吳 凡，仇志堅(jiān)

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200444)

0 引 言

在磁懸浮軸承控制系統(tǒng)中，全橋結(jié)構(gòu)開(kāi)關(guān)功放在實(shí)際運(yùn)用中對(duì)電流有良好的跟蹤效果[1-4]。目前，磁軸承開(kāi)關(guān)功放的控制策略主要有最大電流誤差控制、節(jié)點(diǎn)電位控制法和單周期控制等[5-8]。最大電流誤差控制在模擬控制中實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、控制精度高,但在數(shù)字控制中效果不好；節(jié)點(diǎn)電位控制包含PID控制算法，對(duì)磁軸承參數(shù)敏感；數(shù)字單周期控制是利用開(kāi)關(guān)變換器的脈沖調(diào)制和非線性特性，實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)時(shí)電壓和電流的瞬時(shí)控制,具有控制精度高和響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，可以提高磁懸浮軸承控制系統(tǒng)性能[9-12]。

文獻(xiàn)[13]分別在單、雙極性單周期控制中，僅考慮電感特性推導(dǎo)了單周期控制數(shù)學(xué)模型，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其合理性，并運(yùn)用于五相六橋臂開(kāi)關(guān)功放電路中控制五自由度的磁軸承電機(jī)，獲得良好的控制效果。文獻(xiàn)[14]考慮了磁軸承線圈電阻特性，對(duì)原有的單周期控制數(shù)學(xué)模型算法進(jìn)行優(yōu)化，并在電流均值和終值跟蹤方法下對(duì)單、雙極性單周期控制進(jìn)行比較，仿真驗(yàn)證了其合理性。文獻(xiàn)[15]根據(jù)單周期控制原理，分析其系統(tǒng)存在延時(shí)的因素及其對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成的影響，提出了通過(guò)傳遞函數(shù)和傅里葉分解法添加延時(shí)補(bǔ)償項(xiàng)，設(shè)計(jì)出兩種延時(shí)補(bǔ)償模型，仿真和實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證其可行性。

上述文獻(xiàn)的數(shù)字單周期控制算法中，是在每個(gè)周期初始時(shí)刻采樣電流，并與參考電流比較來(lái)計(jì)算占空比，并用于當(dāng)前整個(gè)周期內(nèi)的PWM信號(hào)產(chǎn)生。但是該周期內(nèi)由于前半周期的控制使得實(shí)際電流變化，后半周期延用前半周期的占空比將無(wú)法獲得精確的控制電流。本文通過(guò)采用半周期控制思想，在一個(gè)周期中點(diǎn)處再次采樣實(shí)際電流并計(jì)算占空比及判斷工作模態(tài)，以此減小電流誤差來(lái)提高電流控制精度。此外，針對(duì)傳統(tǒng)單周期控制方法中采用極限簡(jiǎn)化占空比計(jì)算的不足，提出了一種基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的占空比計(jì)算方法。最后與傳統(tǒng)單周期控制進(jìn)行了MATLAB仿真對(duì)比，磁軸承系統(tǒng)仿真結(jié)果驗(yàn)證了半周期控制策略的可行性和優(yōu)越性。

1 磁軸承電流型全橋開(kāi)關(guān)功放半周期控制算法

1.1 半周期控制原理

以圖1中雙極性單周期均值法控制Δi<0為例，在一個(gè)周期內(nèi)電流下降的幅值偏大，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期開(kāi)關(guān)管的工作狀態(tài)后可能與給定參考電流iref(iavg)偏差過(guò)多影響電流控制精度。半周期控制在三角波的中點(diǎn)再次采樣實(shí)際電流，并根據(jù)其與參考電流之間的誤差大小來(lái)推算后半周期的占空比。如圖1所示，中點(diǎn)處的電流誤差Δi2要比初始時(shí)刻電流誤差Δi1小，使得后半周期的占空比比前半周期的要小。由圖1電流波形發(fā)現(xiàn)，在半周期控制方法下，可有效減小一個(gè)周期內(nèi)實(shí)際電流與參考電流之間的誤差，以此提高磁軸承系統(tǒng)對(duì)軸承線圈電流的控制精度。

