孫寧樂 關(guān) 群

（合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥230009）

0 引 言

實際地震作用是水平和豎直的多維振動，其對建筑物的破壞較單向水平振動對建筑物的破壞更為嚴(yán)重［1］?！督ㄖ拐鹪O(shè)計規(guī)范》［2］中，對框架結(jié)構(gòu)的抗震驗算主要沿主軸方向，但是由于實際設(shè)計要求和隨機因素的影響，實際結(jié)構(gòu)各層的質(zhì)量中心與剛度中心不重合，實際地震作用的方向與主軸也不重合。因此在雙向水平地震下，結(jié)構(gòu)的振動表現(xiàn)為平移和扭轉(zhuǎn)的形式，加速結(jié)構(gòu)抗震性能退化和破壞［3］。消能減震結(jié)構(gòu)是給結(jié)構(gòu)層間、節(jié)點等位置設(shè)置了消能器的結(jié)構(gòu)，黏滯阻尼器為結(jié)構(gòu)提供附加阻尼，在地震發(fā)生時就能發(fā)揮減震作用，減小發(fā)生共振時的振幅峰值，對結(jié)構(gòu)構(gòu)件的二次損傷小，被廣泛運用在消能減震結(jié)構(gòu)上。但是由于建筑結(jié)構(gòu)布局和功能的要求，阻尼器難以均勻布置［4］，規(guī)范［2］給出在不同阻尼比下的反應(yīng)譜曲線，并考慮等效附加阻尼比的反應(yīng)譜，進而計算結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)［5］。因此，附加阻尼參數(shù)的確定是消能減震結(jié)構(gòu)設(shè)計的關(guān)鍵。

在阻尼器選擇方面，國巍等［7］對比了三類阻尼器對結(jié)構(gòu)抗倒塌性能的控制效果，認(rèn)為速度型黏滯阻尼器控制效果最優(yōu)，位移型摩擦阻尼器和防屈曲支撐次之?；跁r程分析，丁永君等［6］使用層間模型，推薦了能量比法和平均減震系數(shù)法。從能量的角度作為減震效果量化的指標(biāo)，其精度很高但是計算不便。從工程實際的角度出發(fā)，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量中心和剛度中心不重合，實際結(jié)構(gòu)的節(jié)點破壞特征比較復(fù)雜，以簡化的串聯(lián)鋼片模型進行結(jié)構(gòu)動力分析，用位移、速度等易于測量和計算的指標(biāo)進行減震設(shè)計更為準(zhǔn)確、方便。

本文將黏滯阻尼器消能減震結(jié)構(gòu)簡化為串聯(lián)鋼片體系，在線彈性階段將簡化的地震分析模型視為控制系統(tǒng)，結(jié)合狀態(tài)空間法，根據(jù)傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間控制模型相互轉(zhuǎn)化的原理，對黏滯阻尼器消能減震結(jié)構(gòu)進行時域分析，確定附加阻尼的最優(yōu)參數(shù)，對其進行減震設(shè)計。

1 結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的建立

在雙向水平地震下，結(jié)構(gòu)的振動一般表現(xiàn)為兩個方向的水平位移和一個水平轉(zhuǎn)動位移。本文將實際結(jié)構(gòu)簡化為串聯(lián)鋼片體系。附加阻尼器結(jié)構(gòu)振動分析計算模型如圖1所示，各層質(zhì)量為mi，轉(zhuǎn)動慣量Ji，以各層質(zhì)心為坐標(biāo)原點，各層水平位移分別為xi、yi，各層轉(zhuǎn)角為θi。第i層質(zhì)心坐標(biāo)為xci、yci。第i 層 剛 心坐標(biāo)為xmi、ymi。第i 層 質(zhì)心與剛心沿x、y 方向的距離分別為exi、eyi，第i 層與第i+1 層之間的質(zhì)量中心距離分別為。ai、bi為第i層樓板的等效長寬。黏滯阻尼器的計算模型采用線性模型，其表達(dá)式為

式中：fa為附加阻尼力；ca為阻尼系數(shù)；x?為阻尼器運動的速度。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理，附加阻尼器結(jié)構(gòu)的運動微分方程為

對于質(zhì)心和剛心不重合的結(jié)構(gòu)，其中，

式中：Kxx、Kyy分別表示結(jié)構(gòu)在x、y方向上的平動剛度，Kxθ、Kyθ分別表示結(jié)構(gòu)在x、y 方向的平扭剛度；Kθθ為結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣。

