4)、式(6)和式(10),得出

        1.3 定義和引理

        定義1[16]對(duì)于本文中的x=(x1,x2,x3)T,定義sgnα(x)的形式為:其中 sgn(?)為符號(hào)函數(shù)。

        引理1[7]對(duì)于任何實(shí)數(shù),若有 0 <b<1 和xi,i=1,2,…,n,則有下列不等式成立

        引理2[13]快速有限時(shí)間Lyapunov 穩(wěn)定性定理:考慮如下系統(tǒng)

        若存在一個(gè)函數(shù)V(x)>0,使得

        其中,x∈D,D=Rn,c>0 ,b>0 ,0 <α<1,那么系統(tǒng)(14)的原點(diǎn)是全局快速有限時(shí)間穩(wěn)定的,并且設(shè)定時(shí)間取決于初始狀態(tài)x(0)=x0,且收斂時(shí)間

        2 控制器設(shè)計(jì)

        將航天器的角速度ω作為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的輸入,將整個(gè)航天器模型視為一個(gè)非線性系統(tǒng)[5]。本文的控制器設(shè)計(jì)分為兩個(gè)部分:快速有限時(shí)間控制律u和考慮輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器S。

        2.1 快速有限時(shí)間控制律設(shè)計(jì)

        對(duì)于航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型來(lái)說(shuō),其目標(biāo)一般都是將qv鎮(zhèn)定到 (0,0,0)T,將q0鎮(zhèn)定到1 或者-1。當(dāng)q0=1 時(shí),φ=4kπ,k∈Z;當(dāng)q0=-1 時(shí),φ=4kπ+2π,k∈Z,顯而易見(jiàn),無(wú)論q0等于1或者-1,φ均為2π 的整數(shù)倍。也就是說(shuō)航天器繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是2π 的整數(shù)倍,所以q0無(wú)論為1或者是-1,均表示航天器具有相同的姿態(tài)。

        針對(duì)航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(2),選取性能指標(biāo)為

        式中:Q=QT≥ 0,R=RT>0 都為加權(quán)陣。

        式(16)是一個(gè)典型的線性二次型性能指標(biāo)。接下來(lái)構(gòu)造Hamilton 函數(shù),并通過(guò)分析Hamilton-Jacobi方程,從而解出最優(yōu)控制律其目標(biāo)是保證針對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型所設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)Θ 能夠達(dá)到極小。

        Hamilton函數(shù)可以取為

        其中Θ*為性能指標(biāo)Θ 的最優(yōu)值。由于控制律u不受約束,所以,由最優(yōu)控制的極值條件以及式(17)得

        由式(18)得到最優(yōu)控制律

        由Hamilton-Jacobi方程得到

        整理得

        將式(22)代入到式(21)中,并且由ET(q)E(q)=I,得出

        式中:R-1是個(gè)參數(shù)對(duì)角陣。

        令Q=R-1,λ=2qv,結(jié)合式(19)得到最優(yōu)控制律

        在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)快速有限時(shí)間控制器u,使航天器的角速度ω能夠趨近于。令e(t)=再結(jié)合航天器動(dòng)力學(xué)方程(3)得到誤差模型

        針對(duì)誤差模型(25),將控制律u設(shè)計(jì)為

        式中:a1和a2都是大于零的設(shè)計(jì)參數(shù);指數(shù)α滿足 0 <α<1。

        證明取Lyapunov函數(shù)

        對(duì)V1求導(dǎo),可得

        由定義1可得

        將式(28)寫(xiě)為

        結(jié)合引理1,可以得到

        式中:Jmax=max{Ji},i=1,2,3。

        根據(jù)式(28),將式(32)重新表示為

        兩邊同時(shí)乘以a1,得到

        又因?yàn)?/p>

        兩邊同時(shí)乘以-a2,得到

        將式(36)重新表示為

        結(jié)合式(28)、(33)及(37),得

        顯見(jiàn),式(38)滿足快速有限時(shí)間得收斂形式,且收斂時(shí)間為

        證畢。

        2.2 基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器

        設(shè)計(jì)一類基于輸入飽和的航天器快速有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制器

        式中:S是將要設(shè)計(jì)的控制器;diag(L1,L2,L3)是一個(gè)對(duì)角陣;L1,L2,L3是L3×1的行向量;sgn(e)是關(guān)于e的符號(hào)函數(shù),且sgn(e)=[sgn(e1) sgn(e2) sgn(e3)]T。

