劉道生，袁 威，魏博凱，李家晨

（江西理工大學 電氣工程與自動化學院，贛州 341000）

0 引言

非晶合金干式變壓器的鐵心損耗較低，比傳統(tǒng)硅鋼片鐵心變壓器的空載損耗低75%，空載電流下降80%，是較理想的節(jié)能型變壓器[1]。與硅鋼鐵心相比，非晶合金鐵心的疊片系數低，制造工藝復雜，材料用量多，所以非晶合金干式變壓器的價格比硅鋼片干式變壓器高[2]。為降低非晶合金干式變壓器的材料成本，需對變壓器設計方案進行優(yōu)化。

在函數優(yōu)化領域，基于現(xiàn)代智能理論的算法主要有遺傳算法[3,4]、粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[5]、混合蛙跳算法[6]和差分進化算法[7]等，計算效率相比窮舉法和其他傳統(tǒng)算法得到較大提高。在變壓器優(yōu)化設計領域，Zhang L.用多目標遺傳算法對海上直流電網中的中頻變壓器損耗計算進行了優(yōu)化[8]。Omorogiuwa E.提出一種與遺傳算法相結合的非線性規(guī)劃算法，并應用于變壓器的優(yōu)化設計問題，當優(yōu)化不同容量的變壓器時，該算法表現(xiàn)出一定的魯棒性[9]。Zhang Y.P.在有限元方法基礎上提出一種針對電力變壓器參數優(yōu)化設計的改進遺傳算法[10]。Tsili M.針對變壓器優(yōu)化設計問題提出一種多目標對數正態(tài)-β差分進化算法，該算法有一定的能力保持迭代過程中種群的多樣性和避免過早的收斂[11]。PSO因其獨特的解空間搜索模式，在解決維數較多的工程優(yōu)化問題時，收斂速度較其他算法快，但PSO存在易收斂于局部最優(yōu)的問題。為解決PSO易收斂于局部最優(yōu)的問題，本文提出一種自適應粒子交叉搜索策略，改進后的粒子群算法（Improved Particle Swarm Optimization，IPSO）提高了收斂成功率。

本文分析了非晶合金干式變壓器優(yōu)化設計的數學模型，描述了非晶合金干式變壓器的人工優(yōu)化計算過程，選取了優(yōu)化變量，在此基礎上設計了基于PSO的變壓器材料成本優(yōu)化模型，為增強PSO的搜索性能，提高收斂成功率，提出一種帶自適應粒子交叉搜索策略的IPSO。對基于PSO和IPSO的變壓器優(yōu)化模型進行了實例優(yōu)化，驗證了IPSO比PSO擁有更好的搜索性能。對IPSO優(yōu)化算法的研究有益于提高非晶合金干式變壓器優(yōu)化設計的效率，降低變壓器的材料成本，提高非晶合金干式變壓器的市場競爭力。

1 變壓器優(yōu)化設計的數學模型

非晶合金干式變壓器優(yōu)化設計的數學模型表述為：

式中f（X）、gj（X）分別為目標函數和約束條，j表示約束條件序號，X為優(yōu)化問題的解空間。模型求解即在解空間X內尋找目標函數f（X）最優(yōu)且滿足約束條件的方案。

1.1 目標函數和約束條件

根據優(yōu)化目的選取變壓器的材料成本為目標函數。表1為某廠家315kVA非晶合金干式變壓器人工設計方案的成本參數，變壓器材料成本主要有鐵心、導線和夾件等成本，對各部分材料成本進行綜合優(yōu)化，以達到降低材料成本的目的。

表1 變壓器材料成本參數

目標函數可表達如下：

式中，Ch為高壓導線成本，Cl為低壓導線成本，Cco為鐵心成本，Ccl為夾件成本。

在滿足約束條件下，對變壓器的優(yōu)化才有意義。非晶合金干式變壓器參數優(yōu)化的主要約束條件如下：

1）空載損耗：P0≤Pm1，W；

2）空載電流：I0≤Im，%；

3）負載損耗：Pk≤Pm2，W；

4）短路阻抗：Umin≤Uz≤Umax，%；

5）線圈溫升：高壓繞組溫升T1

6）鐵心磁通密度：Bmin≤B≤Bmax，T；

7）導線電流密度：J≤Jmax，A/mm2；

8）導線線規(guī)符合線規(guī)表；

9）變壓器效率：E>Emin。

1.2 人工優(yōu)化計算過程

非晶合金干式變壓器材料成本的人工優(yōu)化計算過程如圖1所示，跟窮舉法相似，通過逐一計算解空間X內的所有變量組合，找到材料成本更優(yōu)且滿足約束條件的解。各優(yōu)化變量的取值范圍受當前經驗的限制，不一定能找到滿足約束條件的潛在的最優(yōu)解。非晶合金干式變壓器電磁參數的計算順序依次為繞組參數、鐵心參數、空載損耗、空載電流、負載損耗、阻抗電壓、低壓和高壓繞組溫升。

