廖志忠, 王 琪

(中國空空導彈研究院, 河南 洛陽 471009)

0 引 言

相控陣雷達具有波束指向快速捷變、天線方向圖自適應形成、功率孔徑積大、可靠性高等優(yōu)點,突破了機械掃描雷達的諸多限制。隨著相控陣雷達小型化的發(fā)展,其在各類戰(zhàn)術導彈上得到了廣泛的應用,成為了雷達導引頭的一個重要發(fā)展方向。彈載相控陣雷達導引頭采用有源相控陣天線取代了平板縫陣天線,天線與彈體固連取消了機械穩(wěn)定平臺。有源相控陣天線通過數(shù)字移相器控制T/R組件的相位分布,完成功率的空間合成,形成發(fā)射和接收波束[1]。受數(shù)字移相器有效位數(shù)的限制和天線單元互耦的影響,相控陣天線波束指向精度存在誤差;同時,當雷達波束透過天線罩時會產(chǎn)生折射效應,導致目標角度誤差。相控陣天線指向誤差和天線罩瞄準誤差兩者共同構成了相控陣雷達導引頭指向誤差。

在導彈制導飛行過程中,相控陣雷達導引頭指向誤差會疊加在導引頭角度測量信息上,直接影響到制導指令,在指向誤差較大的情況下會出現(xiàn)嚴重的寄生回路振蕩問題,影響導彈制導系統(tǒng)的穩(wěn)定性和制導精度,這種影響在高空尤為明顯。在天線罩瞄準誤差對制導系統(tǒng)的影響方面,Nesline等分析了天線罩誤差對制導系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[2-3],給出了寄生效應和穩(wěn)定性分析方法。Zarchan等提出了采用抖動自適應的方法對天線罩誤差斜率進行估計與補償[4]。Yueh和Lin提出了使用多模型卡爾曼濾波器算法對天線罩誤差斜率進行估計和補償[5-6]。Song等研究了交互式多模型算法估計天線罩誤差斜率[7-11]。Abhijit等研究基于天線罩誤差測量數(shù)據(jù)的實時補償方法[12]。由于天線罩誤差嚴重非線性性,Lin 提出采用神經(jīng)網(wǎng)絡對非線性的誤差進行擬合[13]。在相控陣制導技術方面,Rock等分析了相控陣雷達及相控陣制導技術發(fā)展趨勢,指出了天線罩誤差和捷聯(lián)去耦精度是相控陣雷達導引頭亟需解決的關鍵技術[14-16]。Wang等給出了相控陣雷達導引頭捷聯(lián)去耦算法,并指出相控陣雷達導引頭指向誤差是影響其捷聯(lián)去耦精度的主要因素[17]。王嘉鑫等進行了相控陣雷達導引頭隔離度寄生回路研究,同樣表明導引頭指向誤差是產(chǎn)生隔離度問題的主要原因[18]。Wen等提出了采用虛位技術提高相控陣天線指向精度的技術途徑[19]。從發(fā)表的文獻來看,關于相控陣雷達導引頭指向誤差對制導系統(tǒng)的影響以及指向誤差斜率估計與補償方面的研究不多。

為解決相控陣雷達導引頭指向誤差導致的制導系統(tǒng)寄生回路振蕩問題,本文構建了相控陣雷達導引頭制導系統(tǒng)模型,分析了相控陣雷達導引頭指向誤差斜率對制導系統(tǒng)的影響機理,在指向誤差測量補償?shù)幕A上,又給出了基于多模型擴展卡爾曼濾波在線估計導引頭指向誤差斜率的方法,并在制導回路中對指向誤差斜率進行補償。在線估計方法是通過在慣性坐標系中建立擴展卡爾曼濾波模型,采用多模型與擴展卡爾曼濾波相結合的方法對導引頭指向誤差斜率進行實時估計與補償?shù)摹７抡娼Y果表明，所提方法可以有效抑制雷達導引頭指向誤差對制導系統(tǒng)的影響,顯著提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和制導精度。

1 相控陣雷達導引頭指向誤差斜率的數(shù)學描述

相控陣雷達導引頭波束控制過程如圖1所示。

圖1 相控陣天線波束控制Fig.1 Beam control of phased array antenna

(1)

