張智韜，陳延軍,2，李曉強(qiáng)，仵 杰,2

(1.西安石油大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710065； 2.陜西省光電傳感測井重點實驗室，陜西 西安 710065； 3.中國石油集團(tuán)測井有限公司 吐哈分公司，新疆 鄯善 838200)

引 言

巖石物理是地球物理勘探認(rèn)識油氣藏的基礎(chǔ)，是銜接油氣藏地質(zhì)認(rèn)識與油氣開發(fā)的重要橋梁，以巖石物理為基礎(chǔ)的測井是發(fā)現(xiàn)、評估油氣藏量及產(chǎn)量的重要手段。巖石的介電常數(shù)是儲層巖石的主要電學(xué)參數(shù)之一，是評估儲層巖石里油水層分布的重要因素。在電法測井領(lǐng)域，利用數(shù)字巖心及數(shù)值模擬的方法對巖石介電特性進(jìn)行研究成為新的熱點。由于人們對儲層巖石物理性質(zhì)和電特性的認(rèn)識不完全，在油氣儲層的研究與準(zhǔn)確評估方面存在較大困難，因此在巖石物理領(lǐng)域開展相關(guān)實驗研究工作十分重要[1]。

Francesco de Paulis等利用麥克斯韋-加內(nèi)特(MG)混合公式，研究了不同頻率特性組合下含有隨機(jī)球形夾雜物的兩相材料的等效介電常數(shù)，但內(nèi)含物形態(tài)只限制為球形[2]；Pan Baozhi等計算了混合流體巖石介電特性的CRI模型和Maxwell-Garnett模型，分析了巖石介電常數(shù)與礦化度、飽和度、頻率的關(guān)系，研究中并沒有對內(nèi)含物形態(tài)進(jìn)行具體分析[3]。董航等利用三維有限差分方法分別對層狀頁巖模型、含極薄層結(jié)構(gòu)頁巖模型以及含橢球形裂縫結(jié)構(gòu)頁巖模型的等效電參數(shù)進(jìn)行了分析，總結(jié)了頻散下電特性的影響因素和變化規(guī)律，該方法缺少實際巖心結(jié)構(gòu)對等效介電常數(shù)的影響分析[4]。盧靜生等建立含水巖心的介電常數(shù)測量系統(tǒng)，通過測量在10～40 MHz下材料介電的頻散特性，得到了介電常數(shù)總趨勢是隨頻率增高而減小的規(guī)律，但測量頻帶過窄[5]。

本文對兩相物質(zhì)進(jìn)行研究，彌補(bǔ)了復(fù)雜兩相物質(zhì)介電頻散特性方面研究的不足。首先將兩種物質(zhì)按照不同的體積比混合，利用傳統(tǒng)的模型在固定的頻率下，通過Maxwell Garnett公式，研究其電特性，得到等效介電常數(shù)，再利用Debye模型研究兩相物質(zhì)在頻散下的介電特性[6-8]。通過數(shù)值模擬兩相混合物等效介電常數(shù)，將其結(jié)果與傳統(tǒng)模型經(jīng)驗公式的解進(jìn)行對比，驗證了數(shù)值模擬的正確性。然后從數(shù)值模擬角度研究了內(nèi)含物體積占比和在內(nèi)部位置改變時，對等效介電常數(shù)的影響。最后通過改變內(nèi)含物的狀態(tài)，在真實巖心孔隙結(jié)構(gòu)下，研究內(nèi)含物結(jié)構(gòu)對等效介電常數(shù)的影響。

1 電學(xué)理論分析

介電常數(shù)是表征電介質(zhì)電能儲存的能力，當(dāng)電介質(zhì)受到外加電場激勵時，會產(chǎn)生不同類型的極化現(xiàn)象，主要分為取向極化、分子極化、電子極化以及界面極化，這些不同的極化現(xiàn)象具有不同的響應(yīng)時間[9-11]。為了描述極化電荷分布的影響，引入了極化率χ，此時時域本構(gòu)關(guān)系為