圖1 單周期與半周期控制原理圖

1.2 雙極性調(diào)制下的半周期控制算法

單相全橋拓?fù)淙鐖D2所示。開(kāi)關(guān)管S1，S3為上橋臂，S2，S4為下橋臂，雙極性調(diào)制中S1，S4和S2，S3互補(bǔ)導(dǎo)通。圖3為雙極性控制算法下的控制波形圖。分Δi≥0和Δi<0兩種情況，每種情況都以半個(gè)周期分2個(gè)階段進(jìn)行分析，一個(gè)周期共4個(gè)階段。圖3考慮了前后半周期參考電流iref的變化。

圖2 單相全橋開(kāi)關(guān)功放拓?fù)?/p>

圖3 雙極性半周期控制波形圖

1) 推導(dǎo)前半周期的占空比數(shù)學(xué)模型

在t0～t1時(shí)刻，S1，S4導(dǎo)通，S2，S3斷開(kāi)，電流上升；在t1～t2時(shí)刻，S2，S3導(dǎo)通，S1，S4斷開(kāi)，電流下降；根據(jù)電路狀態(tài)方程求得電流在t1和t2時(shí)刻的電流值i1和i2：

(1)

(2)

式中：Udc為全橋功放的直流母線電壓；L和R分別為磁軸承線圈的電感和電阻；D為S1，S4開(kāi)關(guān)管的占空比；TS為載波周期。

前半周期電流變化量Δi：

(3)

(4)

令：

若將每半個(gè)周期內(nèi)電流平均值作為被控量使其跟上給定值，即iavg=iref，而給定值設(shè)定為每個(gè)采樣周期的初始值，那么每半個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)的被控量可用給定值表示：

(5)

將式(4)和式(5)結(jié)合得到占空比D的表達(dá)式形如二次方程的根：

(6)

若將每半個(gè)周期內(nèi)電流的終值作為目標(biāo)，要求其跟上給定值，即i2=iref;同理,可以解得前半周期占空比D的表達(dá)式：

(7)

2) 推導(dǎo)后半周期的占空比數(shù)學(xué)模型

在t2～t3時(shí)刻，S1,S4導(dǎo)通，S2,S3斷開(kāi)，電流上升；t3～t4時(shí)刻，S2、S3導(dǎo)通，S1、S4斷開(kāi)，電流下降;根據(jù)電路狀態(tài)方程求得t3和t4時(shí)刻的電流值：

(8)

(9)

可得半個(gè)周期內(nèi)Δi的表達(dá)式：

(10)

按均值法求得占空比D的表達(dá)式：

(11)

按終值法求得占空比D的表達(dá)式：

(12)

1.3 單極性調(diào)制下的半周期控制算法

在單極性調(diào)制下，S3,S4互補(bǔ)且處于恒通或恒斷狀態(tài)，S1,S2互補(bǔ)且處于PWM狀態(tài)。當(dāng)Δi≥0時(shí)，S3關(guān)斷，S4導(dǎo)通；當(dāng)Δi<0時(shí)，S4關(guān)斷，S3導(dǎo)通；圖4為單極性控制波形圖。第一個(gè)周期為Δi≥0的情況，第二個(gè)周期為Δi<0的情況。圖4考慮了前后半周期參考電流iref的變化。

圖4 單極性半周期控制波形

(1) Δi≥0

此情況下，S3恒斷S4恒通，磁軸承線圈只有正向?qū)ê驼蚶m(xù)流兩種狀態(tài)。

1) 推導(dǎo)前半周期的占空比數(shù)學(xué)模型

在t0～t1時(shí)刻，S1，S4導(dǎo)通，S2，S3斷開(kāi)，電流上升；t1～t2時(shí)刻，S2，S4導(dǎo)通，S1，S3斷開(kāi)，電流為正向續(xù)流狀態(tài)；根據(jù)電路狀態(tài)方程求得t1和t2時(shí)刻的電流值：