式中,Δ(φb)為波束指向角φb處相控陣天線指向誤差和天線罩瞄準誤差的和,為φb的函數(shù)。

式(1)對時間求導可得

(2)

定義導引頭波束指向誤差斜率為R,R(φb)=dΔ(φb)/dφb,其同樣為φb的函數(shù)。式(2)對時間積分得

(3)

2 相控陣雷達導引頭指向誤差對導彈制導的影響分析

帶有機械位標器的導引頭內(nèi)部通常具有跟蹤和穩(wěn)定兩個閉環(huán)回路[20],而相控陣雷達導引頭波束運動用電子掃描方式代替了機械運動,其內(nèi)部只有一個閉環(huán)跟蹤回路,穩(wěn)定回路為開環(huán)形式。因此,采用比例導引的相控陣雷達導引頭制導系統(tǒng)動力學模型如圖2所示。

圖2 相控陣雷達導引頭制導系統(tǒng)動力學模型Fig.2 Dynamic model of phased array radar seeker guidance system

導彈自動駕駛儀通常等效為二階振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)為

(4)

式中,阻尼比ζ和振蕩頻率ωn隨導彈的飛行高度、速度實時變化。

在進行制導系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時,只需分析導彈系統(tǒng)動力學回路,無需考慮外部導彈-目標相對運動回路,此時系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 導彈系統(tǒng)動力學Fig.3 Missile system dynamics

在圖3所示的導彈系統(tǒng)動力學模型中,包含一個閉環(huán)跟蹤回路和一個開環(huán)的穩(wěn)定回路,還顯示了表示導引頭波束指向誤差斜率寄生反饋路徑的參數(shù)。接收機和速率陀螺刻度因子誤差也包含在這個模型中。

圖3中通過斷開自動駕駛儀輸入,推導由自動駕駛儀輸入到導引律輸出的開環(huán)傳遞函數(shù),可以進行寄生效應分析[3]。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(5)

當不存在接收機和速率陀螺刻度因子誤差(即KR=Kg=1)時,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

(6)

這個結果表明,在沒有速率陀螺或接收機刻度因子誤差的情況下,由于導引頭指向誤差斜率R不為零,制導系統(tǒng)也不會完全穩(wěn)定,存在寄生耦合效應。利用表1的輸入?yún)?shù),式(6)的頻率響應曲線如圖4所示。從圖4可以看出,隨著R值的增大,系統(tǒng)模穩(wěn)定裕度逐漸降低,由14.7 dB降至5.2 dB。

表1 仿真參數(shù)

圖4 系統(tǒng)的頻率響應曲線Fig.4 Frequency response curve of the system

波束指向誤差斜率R是影響相控陣雷達導引頭制導精度的關鍵指標。圖3中,以視線角qs為輸入,導彈加速度am為輸出,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(7)

式(7)為一個4階動力學系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)定性由零輸入響應所決定,即由系統(tǒng)特征方程特征根的性質所決定,系統(tǒng)特征方程為

(8)

根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學條件為:系統(tǒng)所有特征根的實部為負值。展開式(8),將系統(tǒng)特征方程改寫為

a0s4+a1s3+a2s2+a3s+a4=0

(9)

則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為

(10)

通過解式(10),可以計算出波束指向誤差斜率R的約束邊界。對于由氣動力控制的導彈,攻角時間常數(shù)可計算為

(11)

從a3>0可得

(12)

從式(12)可以看出:

(1) 在相同條件下,相比于低空,高空由于導彈飛行動壓更低、攻角時間常數(shù)Tα更大,對誤差斜率R的要求更高;

(2) 迎頭態(tài)勢下(Vo>Vm)比尾后態(tài)勢(Vo

(3) 在導航比N越大、自動駕駛儀帶寬ωn越大的情況下,對誤差斜率R的要求越嚴格。

根據(jù)典型導彈參數(shù)計算得到的雷達導引頭波束指向誤差斜率R的理論邊界如圖5所示,這里沒有考慮接收機熱噪聲、角閃爍噪聲和目標機動等條件的影響。若要準確評估R對制導系統(tǒng)的影響,可進行制導精度仿真。

圖5 指向誤差斜率R的理論邊界Fig.5 Theoretical boundary of pointing error slope R

在高度分別為20 km和15 km時,取導引頭指向誤差斜率R=0.03,導彈制導飛行過程中彈體姿態(tài)角曲線對比如圖6所示。從圖5和圖6中可以看出,高空對指向精度誤差的要求更高;同樣的指向誤差斜率下,導彈飛行高度越高,彈體姿態(tài)角振蕩越劇烈,對制導精度的影響越嚴重。

