張春韻，鄒德旋，沈 鑫

（1.江蘇師范大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，徐州 221116；2.中國礦業(yè)大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，徐州 221116）

0 引言

隨著社會經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，能源需求不斷增長，電能的消耗也不斷增加，因此對電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度（ELD）問題的研究顯得格外重要。ELD是電力系統(tǒng)優(yōu)化中重要的問題之一，主要目標(biāo)是在滿足負(fù)荷需求和運(yùn)行條件下，盡可能地降低總?cè)剂铣杀尽?/p>

電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度是一個考慮禁止運(yùn)行區(qū)、斜坡率、功率平衡、傳輸損失、不同燃料成分比例和閥點效應(yīng)等多約束條件的優(yōu)化問題，因此，ELD解決的是多約束性、非線性的復(fù)雜問題。目前，主要的研究方法分為兩種，一種是基于拉格朗日優(yōu)化函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的線性規(guī)劃技術(shù)[1]，但線性規(guī)劃需要問題的導(dǎo)數(shù)以及梯度，處理高維電力系統(tǒng)時計算程度過于復(fù)雜。一種是基于迭代的群體智能優(yōu)化算法[2]，也是目前普遍使用的方法，包括差分進(jìn)化算法（DE）[3]，遺傳算法（GA）[4]，粒子群算法（PSO）[5]等。本文提出一種改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法（IPSO）用來解決經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題。

1 改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法

1.1 原始粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法最初是由Kennedy和Eberhart提出[6]，其基本思想是先隨機(jī)初始化一群粒子，通過不斷迭代，最終尋得最優(yōu)解。在每一次迭代后，粒子都會由適應(yīng)度值來更新個體極值和全局極值，并根據(jù)公式更新速度和位置。原始粒子群優(yōu)化算法基本流程如下：

1）種群初始化

2）計算目標(biāo)函數(shù)值并更新極值

計算目標(biāo)函數(shù)值，并與上一代的值比較，更新個體最優(yōu)值Pbest和全局最優(yōu)值Pbest。

3）更新粒子的速度和位置

粒子根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值來更新自己的搜索速度和位置，每次迭代后都向全局最優(yōu)粒子靠攏。具體如下公式：

4）算法終止

判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)或滿足其他的算法終止條件，若滿足條件則算法結(jié)束，輸出全局最優(yōu)值。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法

為了提高PSO搜索過程的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，Shi和Eberhart對粒子的速度更新式[7]進(jìn)行修改，通過引入慣性權(quán)重ω的方式加強(qiáng)粒子的搜索能力，如式(4)所示：

慣性權(quán)重ω隨著迭代次數(shù)的增加，從0.9線性減小到0.4，引入慣性權(quán)重后的速度更新公式更加全面體現(xiàn)了粒子在搜索過程中的運(yùn)行機(jī)制，算法的搜索結(jié)果更加可靠，因此，式(4)是目前普遍使用的標(biāo)準(zhǔn)粒子速度更新公式。

1.3 算法改進(jìn)

1.3.1 提高種群多樣性

標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法中，基于減法[8]的解決方案易造成粒子種群多樣性缺失和搜索進(jìn)程的停滯。根據(jù)式(4)可以知道，粒子運(yùn)行受個體經(jīng)驗和群體經(jīng)驗影響，如果某一粒子處于當(dāng)前最優(yōu)位置，則其他粒子迅速向其靠近，但若該最優(yōu)位置是局部極值，那么粒子群就容易陷入局部最優(yōu)，無法在解空間里重新搜索，這就造成了算法的早熟現(xiàn)象。為了克服早熟收斂，提高種群多樣性，若通過迭代運(yùn)行后全局極值保持不變，選取m（m≤5%N）個粒子的歷史最優(yōu)位置，與當(dāng)代產(chǎn)生的粒子進(jìn)行重組。如式(5)所示：

其中，hnew代表新產(chǎn)生的粒子；hold代表選取的歷史最優(yōu)位置；hup代表當(dāng)代產(chǎn)生的粒子；c代表（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)。新產(chǎn)生的粒子具有不同的運(yùn)行方向和速度，探索新的搜索空間，跳出局部最優(yōu)，避免早熟收斂。此外，使用歷史最優(yōu)就是以個體所搜索到的最好位置為參考，在其周圍進(jìn)行搜索，以期望搜索到更好的位置，有利于不斷改進(jìn)解的質(zhì)量，在增加粒子多樣性的基礎(chǔ)上保證其尋優(yōu)精度。