1.3 優(yōu)化變量選取

對材料成本和約束條件有影響的參數主要有繞組參數、鐵心參數和絕緣參數等，根據設計原則僅選其中影響較大的參數作為優(yōu)化變量，其他參數作為常量。

非晶合金材質鐵心的片寬受工藝影響，有142.24mm、170.18mm和213.36mm三種規(guī)格可選。將鐵心迭厚作為優(yōu)化變量，對鐵心性能和鐵心成本進行調整。

圖1 人工優(yōu)化計算流程

如式(3)所示，磁通密度B是影響空載損耗P0大小的重要參數。

式中Pav、K0和GF分別為空載損耗系數、鐵心單位損耗（W/kg）和鐵心重量（kg）。

如式(4)所示，根據低壓繞組匝數和鐵心磁通密度的關系，將低壓繞組匝數作為優(yōu)化變量，對鐵心磁通密度進行調整。

式中N為低壓匝數，B為鐵心磁通密度（T），f為頻率（Hz），U為低壓繞組相電壓（V），S為鐵心凈截面積（m2）。

調整高壓繞組成本Ch和低壓繞組成本Cl，即調整繞組導線用材的總重量，將導線線規(guī)作為優(yōu)化變量，實現(xiàn)導線用材調整，同時實現(xiàn)對溫升和負載損耗進行調整。

如式(5)所示，高低壓繞組間主空道寬度是影響有效總漏磁寬度λ的重要參數，進而影響阻抗電壓電抗分量的大小，將其作為優(yōu)化變量。

式中Ux為阻抗電壓電抗分量，K為橫向漏抗系數，In為低壓額定相電流（A），W為低壓每相匝數，∑Sd為總漏磁面積（m2），Hx為電抗高度（m），λ為有效總漏磁寬度（m），et為匝電勢（V/匝）。

綜上選用以下參數作為優(yōu)化變量：鐵心迭厚x1、低壓匝數x2、低壓繞組的線寬x3和線厚x4、高壓繞組的線寬x5和線厚x6、高低壓繞組間主空道寬x7，自變量間相互獨立。上述7個變量實現(xiàn)了對材料成本和所有約束條件的調整，并間接影響鐵心和繞組的結構。

2 基于PSO的變壓器優(yōu)化模型

PSO模仿鳥類的覓食過程對解空間進行迭代搜索，是一種基于群智能理論的優(yōu)化算法，最早由社會心理學博士Kennedy和電子工程學博士Eberhart提出[5]。PSO用于無約束連續(xù)函數的優(yōu)化，為將其應用于變壓器的優(yōu)化設計問題，引進變量離散化編碼方法和懲罰函數形成基于PSO的變壓器優(yōu)化模型。

因制造工藝與標準化等限制，優(yōu)化變量中涉及的高壓和低壓線規(guī)變量必須符合目前的工藝要求（標準線規(guī)表），是離散型非整數變量。受實際工藝精度影響，其他原本連續(xù)的優(yōu)化變量全部作為離散變量處理。離散變量無法直接參與粒子群算法的迭代計算，采用整數編碼的方式對變量進行編碼。根據相應精度對所有自變量均采用以數字1開始的連續(xù)整數進行編碼，PSO的解空間由變量的編碼構成，編碼對應實際變量值參與PSO的適應度計算。對變量進行編碼時，根據實際設置變量的取值間隔即精度，如鋁箔和銅箔的厚度以0.1mm為精度。

基于PSO[12,13]的變壓器優(yōu)化模型如下：

式(6)為PSO的迭代方程，w為慣性權重，wmax和wmin分別為慣性權重最大和最小值；T為總迭代次數，t為當前迭代次數；i表示粒子序號，i=1，2，3，···，M，M為粒子總數；Vi為第i個粒子的迭代速度；Xi為第i個粒子，對應的實際變量值為Yi，每個粒子分別對應一個變壓器參數方案；pi為第i個粒子的歷史最優(yōu)位置；pg為粒子群的歷史最優(yōu)位置；c1、c2為大于零的學習因子；r1、r2是區(qū)間[0，1]上的隨機數。

如式(6)所示，PSO通過粒子群位置的更新迭代實現(xiàn)對解空間的搜索。迭代過程每個粒子同時向自身的歷史最優(yōu)位置pi和粒子群的歷史最優(yōu)位置pg逼近，逼近速度Vi受慣性權重w影響。慣性權重w代表粒子有維持自己先前速度的趨勢，較大的w使粒子群收斂速度較慢，偏向對解空間的全局搜索，較小w使粒子群收斂速度較快，偏向對解空間的局部搜索。粒子位置的優(yōu)劣由適應度函數來評價，適應度越小，粒子位置越優(yōu)。

式(7)為PSO的適應度函數fitness（Yi），引進懲罰函數對約束條件進行處理[14]。式(7)中p（Yi）為懲罰函數，由懲罰系數λ（t）和標準化約束違反程度vnorm（Yi）兩部分構成，fnorm（Yi）為標準化目標函數值。懲罰函數的作用是增加不可行解的適應度，使適應度最佳的解是可行解，懲罰力度由懲罰系數λ（t）控制。