D(r,t)=ε0(r)E(r,t)+(χ*E)(r,t)。

(1)

式中：電場強(qiáng)度E與D均為空間與時間的函數(shù)，極化頻散特性由極化率χ(r,t)表征，(χ*E)表示時間域卷積。

(2)

與式(1)對應(yīng)的頻域本構(gòu)關(guān)系為：

D(ω)=ε(ω)E(ω)。

(3)

其中，D(ω)、E(ω)分別為D、E的傅里葉變換。

介電常數(shù)的頻散特性定義為：

(4)

由時諧形式的Maxwell方程可知：

(5)

(6)

對于兩相物質(zhì)等效介電特性的研究，首先運用Debye模型將單個材料介電特性擴(kuò)展到寬頻，即

ε=ε

(7)

式中：ε∞為電介質(zhì)在光頻下的相對介電常數(shù)，εs為電介質(zhì)在穩(wěn)態(tài)時的相對介電常數(shù)，τ為弛豫時間。

其次利用混合公式計算固定頻率時混合二相物質(zhì)的等效介電常數(shù)，本文選擇M-G(Maxwell Garnett)混合公式：

(8)

式中：εeff為混合后總體的相對介電常數(shù)(就是等效介電常數(shù))，εi為內(nèi)含物的相對介電常數(shù)，εe為外部物質(zhì)的相對介電常數(shù)，f為中間夾雜物占總體的體積比。

該混合公式僅適用于內(nèi)含物為球體且占體積比小的理想兩相物質(zhì)；最后獲得寬頻范圍內(nèi)混合物等效介電常數(shù)的頻散特性。為了研究內(nèi)含物體積占比較大且外形、位置復(fù)雜時混合物等效介電頻散特性的影響因素，由于此時超出混合公式的使用范圍，須借助數(shù)值模擬軟件COMSOL計算其等效介電常數(shù)。

2 兩相混合物質(zhì)等效介電頻散特性影響因素

本文關(guān)于兩相混合物質(zhì)等效介電頻散特性研究中，兩相混合物質(zhì)分為3種情況：A.內(nèi)含物材料為白云巖，外部材料為純水；B.內(nèi)含物材料為原油，外部材料為純水；C.某井油砂巖樣Micro-CT掃描數(shù)字巖心。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)得到水的相對介電常數(shù)εe0=80；εe∞=5[12]。以上3種情況內(nèi)含物均無頻散特性，其介電常數(shù)與頻率無關(guān)(εi0=εi∞)，具體參數(shù)見表1。

借助COMSOL有限元仿真軟件，基于AC/DC物理場接口中電流模塊，建立兩相混合物質(zhì)的電容模型。首先建立幾何模型，混合物質(zhì)模型尺寸為100 mm×100 mm×100 mm，設(shè)置內(nèi)含物為球形，根據(jù)不同的體積比推算其半徑，混合物質(zhì)模型上下表面放置兩塊銅質(zhì)平行板,尺寸為100 mm×100 mm×10 mm；其次根據(jù)表1中參數(shù)設(shè)置模型材料屬性、設(shè)置邊界條件，上極板施加1 V電壓，下極板接地，按照從內(nèi)到外、從小到大、從密到疏的原則，網(wǎng)格剖分幾何模型；最后設(shè)定求解器，計算不同頻率處的等效介電常數(shù)εeff。將計算結(jié)果與M-G混合公式比較，以驗證M-G混合公式的適用范圍，通過調(diào)整內(nèi)含物的體積、位置、個數(shù)、排列形式及其形狀等參數(shù)，研究兩相混合物質(zhì)等效介電常數(shù)頻散特性的影響因素。

表1 各組分的電特性Tab.1 Electrical properties of each component

2.1 內(nèi)含物體積對等效介電頻散特性的影響

兩相物材料為情況A時，內(nèi)含物體積占比Vφ=0.3，其他參數(shù)不變，研究其對等效介電頻散特性的影響。

圖1 混合物A等效介電常數(shù)εeff頻散圖(Vφ=0.3)Fig.1 Dispersion diagram of equivalent permittivity εeff of mixture A(Vφ=0.3)

