李學(xué)剛，張麗娟，魏世民，李河清

(1.北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京100876；2.華北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北唐山063210)

平面六桿機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)豐富的連桿軌跡，與四桿機(jī)構(gòu)相比，其具有運(yùn)動(dòng)所占空間小、便于實(shí)現(xiàn)停歇運(yùn)動(dòng)、易于取得有利傳動(dòng)角、可實(shí)現(xiàn)多重運(yùn)動(dòng)等優(yōu)勢(shì)[1]，但其尺寸參數(shù)較多，運(yùn)動(dòng)要求多樣而復(fù)雜，尺度綜合設(shè)計(jì)較為困難。目前，求解該問題的方法主要有圖譜法[2-3]、優(yōu)化法[4-7]、精確點(diǎn)法[8-11]等。其中：圖譜法、優(yōu)化法雖然能夠完成平面六桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合問題，但由于平面六桿機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)較多，解域空間大，建立完備的數(shù)值圖譜庫(kù)和給定合理優(yōu)化初值難度較大，使用這些方法進(jìn)行機(jī)構(gòu)綜合有時(shí)難以得到精確的最優(yōu)結(jié)果；精確點(diǎn)法通過建立約束方程，求解得到機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)，雖然可以得到較為精確的綜合結(jié)果，但受機(jī)構(gòu)未知參數(shù)個(gè)數(shù)的限制，無法實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)位連續(xù)軌跡綜合。

作者針對(duì)Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)，提出一種基于傅氏級(jí)數(shù)的連續(xù)軌跡綜合的代數(shù)求解方法。與原有方法相比，該方法通過方程求解得到機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，其解的精度高，完備性強(qiáng)，且不需要提供優(yōu)化的初值，也無需事先建立圖譜庫(kù)。有效擴(kuò)大了代數(shù)法的適用范圍，提高了連桿機(jī)構(gòu)近似運(yùn)動(dòng)綜合的求解精度和速度。

1 連桿曲線的傅氏級(jí)數(shù)表示

圖1為Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)示意圖。機(jī)構(gòu)各桿長(zhǎng)尺寸分別為l1、l2、l3、l4、l5、l6，機(jī)架AD與x軸的夾角為 β，A點(diǎn)到原點(diǎn)o的距離為r，旋轉(zhuǎn)角度為 μ，α1為機(jī)架上的角∠GAD， α2、 α3分別為浮動(dòng)桿Ⅰ、Ⅱ上的角∠EBC、∠PEF， θ1為連桿BC與機(jī)架AD之間的夾角，θ2為連桿EF的輻角，φ、φ0分別為機(jī)構(gòu)的輸入桿轉(zhuǎn)角、初始位置轉(zhuǎn)角，浮動(dòng)桿Ⅰ、Ⅱ上E點(diǎn)、P點(diǎn)分別為連桿軌跡生成點(diǎn)。

Stephenson-Ⅲ平面六桿機(jī)構(gòu)為多環(huán)組合機(jī)構(gòu)，其可以看作在四桿機(jī)構(gòu)ABCD上串聯(lián)了一個(gè)二桿組EFG。其浮動(dòng)桿Ⅰ上的E點(diǎn)產(chǎn)生軌跡曲線即為四桿機(jī)構(gòu)ABCD的連桿曲線，浮動(dòng)桿Ⅱ上的P點(diǎn)可以產(chǎn)生更為復(fù)雜的連桿曲線。

由文獻(xiàn)[3]可知：當(dāng)曲柄AB以 ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角度φ、 θ1、 θ2、 ρ均為以時(shí)間t為變量的周期性函數(shù)，且有φ=ωt；E點(diǎn)和P點(diǎn)產(chǎn)生的連桿曲線為周期性封閉曲線，可以表示為以φ為變量的傅氏級(jí)數(shù)之和：

圖1 Stephenson-Ⅲ六桿機(jī)構(gòu)軌跡生成圖Fig.1 Illustration of a planner Stephenson-Ⅲsix-bar linkage