1.3.2 動態(tài)慣性權(quán)重

慣性權(quán)重ω體現(xiàn)了粒子之前的速度對這一代的影響[9]，通常在算法尋優(yōu)初期ω值較大，有利于全局尋優(yōu)，在迭代后期ω值較小，有利于局部尋優(yōu)。本文對慣性權(quán)重ω作如下改進(jìn)：

其中，ωmax和ωmin分別代表慣性權(quán)重的最大值和最小值；t代表當(dāng)前迭代次數(shù)；T代表最大迭代次數(shù)。與線性遞減的模型不同，式(6)是一種凹函數(shù)模型的動態(tài)慣性權(quán)重，遞減速度更加匹配粒子搜索進(jìn)程，更好地平衡了算法全局搜索能力和局部搜索能力。

1.3.3 學(xué)習(xí)因子

很多算法改進(jìn)中，只考慮參數(shù)ω 對粒子運(yùn)行的影響，而忽略了學(xué)習(xí)因子的作用。事實上，c1c2分別代表粒子自身速度和其他粒子速度對當(dāng)前運(yùn)行速度的影響。標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法，學(xué)習(xí)因子c1c2設(shè)置為相同的常數(shù)，在整個迭代過程中，粒子受個體信息與群體信息的影響不變。因此，對學(xué)習(xí)因子加以改進(jìn)，隨著迭代過程的進(jìn)行，c1遞減而c2遞增，即在迭代前期，粒子主要受個體信息影響，有助于增加種群多樣性，在迭代后期，主要受群體信息影響，有助于粒子快速向全局極值靠近，獲得最優(yōu)解。改進(jìn)的c1c2如下所示：

其中，t代表當(dāng)前迭代次數(shù)；T代表最大迭代次數(shù)。

算法實現(xiàn)流程

綜合以上三點改進(jìn)，IPSO算法的具體實現(xiàn)過程如圖1所示。

圖1 IPSO算法流程圖

2 電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度

2.1 目標(biāo)函數(shù)

本文研究采用單一能源發(fā)電的靜態(tài)電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題，目標(biāo)成本函數(shù)的數(shù)學(xué)模型分為無閥點效應(yīng)和考慮閥點效應(yīng)[10]兩類，可以分別由式(9)、式(10)表示。

其中，F(xiàn)i和代表發(fā)電機(jī)組i的燃料成本；ai，bi，ci代表發(fā)電機(jī)i的成本系數(shù)；ei，fi代表發(fā)電機(jī)組的閥點效應(yīng)（VPE）系數(shù)；Pi代表發(fā)電機(jī)組的發(fā)電功率；n是電力系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)總數(shù)。

2.2 約束條件

ELD問題的約束條件[11]包括的等式約束和不等式約束，等式約束是電力平衡約束，不等式約束包括發(fā)電機(jī)組有功出力約束以及禁止運(yùn)行區(qū)約束，具體如式(10)所示。

電力平衡約束由式(11)給出，其中，PD表示系統(tǒng)的總負(fù)載需求；PL表示總傳輸損耗，顯然，根據(jù)功率平衡標(biāo)準(zhǔn)，式(11)表明在固定時間內(nèi)產(chǎn)生的總功率應(yīng)等于總負(fù)載需求與總線損之和。

總傳輸損耗由式(12)計算，其中，Bji，B0j，B00都表示損耗系數(shù)。

2.3 約束處理

嚴(yán)格的約束處理有利于獲得更符合實際情況的解,通常的處理方法有懲罰函數(shù)法和修補(bǔ)方法。文獻(xiàn)[10]中提出先對違反解進(jìn)行修復(fù)，篩選出不可行解，再用罰函數(shù)進(jìn)一步修補(bǔ)的方法，此方法可以嚴(yán)格滿足所有約束條件且效果顯著，因此使用文獻(xiàn)[10]中提出的修復(fù)方法。

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 仿真環(huán)境與案例

在硬件配置為Intel（R）Core(TM) i5-8265U CPU@1.60GHz（8CPUs）～1.8GHz的計算機(jī)上采用MATLAB 2014a編程，對8個經(jīng)典案例[10]進(jìn)行測試實驗，案例分為4個考慮VPE的電力系統(tǒng)模型和4個不考慮VPE的電力系統(tǒng)模型，并與近期著名的PSO算法PSOCO[12]、DPSO[13]、MPSO[14]算法進(jìn)行對比分析，通過分析不同算法的收斂性和穩(wěn)定性等情況，驗證IPSO的有效性。