本文將黏滯阻尼器消能減震結(jié)構(gòu)視為一個控制系統(tǒng)。如圖2 所示，將地震波視為干擾信號輸入，各層產(chǎn)生位移、速度和加速度為輸出響應(yīng)，阻尼器提供的附加阻尼對輸入信號響應(yīng)的影響，可視為對系統(tǒng)的反饋控制，所以由結(jié)構(gòu)和附加阻尼器組成的結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)是一個閉環(huán)控制系統(tǒng)。

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

圖2 結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)Fig.2 Control system of the structure

結(jié)構(gòu)運動微分方程一般采用Wilson-θ 法、Newmark-β 法、中心差分法、振型疊加法等方法進行求解，求解過程中通常需要解決高階線性方程組數(shù)值解不收斂于精確解的問題。運用狀態(tài)空間理論，可以將結(jié)構(gòu)運動微分方程轉(zhuǎn)化為時域一階微分方程組，該方法具有無條件穩(wěn)定和精度高的特點。狀態(tài)空間模型是以時域分析為主的數(shù)學(xué)模型，反映了控制系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和內(nèi)部聯(lián)系，揭示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和外部輸入和輸出變量的聯(lián)系，對于多輸入與輸出，狀態(tài)空間模型具有表達(dá)直觀的優(yōu)勢［8］。對于線性系統(tǒng)，傳遞函數(shù)模型以拉普拉斯變換為基礎(chǔ)，在基于參數(shù)對系統(tǒng)進行調(diào)節(jié)等方面具有明顯優(yōu)勢［9］。傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間是一個問題的兩種表達(dá)形式，因此可以運用傳遞函數(shù)模型的參數(shù)控制思想對狀態(tài)空間模型構(gòu)成的控制系統(tǒng)進行控制和調(diào)節(jié)。結(jié)構(gòu)輸出響應(yīng)包含位移、速度和加速度等多個參數(shù)，所以結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中M、C、K 模塊應(yīng)采用具有多輸入、多輸出特性的狀態(tài)空間模型進行建模，M、C、K 模塊亦可視為反映原結(jié)構(gòu)特性的前向傳遞函數(shù)。其狀態(tài)空間模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：x、y、u 分別表示狀態(tài)向量、輸出向量和輸入向量；A、B、C、D 分別表示狀態(tài)矩陣、控制矩陣、輸出矩陣和聯(lián)系矩陣。

E、0分別表示n×n維單位矩陣和零矩陣。當(dāng)原結(jié)構(gòu)構(gòu)件產(chǎn)生相對位移時，黏滯阻尼器提供一定的附加阻尼Ca，Ca模塊在結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)可視為反饋傳遞函數(shù)，起到控制狀態(tài)的作用。因此狀態(tài)矩陣A在考慮Ca模塊應(yīng)為

矩陣分離后得到Ca模塊的控制矩陣，即M、C、K模塊的反饋矩陣為

2 控制系統(tǒng)的時域分析

運用狀態(tài)空間法所建立的結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，是基于結(jié)構(gòu)動力分析模型的運動微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程所建立的。以振型疊加法為基礎(chǔ)，振型為坐標(biāo)基，就可以得到一組非耦連的多自由度體系運動方程，模態(tài)坐標(biāo)X(t)是一種廣義的唯一坐標(biāo)，與自然坐標(biāo)x(t)之間的關(guān)系為

在時間域內(nèi)研究控制系統(tǒng)在一定輸入信號的作用下，其輸出信號隨時間的變化稱為系統(tǒng)的時域分析。控制系統(tǒng)的時域分析以拉普拉斯變換為工具，從傳遞函數(shù)出發(fā)，建立在系統(tǒng)輸入信號的基礎(chǔ)上，在輸入信號的作用下得到系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)。單位階躍信號在物理上比較容易實現(xiàn)，可以使系統(tǒng)既能有明顯的瞬態(tài)反應(yīng)和穩(wěn)態(tài)反應(yīng)，同時相對于其他多數(shù)信號，階躍信號對結(jié)構(gòu)往往是最不利情況。本文建立的控制系統(tǒng)實際輸入信號是地震波，具有突變性質(zhì)，因此本文在系統(tǒng)試驗階段選用單位階躍信號來評價系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性，測定系統(tǒng)的性能指標(biāo)典型的單位階躍響應(yīng)信號如圖3所示。

欠阻尼（0<ξ<1）系統(tǒng)屬于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為

圖3 典型單位階躍響應(yīng)Fig.3 Typical unit step response

ωn為固有頻率。通過采集二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線圖上相隔p 個周期的波峰值，利用式（8）由階躍響應(yīng)曲線對數(shù)衰減率計算各層阻尼比ξxi、ξyi。