        證明取Lyapunov函數(shù)為

        對(duì)V求導(dǎo),可得

        則式(42)可改寫(xiě)為

        所以僅證明如下

        由式(7)可得,li≤Li,所以

        綜上所述,可得

        收斂時(shí)間滿足

        由式(48)可以得知,本節(jié)所設(shè)計(jì)的控制器滿足快速有限時(shí)間Lyapunov穩(wěn)定。證畢。

        3 仿真分析

        3.1 快速有限時(shí)間控制方案仿真分析

        首先,在不考慮輸入飽和的情況下,利用文中所設(shè)計(jì)的快速有限時(shí)間控制律(26),對(duì)航天器姿態(tài)模型(2)和(3)進(jìn)行跟蹤控制。取與文獻(xiàn)[7]中相同的系統(tǒng)參數(shù)。

        設(shè)四元數(shù)的初始狀態(tài)為:q(0)=(0.330 2 0.462 1 0.191 6 0.800 4)T,設(shè)角速度初始值ω(0)=(-0.2 0.3 0.5)T,將控制律設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)為:a1=8 ,a2=8,指 數(shù)α=0.5 ,取

        航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)的四元數(shù)響應(yīng)曲線對(duì)比如圖1 所示。在快速有限時(shí)間控制律的設(shè)計(jì)下,四元數(shù)q0,q1,q2,q3的響應(yīng)速度明顯比有限時(shí)間控制器能夠更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài),而且還在一定程度上抑制了q2和q3中的擾動(dòng)。

        角速度響應(yīng)曲線如圖2所示,角速度誤差響應(yīng)曲線如圖3所示。兩種方法均能實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤,但相比于有限時(shí)間控制方法來(lái)說(shuō),本文所設(shè)計(jì)的快速有限時(shí)間控制器能夠以較快的速度和相當(dāng)準(zhǔn)確的控制精度跟蹤上最優(yōu)角速度使性能指標(biāo)Θ更快達(dá)到極小。

        控制力矩響應(yīng)曲線如圖4 所示。本文設(shè)計(jì)的快速有限時(shí)間控制器的響應(yīng)時(shí)間明顯比有限時(shí)間控制器的響應(yīng)時(shí)間快。需要注意的是,本文的設(shè)計(jì)方案并沒(méi)有考慮到輸入飽和問(wèn)題,所以控制器的峰值力矩相對(duì)較高,從而導(dǎo)致控制器輸入的能量消耗。

        3.2 基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制方案仿真分析

        本文所提出的基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器為

        仿真過(guò)程中所用到的新參數(shù)

        圖5 是基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制器所描繪出的四元數(shù)的響應(yīng)曲線。加入輸入飽和限制條件以后,四元數(shù)的響應(yīng)曲線并沒(méi)有受到明顯影響。

        圖6是考慮輸入飽和的角速度的響應(yīng)曲線,圖7 是考慮輸入飽和的角速度誤差的響應(yīng)曲線。本文設(shè)計(jì)的控制方案能夠保證航天器的姿態(tài)和角速度達(dá)到正常情況下的穩(wěn)定效果,并且具有較高的快速性以及穩(wěn)定度。

        圖8 是基于輸入飽和的快速有限時(shí)間控制作用下的響應(yīng)曲線,控制輸入的界限設(shè)置在(-1,1)區(qū)間內(nèi)。考慮到輸入飽和以后,控制器可以滿足任何的控制輸入要求,也就是說(shuō)通過(guò)很小的控制量就能夠快速實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤,這在實(shí)際系統(tǒng)中大大減少了輸入的能量消耗。

        上述仿真結(jié)果充分說(shuō)明了本文所提出的基于輸入飽和的航天器快速有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制方案,在系統(tǒng)輸入受限的情況下,能夠使航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的姿態(tài)在任意有界輸入下被快速有限時(shí)間鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn)。

        4 結(jié) 論

        本文針對(duì)四元數(shù)描述法建立的航天器姿態(tài)模型,首先利用最優(yōu)控制理論,得到最優(yōu)期望跟蹤角速度;以此為基礎(chǔ),提出了一種快速有限時(shí)間控制策略,旨在實(shí)現(xiàn)航天器角速度的快速跟蹤,確保其跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂到零。同時(shí),考慮到執(zhí)行器輸出的力矩不能過(guò)大,進(jìn)一步考慮了輸入飽和問(wèn)題,即通過(guò)較小的控制量就能實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)的快速跟蹤。仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的有效性。期望為航天器姿態(tài)跟蹤控制提供有效的分析方法及理論依據(jù)。

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