懲罰系數λ（t）的控制策略如式(8)所示，式中，t為當前迭代的代數，迭代前期t≤n1時，懲罰系數取最小值λmin；g為當前種群的最優(yōu)解連續(xù)為不可行解的代數，當t>n1，g>y1時，增大懲罰系數，ɑ<1；y2>y1，增大懲罰系數后，當前種群最優(yōu)解仍然是不可行解，則持續(xù)增大懲罰系數，μ<ɑ。

式(7)中標準化約束違反程度vnorm（Yi）和標準化目標函數fnorm（Yi）計算方式如下：

將粒子的第j個約束條件表述為：

第i個粒子在第j個約束條件上的約束違反程度Gj（Yi）為：

由于約束條件的差異，會出現(xiàn)約束條件對個體的約束違反程度v（Yi）起主導性作用，用標準化方法處理每個約束條件的違反程度。找到第一代粒子群中粒子違反各個約束條件的最大值Gmaxj：

第一代及后續(xù)粒子群的vnorm（Yi）定義為每個約束違反程度標準值的和，如下所示：

為均衡目標函數和約束條件之間差異，通過標準化方法使目標函數和vnorm（Yi）的量級相同。找到第一代粒子群的最小和最大目標函數值fmin和fmax：

3 IPSO的改進策略

為解決PSO易收斂于局部最優(yōu)的問題，增強PSO的搜索能力，提高收斂成功率，提出一種自適應粒子交叉搜索策略。當粒子群的收斂陷入停滯時，通過粒子間的交叉，尋找新的全局最優(yōu)解。在迭代過程，每個粒子以概率Pr與其他隨機一個粒子進行交叉，概率Pr由當前粒子群的收斂情況決定，定義為：

Re為pg連續(xù)不更新的代數，μ為交叉概率增加系數。

交叉操作定義為：

其中Xnew1和Xnew1是交叉操作生成的新粒子；X1是當前粒子，X2是X1外的隨機粒子；Rnd是一個（0，1）區(qū)間的7維隨機向量。計算Xnew1和Xnew1的適應度，如果比pg優(yōu)則替換pg。

當進行上述粒子交叉后，pg仍然連續(xù)N代不更新時，粒子群有可能早熟陷入局部最優(yōu)，將pg與隨機粒子進行交叉，尋找新的全局最優(yōu)解，交叉操作同上，如果新粒子比pg優(yōu)，則新粒子替代pg。

IPSO的計算流程如圖2所示。

IPSO的計算流程描述如下：

1）設置約束條件和變量取值范圍等參數，生成變量的編碼及對應的變量取值數組。

2）隨機生成第一代粒子群的位置。

3）計算所有粒子的適應度，更新pi和pg。

4）根據當前pg的更新情況，執(zhí)行粒子交叉搜索策略，如果發(fā)現(xiàn)比pg優(yōu)的新粒子，則新粒子替換pg。

5）判斷是否達到最大迭代次數，如果沒有則根據pi和pg更新種群位置，進行下一次迭代計算，直到達到最大迭代次數。

4 優(yōu)化實例分析

圖2 IPSO的計算流程

以廠家非晶合金干式變壓器SCLBH15-315/10的人工設計方案為例，以降低材料成本為目標，滿足約束條件下，對變壓器方案進行優(yōu)化。性能參數標準參考GBT 22072-2008。根據標準規(guī)定，單項損耗可在±10%，總損耗控制在±15%。考慮到制造誤差與其他因素，單項損耗控制在5%，阻抗電壓控制在±2.5%。根據非晶合金鐵心固有特性，磁通密度為：1.200T≤B≤1.300T。

PSO和IPSO相同部分的參數設置：粒子個數M設置為100個；最大迭代代數T設置為4000代；學習因子c1和c2設置為2；最小慣性權重wmin設置為0.3，最大慣性權重wmax設置為1.1；最小懲罰系數λmin設置為1.5。IPSO的粒子交叉搜索策略參數設置：μ設置為0.005，N設置為700代。分別用PSO和IPSO進行優(yōu)化。PSO和IPSO計算所得變壓器設計方案如表2所示。

表2 PSO與IPSO優(yōu)化方案

表2 （續(xù)）

IPSO優(yōu)化后的材料成本較人工設計方案降低9.23%。分別記錄PSO和IPSO的200次計算結果，PSO收斂成功率為70.5%，IPSO收斂成功率為89%，IPSO的收斂成功率提高18.5%。

5 結語

本文以降低非晶合金干式變壓器的材料成本為目標，設計了基于PSO的變壓器優(yōu)化模型，提出了IPSO的改進策略，對非晶合金干式變壓器的優(yōu)化設計問題進行了研究。得到以下結論：

1）IPSO優(yōu)化后的材料成本比人工設計方案降低9.23%。

2）基于IPSO的變壓器優(yōu)化模型收斂成功率為89%，相比PSO提高18.5%。

3）相比PSO，IPSO更容易尋得滿足約束條件且成本更優(yōu)的解，IPSO可應用于其他變壓器優(yōu)化設計問題。