3 結(jié)構(gòu)減震設(shè)計

由動力學(xué)原理可知，在原結(jié)構(gòu)抗側(cè)剛度一定的情況下，附加阻尼不僅可以使結(jié)構(gòu)在地震作用的瞬間吸收地震能量，降低結(jié)構(gòu)的固有頻率，減小發(fā)生共振時的振幅大小，同時對于某些存在疲勞破壞風(fēng)險的結(jié)構(gòu)來說，附加阻尼會起到增加疲勞壽命的作用。附加阻尼過多會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動剛度同時也會造成經(jīng)濟浪費。本控制系統(tǒng)對外界激勵的響應(yīng)要達(dá)到及時、穩(wěn)定的效果，需要使附加阻尼后的每個樓層都達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)。

根據(jù)自然坐標(biāo)和模態(tài)坐標(biāo)之間的關(guān)系，將每個樓層的單位階躍響應(yīng)視為獨立的二階欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)，根據(jù)每條響應(yīng)曲線圖中相隔p 個周期的振動峰值，計算出每層樓被視為獨立二階系統(tǒng)響應(yīng)分析時的阻尼比。附加阻尼后的每個樓層基于單位階躍響應(yīng)分析時的附加阻尼比的計算式為

根據(jù)阻尼比和阻尼系數(shù)的關(guān)系可以得到：

Ca(xx)、Ca(yy)，分別表示結(jié)構(gòu)在x、y 方向上附加阻尼。Ca(xθ)、Ca(yθ)分別表示結(jié)構(gòu)在x、y 方向上的平扭附加阻尼。

從線性變換的角度，實際結(jié)構(gòu)附加阻尼矩陣Ca和基于獨立二階系統(tǒng)響應(yīng)分析時所需附加的阻尼矩陣Ca若要產(chǎn)生一致的效果，則矩陣Ca要相似于對角陣C'a，由此關(guān)系可解出矩陣Ca中的每個附加阻尼系數(shù)ca(i)，進而確定各層結(jié)構(gòu)所需附加阻尼系數(shù)值。

根據(jù)以上方法確定的黏滯阻尼器參數(shù)對結(jié)構(gòu)進行動力分析，檢驗是否可以達(dá)到對輸入或產(chǎn)生的擾動能快速穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)減震設(shè)計目標(biāo)。

4 計算實例

4.1 基本參數(shù)

某6 層鋼筋混凝土建筑物，層高均為3.3 m，抗震設(shè)防為八度。xm、ym分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量中心坐標(biāo)。第1 至5 層的集中質(zhì)量為7.10×105kg，x向側(cè)向剛度為50×107N∕m，y 向側(cè)向剛度為45×107N∕m，質(zhì)量中心坐標(biāo)為（5.1，5.1），轉(zhuǎn)動慣量為1.1×108kg·m2。第6層集中質(zhì)量為6.0×104kg，質(zhì)量中心坐標(biāo)（7.55，7.45），轉(zhuǎn)動慣量為1.0×106kg·m2，x向側(cè)向剛度為11×107N∕m，y 向側(cè)向剛度為10×107N∕m。原結(jié)構(gòu)的一階阻尼比為ξ1=0.05。采用本文的減震設(shè)計方法，為該結(jié)構(gòu)選定設(shè)置在每一層的黏滯阻尼器的附加阻尼值。輸入地震波為雙向Elcentro波，峰值加速度為0.2 g。

4.2 附加阻尼系數(shù)計算

首先，由工況數(shù)據(jù)計算結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，并建立結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)。然后向該控制系統(tǒng)輸入x方向和y方向的單位階躍信號，計算得到各樓層的和阻尼比ξxi、ξyi和附加阻尼比，并由式（10）計算得到各樓層所需附加的阻尼系數(shù)，如表1、表2所示。

表1 x方向各層 參數(shù)計算表Table 1 Calculation table for parameterof each layer in the x direction

表1 x方向各層 參數(shù)計算表Table 1 Calculation table for parameterof each layer in the x direction

表2 y方向各層參數(shù)計算表Table 2 Calculation table for parameterof each layer in the y direction

表2 y方向各層參數(shù)計算表Table 2 Calculation table for parameterof each layer in the y direction