(13)

i2=i1e-R(1-D)TS/(2L)

(14)

可得半個(gè)周期內(nèi)Δi的表達(dá)式：

(15)

按均值法求得占空比D的表達(dá)式：

(16)

按終值法求得占空比D的表達(dá)式：

(17)

2) 推導(dǎo)后半周期的占空比數(shù)學(xué)模型

在t2～t3時(shí)刻，電流為續(xù)流狀態(tài)；t3～t4時(shí)刻，電流上升；根據(jù)電路狀態(tài)方程求得t3和t4時(shí)刻的電流值：

i3=i2e-R(1-D)TS/(2L)

(18)

(19)

可得半個(gè)周期內(nèi)Δi的表達(dá)式：

(20)

按均值法求得占空比D的表達(dá)式：

(21)

按終值法求得占空比D的表達(dá)式：

(22)

(2) Δi<0

此情況下，S3恒通S4恒斷，磁軸承線圈只有反向?qū)ê头聪蚶m(xù)流兩種狀態(tài)。

1) 推導(dǎo)前半周期的占空比數(shù)學(xué)模型

在t0～t1時(shí)刻，電流為續(xù)流狀態(tài)；t1～t2時(shí)刻，電流為反向?qū)顟B(tài)；根據(jù)電路狀態(tài)方程求的電感電流在t1和t2時(shí)刻的電流值：

i1=i0e-RDTS/(2L)

(23)

(24)

可得半個(gè)周期內(nèi)Δi的表達(dá)式：

(25)

按均值法求得占空比D的表達(dá)式：

(26)

按終值法求得占空比D的表達(dá)式：

(27)

2) 推導(dǎo)后半周期的占空比數(shù)學(xué)模型

在t2～t3時(shí)刻，電流為下降狀態(tài)；t3～t4期間，電流為續(xù)流狀態(tài);根據(jù)電路狀態(tài)方程求得t3和t4時(shí)刻的電流值：

(28)

i4=i3e-RDTS/(2L)

(29)

可得半個(gè)周期內(nèi)Δi的表達(dá)式：

(30)

按均值法求得占空比D的表達(dá)式：

(31)

按終值法求得占空比D的表達(dá)式：

(32)

2 仿真驗(yàn)證

本文在四自由度磁軸承系統(tǒng)上驗(yàn)證半周期控制方法的性能，圖5為四自由度磁軸承開(kāi)關(guān)功放半周期控制系統(tǒng)圖，由控制器、開(kāi)關(guān)功放和傳感器組成。磁軸承轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)方程組如下：

圖5 四自由度磁軸承開(kāi)關(guān)功放半周期控制框圖

(33)

式中：xc，yc為轉(zhuǎn)子質(zhì)心點(diǎn)位置；α，β分別為質(zhì)心點(diǎn)繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角；磁軸承A、B處轉(zhuǎn)子沿x和y方向的電磁力分別為Fxa,Fxb,Fya,Fyb；對(duì)應(yīng)線圈中的控制電流分別為ixa,ixb,iya,iyb。

將磁軸承系統(tǒng)半周期與單周期控制方法進(jìn)行對(duì)比，MATLAB仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

2.1 半周期電流性能仿真分析

因?yàn)殡娏鞯母櫺Ч苯佑绊懘泡S承起浮和穩(wěn)態(tài)懸浮的性能，所以本文首先進(jìn)行了電流的階躍信號(hào)和正弦信號(hào)的仿真分析。

圖6為給定階躍響應(yīng)信號(hào)幅值為3 A的仿真結(jié)果，i0為實(shí)際電流，iref為參考電流，圖6(a)～圖6(d)分別為雙極性半周期均值、終值控制和單極性半周期均值、終值控制的仿真結(jié)果。從圖6中可以看出，4種方法都可以實(shí)現(xiàn)電流的穩(wěn)態(tài)輸出，但雙極性控制方法電流紋波大，實(shí)際電流與參考電流的誤差也大。

