【摘 ? 要】 ? 研究了形如[F=αexp（βα）]的指數(shù)Finsler度量，其中[α=aij（x）yiyj]為黎曼度量，[β=bi（x）yi]為非零[1-]形式，得到了其為局部對偶平坦且具有迷向[S]-曲率的充要條件。

【關(guān)鍵詞】 ? 局部對偶平坦;[S]-曲率;[（α，β）]-度量;閔可夫斯基度量

Dually Flat Exponential Finsler Metric with Isotropic S-Curvature

Hua Yiping

（Chizhou University，Chizhou 247000， China）

Abstract： In this paper， we study exponential Finsler metric in the form of [F=αexp（βα）]，Where [α=aij（x）yiyj]is a Riemannian metric， [β=bi（x）yi]is a 1-form. The sufficient and necessary conditions for it to be locally dually flat and of ?isotropic S-curvature are obtained.

Keywords： locally dually flat; ?S-curvature; [（α，β）]-metric; Minkowskian

〔中圖分類號〕 ?O186.12 ? 〔文獻標識碼〕 ?A ? ? ? ? ? ? 〔文章編號〕 1674 - 3229（2021）03- 0000 - 00

對偶平坦的概念由S.I.Amari 和 H.Nagaoka在研究黎曼空間中的信息幾何時首次引入[1]，隨后沈忠民教授將對偶平坦的概念推廣到Finsler幾何[2]，給出了Finsler空間中局部對偶平坦的概念。[F=F（x，y）]是[n]維流形[M]上的Finsler度量，若在任一點存在局部坐標系[（xi）]，使得測地系數(shù)[Gi=-12gijHyj]，其中[H=H（x，y）]是[TM＼{0}]上三次正齊性的光滑標量函數(shù)，則稱Finsler度量[F]是局部對偶平坦的。文獻[2]中，沈忠民教授證明了[F=F（x，y）]是局部對偶平坦的當且僅當[[F2]xkylyk-2[F2]xl=0]。

局部對偶平坦的Finsler度量具有很多很好的性質(zhì)，目前已有許多研究結(jié)果。文獻[3]刻畫了局部射影平坦及局部對偶平坦的Finsler度量，并找到一組刻畫局部對偶平坦的Randers度量的方程，文獻[4]研究了局部對偶平坦的[（α，β）]-度量，得到一組刻畫局部對偶平坦的[（α，β）]-度量的方程。文獻[5]研究一類局部對偶平坦的弱Landsberg的[（α，β）]-度量，得到其為局部閔可夫斯基度量的充要條件。

[S]-曲率是一個非常重要的非黎曼幾何量。沈忠民教授研究體積比較定理時引入了[S]-曲率，它是切從上的標量函數(shù)，反映了畸變沿著測地線的變化率。如果[S=（n+1）c（x）F]，則稱[F]具有迷向的[S]-曲率，其中[c=c（x）]是[n]維流形[M]上的標量函數(shù)，如果[c]為常數(shù)，則稱其為常[S]-曲率。

[（α，β）]-度量[F=αφ（s）]，[s=βα]，其中[α]為黎曼度量，[β=bi（x）yi]為[1-]形式。當[φ（s）=es]時，[F=αexp（βα）]，此時稱[F]為指數(shù)Finsler度量。本文刻畫了局部對偶平坦且具有迷向[S]-曲率的指數(shù)Finsler度量，得到如下定理。

定理 給定[n（n≥3）]維流形[M]上的指數(shù)Finsler度量[F=αexp（βα）]，則[F]是局部對偶平坦且具有迷向[S]-曲率的充要條件是[F]為局部閔可夫斯基度量。

綜上，若指數(shù)度量[F=αexp（βα）]局部對偶平坦且具有迷向[S-]曲率，則[θβ-（θlbl）α2=0]，而[α2]與[β]是互素的，從而[θ=0]，[θlbl=0]，代入（6）式和（8）式有[sij=0，Giα=0]，代入（1）式知[Gi=0]，從而[F]是局部射影平坦的，故此時[F]是局部對偶平坦且是局部射影平坦的，根據(jù)引理3有[Fxk=CFFyk，]而噴射系數(shù)[Gi=Pyi]，且[P=12CF]，由于[Gi=0]知[P=0]從而[C=0]，于是[Fxk=0]，也即[F]是局部閔可夫斯基度量。

3 ? ? 結(jié)語

本文研究了對偶平坦且具有迷向[S]-曲率的指數(shù)Finsler度量的結(jié)構(gòu)，而對于局部對偶平坦的具有迷向[S]-曲率的一般的[（α，β）]-度量，由于計算的繁復性以及所用公式的局限性，目前仍缺乏深入研究，后續(xù)將在這方面進行突破，以便于更好地理解對偶平坦的Finsler度量的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。

參考文獻：

[1] Amari S，Nagaoka H. Methods of Information Geometry[M].Oxford：Oxford University Press，2000.

[2] Shen Z.Lectures on Finsler Geometry[M].Singapore：World Scientific Publishers，2001.

[3] Cheng X， Shen Z， Zhou Y. On locally dually flat Finsler metrics[J]. International Journal of Mathematics， 2010，21（11）：1531-1543.

[4] Xia Q. On locally dually flat [（α，β）]-metrics[J]. Differential Geometry and Its Applications， 2011，29（2）：233-243.

[5] 華義平，宋衛(wèi)東.一類局部對偶平坦的[（α，β）]-度量[J].中國科學技術(shù)大學學報，2018，48（11）：885-889.

[6] Cheng X， Shen Z. A class of Finsler metric with isotropic S-curvature[J]. Israel J Math，2009，169（1）：317-340.