由表1-2 的計算結(jié)果以及矩陣Ca和對角陣相似關(guān)系，得到各樓層x、y 方向附加阻尼系數(shù)cax(i)、cay(i)，如表3所示。

表3 x、y方向各層所需附加的阻尼系數(shù)表Table 3 Table for added damping of each layer in need

4.3 結(jié)構(gòu)減震設(shè)計分析和結(jié)果

圖4 和圖5 分別表示算例在未附加阻尼和附加阻尼后的兩種情況下，在輸入單位階躍信號后各層結(jié)構(gòu)x 向的相對位移隨時間變化的趨勢。圖6 和圖7 分別表示算例在未附加阻尼和附加阻尼后的兩種情況下，在輸入單位階躍信號后各層結(jié)構(gòu)y 向的相對位移隨時間變化的趨勢。從曲線圖中可以看出，在附加阻尼后，不僅消除了結(jié)構(gòu)的自振響應(yīng)，而且由結(jié)構(gòu)自振引起的振動響應(yīng)部分在附加阻尼后迅速達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 為算例結(jié)構(gòu)第6 層在未附加阻尼和附加阻尼的情況下輸入雙向地震波后的位移響應(yīng)曲線。從響應(yīng)曲線中可以看到結(jié)構(gòu)頂層的位移大幅度減少，兩種情況下x 方向上的最大位移分別為13.41 mm、4.12 mm，y 方向上的最大位移分別為14.97 mm、1.34 mm。

圖4 原系統(tǒng)x向的單位階躍響應(yīng)曲線圖Fig.4 Unit step response curves of the original system of the structure in the x direction

圖5 附加阻尼后的x向單位階躍響應(yīng)信號曲線圖Fig.5 Unit step response curves of the condition of adding damping later in the x direction

圖6 原系統(tǒng)y向的單位階躍響應(yīng)信號曲線圖Fig.6 Unit step response curves of the original system of the structure in the y direction

圖9 和圖10分別為算例結(jié)構(gòu)頂層在未附加阻尼和附加阻尼情況下，輸入雙向地震波后結(jié)構(gòu)各層的轉(zhuǎn)動位移與時間的關(guān)系曲線圖。以頂層為例，在8 度罕遇地震作用下，原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的最大轉(zhuǎn)動位移為1.423×10-5rad，附加阻尼后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的最大轉(zhuǎn)動位移為9.873×10-7rad，附加阻尼后的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動位移的峰值大幅減小。同時對比兩張曲線圖可以得出，附加阻尼后結(jié)構(gòu)的振動頻繁程度大大降低。通過本文的設(shè)計方法得到的阻尼參數(shù)，可以使結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動位移迅速減小，充分發(fā)揮阻尼體系的抗震作用。

圖7 附加阻尼后的y單位階躍響應(yīng)信號曲線圖Fig.7 Unit step response curves of the condition of adding damping later in the y direction

圖8 結(jié)構(gòu)頂層位移-時間圖Fig.8 Displacement x∕y-time t of top layer of structure

圖9 原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動位移時程曲線圖Fig.9 The rotational displacement time history curves of the original system

5 結(jié) 論

圖10 附加阻尼后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動位移時程曲線圖Fig.10 Time-history curves of rotational displacement of system structure after additional damping

本文針對實際結(jié)構(gòu)剛度中心和質(zhì)量中心不重合的情況，把結(jié)構(gòu)簡化為串聯(lián)鋼片體系，在多維地震下，將簡化的地震分析模型視為控制系統(tǒng)，對其進行減震設(shè)計，確定附加阻尼參數(shù)的最優(yōu)設(shè)置。得出結(jié)論如下：

（1）將結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為控制系統(tǒng)，利用狀態(tài)空間法進行時域分析。在構(gòu)建結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣時，不僅需要考慮兩個水平方向的平動剛度，而且還要考慮平扭剛度，才能夠?qū)?yīng)得到附加阻尼矩陣的平動附加阻尼和扭轉(zhuǎn)附加阻尼。

（2）運用模態(tài)坐標(biāo)與物理坐標(biāo)的線性變換關(guān)系，基于物理坐標(biāo)采用時域分析法設(shè)計的結(jié)構(gòu)臨界阻尼體系可以讓各層動力響應(yīng)迅速達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)。

（3）運用本文的方法，計算得到的附加阻尼值可以準(zhǔn)確快速地使各層結(jié)構(gòu)達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，而且可以抑制結(jié)構(gòu)自振產(chǎn)生的擾動，最大限度地優(yōu)化結(jié)構(gòu)的阻尼體系，對質(zhì)量中心和剛度中心不重合結(jié)構(gòu)的減震設(shè)計具有借鑒意義。