圖6 導彈姿態(tài)角Fig.6 Missile attitude angle

3 減小相控陣雷達導引頭指向誤差斜率影響的對策與仿真驗證

對于相控陣雷達導引頭指向誤差斜率引起的寄生回路振蕩問題,首先采用的解決措施是控制導引頭指向誤差斜率R,使誤差斜率盡可能小,不僅要滿足中低空的要求,還要滿足高空的要求。對于天線罩瞄準誤差,可以通過提高天線罩材料和厚度均勻度以及局部修模的方式,降低天線罩瞄準誤差斜率。對于彈載有源相控陣雷達天線,由于天線單元安裝誤差、T/R組件幅相控制誤差以及天線單元互耦的影響,導致天線指向產(chǎn)生誤差?？梢詤⒖继炀€罩瞄準誤差的建模和補償方法[12],結合相控陣天線的工作原理,利用實驗室指向誤差測量數(shù)據(jù)進行在線補償?shù)姆椒ㄌ岣咧赶蚓?。將相控陣天線和天線罩整體裝配后,在微波暗室中測量出不同角位置處導引頭指向誤差,形成測量誤差矩陣。將測量誤差矩陣存儲在導引頭計算機存儲器中,在導彈飛行過程中實時計算出當前波束位置處的誤差值,將其補償?shù)讲ㄊ侵噶瞀誦中送至相控陣天線,修正實際的相控陣雷達導引頭發(fā)射和接收波束。

采用指向誤差測量數(shù)據(jù)進行補償?shù)姆椒梢詫⒅赶蛘`差斜率明顯減小,但仍不能完全消除。此時,可以采用多模型與擴展卡爾曼濾波相結合的方法完成對指向誤差斜率的在線估計與補償。其中指向誤差斜率分別被建模為n組并行擴展卡爾曼濾波器的n個可能值。利用貝葉斯估計方法,以遞推的方式得到各模型的概率,并假設各模型之間的轉換是一個馬爾可夫過程。

在慣性系中,建立擴展卡爾曼濾波模型[21]。濾波模型由狀態(tài)方程和觀測方程組成。慣性系中狀態(tài)方程為

xk+1=Axk+Fu+Bωk

(13)

在慣性系中經(jīng)線性化后觀測方程為

zk=Hkxk+nk

(14)

式中，Hk=[1, 0, 0]；nk為零均值高斯白噪聲,其方差記為Vk，wk和nk是兩個不相關的高斯白噪聲。

導引頭指向誤差斜率R建模為一個參數(shù)集合:

RΩ={R1,R2,…,Rn}

(15)

對于集合中的每一個參數(shù)定義一個擴展卡爾曼濾波器,并利用每個濾波器的測量殘差和殘差協(xié)方差來估計參數(shù)的概率,最后計算參數(shù)集的均值作為指向誤差斜率的最優(yōu)估計。

根據(jù)貝葉斯準則,第j個參數(shù)模型在第k個采樣時刻的所有可用觀測下的條件概率為

(16)

式中，Zk是第k個采樣時刻之前的所有觀測值的集合,即

Zk={z1,z2,…,zk}={Zk-1,zk}

(17)

如果xk已知,式(16)中P(zk|Rj,Zk-1)為

P(zk|Rj,Zk-1)=P(zk|xk(Rj))

(18)

(19)

式中,rk是觀測殘差,可表示為

(20)

式中,Sk是殘差協(xié)方差矩陣,可表示為

Sk=HkPk(Rj)HT+Vk

(21)

式(16)中還需要計算的是P(Rj|Zk-1),可以通過下式獲得:

(22)

式中,P(Rj|Ri,Zk-1)為模型間的轉移概率,這里假設模型轉移過程為一個馬爾可夫過程,P(Rj|Ri,Zk-1)為轉移概率矩陣第j行第i列的元素,決定了參數(shù)間狀態(tài)轉移的概率法則[25]。

至此可以計算出P(Rj|Zk),導引頭指向誤差斜率估計值和狀態(tài)估計值分別由參數(shù)集的加權和n個擴展卡爾曼濾波器狀態(tài)的加權和形成。

(23)

