靳瑞寧， 徐 慧， 孫 鈺， 杜少杰， 黃國鑫

(曲阜師范大學物理工程學院，273165，山東省曲阜市)

0 引 言

非線性冷等離子體振蕩和波破裂一直是強場物理研究的熱點.在實驗室等離子體中，它涉及到許多問題，如慣性約束核聚變中激光脈沖對電子和離子的加熱、激光或粒子束驅(qū)動的尾跡場的激發(fā)、激光尾跡場對粒子的加速以及強激光核聚變中產(chǎn)生的拍頻波等[1-4].其中一項重要的研究工作是在波破裂開始之前，找出這種強非線性波的最大可持續(xù)波電場.關(guān)于均勻離子背景下的冷電子等離子體振蕩問題，許多年前已由學者完成[5-7].他們發(fā)現(xiàn)在那種情況下，電子等離子體振蕩頻率與振幅無關(guān)，只要初始電子等離子體波的擾動振幅小于平衡態(tài)等離子體密度的一半，等離子體振蕩就會保持相干性振蕩，不會表現(xiàn)出波破裂行為.后來的研究發(fā)現(xiàn)，如果考慮了粒子運動的相對論效應、或正電荷是運動的，則無論初始電子密度擾動幅度多么小，等離子體波的相位混合和波破裂的發(fā)生都是不可避免的[8,9].這些結(jié)果在電子—離子等離子體[10,11]、電子—正電子等離子體[12-14]和對離子等離子體[15]中得到了證實.參考文獻[5]中給出了當離子背景不均勻時會發(fā)生波破裂現(xiàn)象(無限電子密度)的啟發(fā)式論證.后來，Kaw等人提出了在正弦分布的正電荷背景下，從長波長到短波長的相位混合和由此產(chǎn)生的級聯(lián)[16].固定不動的正弦形和雙曲正割平方形分布的離子背景下的冷等離子體振蕩的精確解由Infeld等人給出，其中相位混合被描述為電子密度突發(fā)[17,18]，并得到了動力學的證明[19].最近，Karmakar等人又研究了不均勻離子背景下的大振幅電子等離子體振蕩的相位混合和波破[20].跟前人的工作相比，他們在離子背景不均勻分布的基礎(chǔ)上，考慮了電子分布的不均勻性，并討論了電子密度擾動對波破裂發(fā)生時間的影響.但他們采用的是拉格朗日坐標系下的一維流體—麥克斯韋方程組，只能研究小振幅的電子和離子擾動的情況，而且他們無法得到系統(tǒng)的詳細演化過程，尤其是得不到相空間中的電子分布.本文采用Vlasov-Poisson方程模擬的方法，著重討論了大范圍變化的初始電子密度擾動振幅對系統(tǒng)演化過程和波破發(fā)生的影響，并得到了波破發(fā)生時相空間的電子分布情況.

1 理論模型

研究一個由電子和離子組成的一維系統(tǒng)，電子分布函數(shù)fe(x,pe,t)和離子分布函數(shù)fi(x,pi,t)分別

滿足非相對論Vlasov方程，靜電場則滿足泊松方程

(1)

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求解Vlasov方程時，采用了Cheng和Knorr提出的時間分裂法[21]，將Vlasov方程分解為物理空間和速度空間中的單獨平流方程.例如方程(1)，可以分解為以下2個平流方程：

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假設(shè)初始時刻電子和離子在動量空間中是麥克斯韋分布的，電子和離子密度分布不均勻，是周期的，初始時刻電子和離子分布函數(shù)由以下形式給出：

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(7)

2 模擬結(jié)果及討論

由于離子質(zhì)量比電子質(zhì)量大得多，其流動性比電子小得多，所以假設(shè)離子是一個固定的、與時間無關(guān)的、空間具有周期性分布的正電荷背景.為了使非線性結(jié)果更透明，采用共振近似條件k≡(ki/ke)?1，取ke=1,ki=0.1，所以整個系統(tǒng)的長度為L=20π.假設(shè)離子是質(zhì)子，電子和離子的溫度都很低，取Te=Ti=25 eV，βe=10-4，βi=0.1836.初始電子密度和離子密度擾動振幅分別為δe=0.2,δi=0.2時，圖1(a)顯示了早期的幾個最大電子密度峰分布，其最大峰值對應的相空間中的電子分布如圖2(a)所示.與均勻背景下的冷電子等離子體波中的結(jié)論類似，電子在每個電子等離子體波的中心位置發(fā)生了堆積.疊加上不均勻離子背景的影響，導致越靠近系統(tǒng)兩端的位置，峰值越大.這與文獻[19]中圖1(a)所示的初始時刻電子密度均勻分布時的早期電子密度分布不相同.由于圖1中離子密度擾動和電子密度擾動都比較小，早期在電子等離子體波中心位置形成的密度峰不足以引起波的破裂.隨著系統(tǒng)的演化，相位混合效應導致電子等離子體波中心的峰值逐漸減小，系統(tǒng)逐漸偏離最初的基模電場分布，該過程伴隨著如圖1(d)所示的電場基模的減小.大約在t=115時，電子密度第一次達到2個最大峰值，對應于圖1(c)所示的比較大而陡的電場梯度.我們把這一時刻定義為離子誘導波破裂時間ti_break.圖1(d)顯示電場基模在離子誘導波破時間(虛線位置)達到第13個峰值，緊靠在最小峰值之前.隨著系統(tǒng)的繼續(xù)振蕩和演化，電子密度雙峰逐漸減小，然后又增加到另一個最大雙峰結(jié)構(gòu).圖1(b)顯示了后期在等離子體中可以得到一系列的電子密度突發(fā)，這與文獻[19]中的結(jié)果相似.圖2(b)顯示在離子誘導波破時間，相空間的電子在密度峰的位置開始形成尖峰結(jié)構(gòu).隨著系統(tǒng)的演化，尖峰變得越來越尖銳，幾次突發(fā)后，一些電子由于速度非常高，會偏離主體(見圖2(d)).