3.2 案例結(jié)果分析

為了評估不同算法的性能，記錄了每個算法搜索結(jié)果的最小值Costmin，最大值Costmax，平均值Costmean，中間值Costmedian，標(biāo)準(zhǔn)差Coststd五個參數(shù)。為了避免驗證結(jié)果的隨機(jī)性，實驗時令每個算法對不同案例單獨運(yùn)行30次，取30次運(yùn)行結(jié)果的平均值作為最終搜索值，以保證實驗數(shù)據(jù)的可靠性，運(yùn)行結(jié)果如表1所示。

表1 四種不同PSO方法處理八種ELD問題的燃料成本比較分析

表1 （續(xù)）

通過分析表1可以發(fā)現(xiàn)，對于第一個單元維數(shù)較少的簡單情況，所有算法都能獲得相同的最小成本函數(shù)值，并且它們的標(biāo)準(zhǔn)差都為0，表明這些算法都可以輕松地找到最佳解決方案，但只有IPSO能搜索到所有案例的最小燃料成本。其次，對于案例三、案例五、案例六、案例七和案例八，IPSO的Costmax值甚至都小于其他算法的Costmin值，說明IPSO的收斂性明顯比其他三種算法更好。對于案例三、案例五、案例六、案例八，IPSO的Costmean值也小于其他算法，這說明IPSO不僅能獲得最優(yōu)解，而且穩(wěn)定性極強(qiáng)，不是隨機(jī)或偶然形成的。此外，對于案例八的40單元電力系統(tǒng)，IPSO的Costmin、Costmax、Costmean、Costmedian、Coststd值都小于其他三種算法，表明MDLPSO在解決高維復(fù)雜的電力系統(tǒng)問題時依然能高效穩(wěn)定地獲得最優(yōu)解，這是顯著優(yōu)于其他算法的地方。

為了能夠更加直觀清晰地觀察分析幾種算法的搜索效果，其相對應(yīng)的平均燃料成本收斂特性曲線如圖2～圖9所示。

圖2 不考慮VPE的2單元系統(tǒng)（PD=250MW）

圖3 不考慮VPE的3單元系統(tǒng)（PD=850MW）

圖4 考慮VPE的3單元系統(tǒng)（PD=850MW）

圖5 不考慮VPE的6單元系統(tǒng)（PD=1263MW）

圖6 考慮VPE的13單元系統(tǒng)（PD=1800MW）

圖7 考慮VPE的13單元系統(tǒng)（PD=2520MW）

圖8 不考慮VPE的38單元系統(tǒng)（PD=6000MW）

圖9 考慮VPE的40單元系統(tǒng)（PD=10500MW）

觀察圖2～圖9可以看出，隨著迭代次數(shù)增加，IPSO總能搜索到最優(yōu)解，IPSO的曲線圖在迭代初期快速下降，在迭代中后期以較慢的速度繼續(xù)下降并逐步達(dá)到最小值，在整個搜索過程中，IPSO都體現(xiàn)了極強(qiáng)的收斂性。其次，觀察四個考慮VPE的電力系統(tǒng)案例，可以明顯看出IPSO比其他所有算法的平均燃料成本特性曲線都要低，直觀體現(xiàn)出其更具優(yōu)越性。此外，觀察圖5、圖6和圖8，PSOCO的曲線圖都是最高，有陷入局部最優(yōu)的可能。

為了進(jìn)一步分析和比較收斂性和穩(wěn)定性，以40單元為例，系統(tǒng)總需求PD（MW）分別設(shè)置為8000，8250，8500，9000，9250，9500，表2給出了四種算法獲得的平均燃料成本值，并且為了方便觀察和比較，最佳結(jié)果以粗體標(biāo)出。

表2 四種算法搜索40維下不同的電力系統(tǒng)總需求獲得的最小平均燃料成本比較

通過表2可知，盡管參數(shù)PD在很大范圍內(nèi)變化，提出的IPSO仍然能搜索到最小的燃料成本，獲得更好的解決方案。

綜上所述，相比于PSOCO、DPSO、MPSO，IPSO在解決不同特性的ELD問題中更具優(yōu)越性，其搜索能力更強(qiáng)，能避免陷入局部最優(yōu)而且穩(wěn)定性好。

4 結(jié)語

為了解決ELD問題，提出一種改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法IPSO，主要有三點，1）通過重組增加種群多樣性；2）提出一種新的動態(tài)慣性權(quán)重；3）改進(jìn)學(xué)習(xí)因子。用IPSO來解決8種典型特性的ELD問題，與其他三種算法的對比驗證了IPSO具有更好的收斂性，全局搜索能力以及穩(wěn)定性，是一種高效的解決ELD問題的方法。未來，將繼續(xù)改進(jìn)算法并用來解決多目標(biāo)的ELD問題。