(24)

圖7 指向誤差斜率補償方法Fig.7 Slope compensation methods of pointing error

如果指向誤差斜率估計性能良好,則可顯著降低彈體寄生耦合效應,假設導彈和目標在同一水平面內(nèi)飛行,下面進行仿真驗證。設置仿真初始條件:高度為20 km(Tα=2.0 s),導彈-目標初始距離為14 000 m,導彈速度為900 m/s,導彈初始偏航角為20°,目標速度為450 m/s,目標進入角為140°。仿真中加入導引頭指向誤差斜率,用正弦信號模擬指向誤差斜率R的真實變化,即:

R=ARsin(2π·0.1·t)

(25)

未進行導引頭指向誤差測試補償時,斜率幅度值為AR=0.06,對指向誤差測試補償后,斜率幅度值為AR=0.03。

設置指向誤差斜率參數(shù)集RΩ為

RΩ={-0.05,-0.025,0.0,0.025,0.05}

(26)

由以上初始條件開始仿真,圖8所示為導引頭指向誤差斜率的估計結果。可以看出,多模型擴展卡爾曼濾波對于被估計參數(shù)具有很好的估計性能,可以快速估計出真實的指向誤差斜率。

圖8 仿真估計結果Fig.8 Simulation estimation result

從圖9和圖10所示的仿真結果可以看出,在未做任何補償?shù)那闆r下,無論是彈體加速度還是彈體姿態(tài)都產(chǎn)生了強烈的振蕩,表明系統(tǒng)已經(jīng)趨向于失穩(wěn)。對指向誤差進行測試補償后,導彈振蕩幅度減小。進而采取多模型在線估計與補償方法之后,彈體加速度和彈體姿態(tài)的振蕩狀態(tài)已經(jīng)基本消失,表明多模型估計補償?shù)姆椒芟赶蛘`差對制導系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,保證了導彈在整個制導過程中的穩(wěn)定性。

圖9 導彈加速度仿真結果Fig.9 Simulation result of missile acceleration

圖10 導彈偏航角仿真結果Fig.10 Simulation result of missile yaw angle

從圖11中的導彈目標運動軌跡仿真結果來看,在未做任何補償?shù)臈l件下,導彈軌跡產(chǎn)生明顯的制導偏差,影響了導彈的整個飛行狀態(tài),脫靶量為20.24 m。對導引頭指向誤差進行測試補償后,脫靶量降到了10.59 m。進而采取多模型在線估計補償方法之后,脫靶量降為0.53 m,制導精度得到了大幅提升,表明多模型估計補償方法是有效的。

圖11 導彈和目標運動軌跡Fig.11 Trajectory of missile and target

在上述仿真條件下,在高度為20 km(Tα=2.0 s)和25 km(Tα=3.0 s),R=0.03的情況下,進行了制導精度蒙特卡羅統(tǒng)計仿真驗證,對比了指向誤差測試補償?shù)慕Y果以及在此基礎上采用多模型擴展卡爾曼濾波算法估計和補償?shù)慕Y果,脫靶量均值結果如表2所示(統(tǒng)計樣本數(shù)為1 000)?？梢钥闯鲈诟叨确謩e為20 km和25 km時,多模型估計補償算法性能良好,在對導引頭指向誤差進行測試補償后,可以進一步提高導彈制導精度。

表2 脫靶量均值統(tǒng)計結果

4 結 論

相控陣雷達導引頭指向誤差包括有源相控陣天線指向誤差和天線罩瞄準誤差,在全捷聯(lián)相控陣雷達導引頭的應用中,導引頭指向誤差帶來的寄生耦合問題將影響導彈制導系統(tǒng)的穩(wěn)定性和制導精度,在高空尤為嚴重。

在對指向誤差測試補償?shù)幕A上,采用多模型擴展卡爾曼濾波的方法對導引頭指向誤差斜率進行實時估計與補償,可以有效抑制導引頭指向誤差斜率帶來的寄生回路耦合問題。仿真結果表明,所設計的多模型擴展卡爾曼濾波估計算法能夠快速準確地估計出指向誤差斜率,采用補償方法之后,能夠消除指向誤差斜率對制導系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,保證了導彈在飛行過程中的穩(wěn)定性,從而提高導彈的制導精度。