由圖1知隨著頻率的不斷升高，等效介電常數(shù)的實部先減小后趨于平穩(wěn)。對于每種極化都有不一樣的響應(yīng)時間，當(dāng)頻率升高，響應(yīng)時間慢的極化作用會降低，使得等效介電常數(shù)減小。

兩相物材料為情況B時，當(dāng)其他參數(shù)不改變，研究改變內(nèi)含物體積占比，對等效介電頻散特性的影響。內(nèi)含物體積占比分別為0.15、0.20、0.30、0.40的模型得到的等效介電常數(shù)如圖2所示。

由圖2知，內(nèi)含物體積占比增大，兩相物質(zhì)等效介電常數(shù)值減小。并且當(dāng)內(nèi)含物體積占比增大，數(shù)值解和經(jīng)驗公式在低頻部分的等效介電常數(shù)的實部出現(xiàn)差異，原因是傳統(tǒng)的經(jīng)驗公式忽略了內(nèi)含物之間的相互作用，且不包含內(nèi)含物的結(jié)構(gòu)信息。在內(nèi)含物體積占比大和內(nèi)含物與外部材料等效介電常數(shù)相差很大的時候，傳統(tǒng)混合定理的準(zhǔn)確性會下降。當(dāng)內(nèi)含物體積占比大時，通過數(shù)值模擬得到的數(shù)值解更能體現(xiàn)真實值。

圖2 混合物B內(nèi)含物體積占比Vφ對等效介電εeff頻散的影響Fig.2 Effect of volume fraction Vφof inclussions of mixture B on dispersion of its equivalent dielectric constant εeff

2.2 內(nèi)含物位置對等效介電頻散特性的影響

在兩相物材料為情況B時，固定內(nèi)含物體積占比為0.20，研究改變內(nèi)含物的位置對等效介電頻散特性的影響。

圖3顯示，內(nèi)含物的位置移動對等效介電常數(shù)的影響不大。對于小體積單一球形內(nèi)含物，經(jīng)驗公式與數(shù)值模擬結(jié)果相似。

2.3 內(nèi)含物形態(tài)對等效介電頻散特性的影響

在兩相物材料為情況B時，固定內(nèi)含物體積占比為0.15，對比分析以下3種情況下的等效介電頻散特性：(1)固定內(nèi)含物位置下唯一內(nèi)含物；(2)固定內(nèi)含物位置，內(nèi)含物等體積均分為8個球；(3)將內(nèi)含物不等體積分割為8個球體，位置隨機(jī)分布。

圖4表明，當(dāng)內(nèi)含物體積占比小時，增加內(nèi)含物數(shù)量和不同體積隨機(jī)分布的內(nèi)含物對等效介電常數(shù)影響不大。原因是內(nèi)含物增多后，內(nèi)含物結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，會導(dǎo)致等效介電常數(shù)變化，但由于內(nèi)含物體積占比不大(Vφ<0.40)，產(chǎn)生的極化現(xiàn)象弱，因此等效介電常數(shù)變化不大。

當(dāng)兩相物材料為情況B，固定內(nèi)含物體積占比分別為0.20和0.40時，將內(nèi)含物等間隔分成4個、8個和27個球，研究內(nèi)含物形態(tài)改變對等效介電頻散特性的影響(圖5)。

圖3 混合物B內(nèi)含物位置對等效介電εeff 頻散特性的影響Fig.3 Effect of position of inclusions of mixture B on dispersion of its equivalent dielectric constant εeff

圖4 混合物B小體積內(nèi)含物數(shù)量對等效介電εeff頻散特性的影響Fig.4 Effect of number of inclusions of small volume fraction in mixture B on dispersion of its equivalent dielectric constant εeff