2 平面六桿機(jī)構(gòu)綜合設(shè)計(jì)方程建立

由圖1可以發(fā)現(xiàn)，完成Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)的軌跡綜合，需要確定包括初始相位角在內(nèi)的15個(gè)獨(dú)立設(shè)計(jì)變量：r、l1、l2、l21、l3、l4、l5、l6、l61、φ0、β、α1、α2、α3、μ，為使所建立的綜合設(shè)計(jì)方程求解方便，能夠獲取方程解析解，將該機(jī)構(gòu)拆分成1個(gè)四桿機(jī)構(gòu)和1個(gè)二桿組，分兩部分求解機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量。

2.1 左側(cè)四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)變量求解

如果以E點(diǎn)軌跡為綜合目標(biāo)，機(jī)構(gòu)左側(cè)四桿機(jī)構(gòu)ABCD的綜合過程可以完全等效為1個(gè)平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合問題。作者在文獻(xiàn)[12-14]中已建立了基于傅氏級(jí)數(shù)的平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合的代數(shù)方法，提出了該機(jī)構(gòu)軌跡綜合設(shè)計(jì)變量計(jì)算的通用公式。應(yīng)用該通式可以計(jì)算得到左側(cè)四桿機(jī)構(gòu)的10個(gè)設(shè)計(jì)變量，r、μ、l1、l2、l21、l4、l61、φ0、α2、β變量的計(jì)算公式如下：

2.2 右側(cè)二桿組設(shè)計(jì)變量求解

由文獻(xiàn)[14]可知，左側(cè)四桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)可以得到12組解，將其與右側(cè)二桿組的設(shè)計(jì)參數(shù)得到的4組解進(jìn)行組合，最終可以得到48組Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合設(shè)計(jì)參數(shù)。將綜合所得機(jī)構(gòu)代入仿真程序，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，檢驗(yàn)是否存在曲柄，有無分支、順序問題，并依據(jù)綜合誤差，最終可得到最優(yōu)綜合結(jié)果。

3 綜合步驟

依據(jù)前面分析，可以建立Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合的代數(shù)求解方法，具體步驟如下：

1）將Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)拆分為四桿機(jī)構(gòu)和二級(jí)桿組，根據(jù)E點(diǎn)的軌跡生成任務(wù)，利用式（5）得到連桿曲線的諧波參數(shù)cn，將其代入平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合的設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算通用公式，得到左側(cè)四桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)r、μ、l1、l2、l21、l4、l61、φ0、α2、β。

3）對(duì)所得48組綜合結(jié)果進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，檢驗(yàn)其是否存在曲柄，有無分支問題、順序問題，并依據(jù)綜合誤差，最終得到滿足設(shè)計(jì)要求的Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)。

4 綜合實(shí)例

實(shí)例：綜合Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)，使其E點(diǎn)和P點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的兩條面包形軌跡，目標(biāo)軌跡的具體坐標(biāo)值列于表1中。

表1 E、P點(diǎn)軌跡采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值Tab.1 Coordinatesof prescribed pointsof E and P

圖2 生成軌跡與目標(biāo)軌跡點(diǎn)的比較Fig.2 Comparison between prescribed points and the corresponding generated path

表2 目標(biāo)軌跡點(diǎn)的傅式級(jí)數(shù)展開的諧波參數(shù)Tab.2 Fourier coefficients of coordinates of prescribed points

圖2(a)、(b)分別為E、P兩點(diǎn)目標(biāo)軌跡與機(jī)構(gòu)生成軌跡的比較。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，該方法綜合的機(jī)構(gòu)能夠較好地再現(xiàn)目標(biāo)軌跡。

5 結(jié) 論

建立了一種基于傅氏級(jí)數(shù)的Stephenson-Ⅲ型平面六桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合的代數(shù)求解新方法。與已有的綜合方法相比，該方法克服了精確點(diǎn)數(shù)目的限制，無需給定初值和建立數(shù)值圖譜庫(kù)，不需要進(jìn)行查找和迭代運(yùn)算，具有計(jì)算速度快、求解精度高、可重復(fù)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)；該方法可以同時(shí)提供多種綜合結(jié)果，為設(shè)計(jì)者提供更多的選擇。如果該方法所得結(jié)果的精度不能滿足設(shè)計(jì)要求，可將其作為初值進(jìn)行優(yōu)化綜合，進(jìn)一步得到滿足設(shè)計(jì)要求的結(jié)果。