(a) 雙極性半周期均值法

(b) 雙極性半周期終值法

(c) 單極性半周期均值法

(d) 單極性半周期終值法

圖7為正弦信號(hào)仿真結(jié)果，參考信號(hào)頻率為50 Hz，幅值為3 A，圖7(a)～圖7(d)分別為雙極性半周期均值、終值和單極性半周期均值、終值控制的仿真結(jié)果。4種方法都能實(shí)現(xiàn)電流的快速跟蹤，雙極性的電流紋波要比單極性大；無(wú)論是單極性還是雙極性，終值法存在一定的滯后；可見(jiàn),單極性終值法性能最好。

(a) 雙極性半周期均值法

(b) 雙極性半周期終值法

(c) 單極性半周期均值法

(d) 單極性半周期終值法

2.2 半周期和單周期控制仿真比較

與傳統(tǒng)單周期算法對(duì)比了階躍信號(hào)下上升時(shí)間、電流紋波、穩(wěn)態(tài)電流誤差，以及正弦信號(hào)下的THD，結(jié)果如表2所示。

表2 半周期和單周期控制仿真比較結(jié)果

采用半周期控制能有效提高電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度、減小電流穩(wěn)態(tài)誤差和諧波含量。雙極性半周期均值法可降低14%的上升時(shí)間、39%的電流紋波和3.54%的THD，終值法可降低2.3%的上升時(shí)間、35%的電流紋波和2.38%的THD；單極性半周期均值法可降低12.7%的上升時(shí)間、57%的電流紋波和3.38%的THD，終值法可降低5.4%的上升時(shí)間、45%的電流紋波和2.27%的THD。

綜上分析可見(jiàn)，半周期單極性終值法的效果最好。

2.3 磁軸承位移性能仿真分析

在前述仿真分析和比較結(jié)果基礎(chǔ)上，本文選用單極性終值法下的單/半周期方法，進(jìn)行了磁軸承仿真分析對(duì)比。

圖8和圖9分別為兩種控制方法比較的磁軸承A和B的軸心軌跡圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，磁軸承A和B軸心軌跡呈近似橢圓形，其中半周期控制方法下軸心運(yùn)動(dòng)軌跡中心位置為(0.1 μm，0.1 μm)，相對(duì)于原點(diǎn)平衡位置存在偏移，但其軌跡最大偏移量均比單周期控制方法要小0.15 μm左右。

(a) 半周期控制

(b) 單周期控制

(a) 半周期控制

(b) 單周期控制

圖10為兩種控制方法比較的磁軸承質(zhì)心點(diǎn)的軸心運(yùn)動(dòng)軌跡圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，磁軸承質(zhì)心點(diǎn)軸心軌跡都始終繞原點(diǎn)做橢圓運(yùn)動(dòng)，且半周期的軌跡最大偏移量比單周期控制方法要小0.25 μm左右。

(a) 半周期控制

(b) 單周期控制

綜上分析可以發(fā)現(xiàn)，盡管在半周期控制方法下，磁軸承A，B的軸心軌跡的中心存在偏移，但其轉(zhuǎn)子質(zhì)心點(diǎn)處的軸心軌跡中心仍然在平衡位置處，且無(wú)論是磁軸承A，B還是轉(zhuǎn)子質(zhì)心點(diǎn)處，半周期控制下轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動(dòng)軌跡最大偏移量都要比單周期控制小；即半周期控制效果要比單周期控制效果好。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種半周期控制算法,推導(dǎo)了單/雙極性均值法、終值法的占空比數(shù)學(xué)模型，建立了四自由度磁軸承開(kāi)關(guān)功放半周期控制系統(tǒng)并與單周期控制進(jìn)行了MATLAB對(duì)比仿真，得到以下結(jié)論：

(1) 半周期控制能提高電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，減小電流的穩(wěn)態(tài)誤差和電流諧波含量；

(2) 半周期單極性終值法的電流紋波和諧波含量THD要優(yōu)于其他方法；

(3) 半周期控制方法下，磁軸承A，B和轉(zhuǎn)子質(zhì)心點(diǎn)處的轉(zhuǎn)子軸心位移控制效果都要比單周期的要好。