由圖5(b)、(c)可知，對于小體積的內(nèi)含物，內(nèi)含物的數(shù)量對有效介電頻散特性影響不大。而對于大體積的內(nèi)含物，隨著內(nèi)含物數(shù)量的增多，有效介電常數(shù)實部在低頻下增大。原因是當(dāng)固定內(nèi)含物體積占比時，將內(nèi)部油分成多個分散相，極化效應(yīng)作用變小，對整體的等效介電常數(shù)影響變小，使得整體的等效介電常數(shù)偏向于水的等效介電常數(shù)。這種現(xiàn)象當(dāng)內(nèi)部油體積占比大的時候尤為明顯，當(dāng)體積占比小時影響弱。且隨著內(nèi)含物數(shù)量的增多，內(nèi)部結(jié)構(gòu)趨于復(fù)雜，界面極化現(xiàn)象增強(qiáng)，對低頻部分的等效介電常數(shù)產(chǎn)生影響。但隨著頻率增大，界面極化的響應(yīng)變?nèi)?，使得?nèi)含物數(shù)量對等效介電常數(shù)的影響變?nèi)酰愿哳l段的等效介電常數(shù)區(qū)別不大。

兩相物材料為情況B，內(nèi)含物體積占比為0.40保持不變，將內(nèi)部材料的形狀變?yōu)閳A柱體，對比分析其與球形內(nèi)含物對等效介電頻散特性的影響(圖6)。

由圖6(b)知，當(dāng)內(nèi)含物改變形狀后對等效介電常數(shù)產(chǎn)生影響，等效介電常數(shù)數(shù)值變小。

對于實際巖心，本文基于MICRO-CT某井油砂巖心切片，經(jīng)圖像處理形成三維模型，運用COMSOL數(shù)值模擬計算該混合物等效介電常數(shù)εeff。本文巖心模型按灰度處理分為2個域，如圖7(a)所示，藍(lán)色區(qū)域材料為水，灰色區(qū)域材料為巖心填充物，分別研究巖心填充物介電常數(shù)、電導(dǎo)率對等效介電頻散特性的影響。

圖5 混合物B大體積內(nèi)含物數(shù)量對等效介電εeff頻散特性的影響Fig.5 Effect of number of inclusions of large volume in mixture B on dispersion of its equivalent dielectric constant εeff

圖6 混合物B內(nèi)含物形狀對等效介電εeff頻散特性的影響Fig.6 Effect of shape of inclusions of mixture B on dispersion of its equivalent dielectric constant εeff

圖7 混合物C某井油砂巖心等效介電常數(shù)εeff頻散圖Fig.7 Dispersion diagram of equivalent dielectric constant εeff of mixture C from oil sand core of a well

結(jié)果表明，隨著內(nèi)含物相對介電常數(shù)和電導(dǎo)率的增大，實際巖心的等效介電常數(shù)隨之增大。由于實際巖心模型的孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使得εeff變化幅度增大，不能簡單地用理想模型來概括。對于實際巖心，εeff實部受趨膚效應(yīng)的影響，在f>106Hz時等效介電有增大趨勢，在f>109Hz時開始減小。隨著頻率的增大，趨膚效應(yīng)嚴(yán)重，導(dǎo)致等效介電常數(shù)在頻率為1012Hz附近趨于平穩(wěn)。而理想兩相物質(zhì)也存在εeff增大情形，但其增大幅度很小。

3 結(jié) 論

本文通過數(shù)值模擬研究內(nèi)含物的體積大小、位置、個數(shù)、排列形式及其形狀等因素對兩相混合物質(zhì)等效介電常數(shù)εeff的頻散特性的影響。結(jié)果分析表明，當(dāng)內(nèi)含物體積比小于0.30時，以上有關(guān)內(nèi)含物的因素對εeff的影響可以忽略不計，可通過混合公式計算等效介電常數(shù)；當(dāng)體積比大于0.30時，內(nèi)含物的不同形態(tài)對εeff的影響不容忽略，須通過數(shù)值模擬研究復(fù)雜形態(tài)內(nèi)含物的等效介電常數(shù)特征，對于復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)的數(shù)字巖心模型，孔隙填充物的相對介電常數(shù)以及電導(dǎo)率顯著影響其等效介電常數(shù)的頻散特性。