圖2 不同時刻電子在相空間的分布，(a)t=27.3，(b)t=115，(c)t=134，(d)t=144，模擬參數(shù)與圖1相同

圖1 (a)早期形成的3個最大電子密度峰，(b)電子密度突發(fā)系列，(c)離子誘導波破時間對應的電場梯度分布，(d)電場基模隨時間的演化，模擬參數(shù)為：δe=0.2,δi=0.2,ke=1.0,ki=0.1,L=20π,βe=10-4,mi=1836,βi=0.1836

保持其他參數(shù)與圖1相同，初始離子密度擾動δi對離子誘導波破裂時間的影響如圖3(a)中實線所示.圖3(a)中的虛線是文獻[20]中給出的理論結(jié)果.模擬結(jié)果與理論結(jié)果的變化趨勢基本一致，離子誘導波破裂時間隨著初始離子密度擾動的增大而減小.圖3(b)顯示了離子密度擾動不同時在初始時刻(t=0)對應的電場分布.隨著離子密度擾動振幅的增大，形成的電場E增大，振蕩頻率對空間的依賴性增強.因此，離子密度擾動振幅越大，電子的運動和再分配越強，離子誘導波破裂時間越短.

圖3 (a)離子誘導波破時間隨離子密度擾動振幅的變化，(b)離子密度擾動振幅不同時對應的初始時刻(t=0)的電場分布，其他模擬參數(shù)與圖1相同

其他參數(shù)保持與圖1相同的情況下，研究了電子密度擾動對系統(tǒng)演化過程的影響.當電子密度擾動較小時(如δe<0.3)，系統(tǒng)的演化過程與圖1所示的δe=0.2的過程相似.早期在電子等離子體波中心形成的電子密度峰不太陡，不足以引起波破裂的發(fā)生.這種情況下，后期由離子密度不均勻性引起的離子誘導波破裂時間幾乎不受電子密度擾動的影響.然而，電子密度擾動引起的在電子等離子體波中心形成的早期電子密度峰值和離子誘導波破裂時間對應的電子密度雙峰結(jié)構(gòu)的峰值都隨著電子密度擾動振幅的增加而增大(見圖4(a1)-(a4)).圖4(c)和(d)分別為δe=0.4 和δe=0.5時對應的早期電子密度峰分布.此時，在離子分布不均勻性和電子分布不均勻性的共同作用下，靠近系統(tǒng)邊界處形成的早期電子密度峰值比較大，電場梯度很大，導致了波破裂的發(fā)生.但早期的波破裂比較弱，離子的不均勻性最終也會在后期導致電子密度分布形成雙峰結(jié)構(gòu)，且離子誘導波破裂時間隨著電子密度擾動振幅的增加而增加，相對應的電子密度雙峰結(jié)構(gòu)的峰值變小(如圖4(a5)和圖4(b)所示).當電子密度擾動很大時(如δe>0.9)，早期電子等離子體波導致的波破裂很強，由離子分布不均勻性導致的電子密度中的雙峰結(jié)構(gòu)根本不可能出現(xiàn)，系統(tǒng)的波破裂主要由大振幅電子等離子體波決定.

圖4 (a1)-(a5)離子誘導波破時間(t=115)對應的電子密度雙峰分布，其中(a1) δe=0.0,(a2) δe=0.1,(a3) δe=0.2,(a4) δe=0.3,(a5) δe=0.4,(b)中等大小的電子密度擾動對應的第一個最大電子密度雙峰結(jié)構(gòu)，(c) 和(d)分別為δe=0.4和δe=0.5時早期演化的2個最大電子密度峰分布，其他模擬參數(shù)與圖1中參數(shù)相同

保持其他模擬參數(shù)與圖1相同，圖5(a)和(c)分別給出了ki=0.05和ki=0.025時電子密度的一系列突發(fā).與圖1(b)相比，隨著離子擾動波數(shù)的減小，離子在空間的密度分布不均勻性降低，對應的離子誘導波破裂時間增加.離子波數(shù)越小，電場基波振蕩周期越長(見圖1(d)、圖5(b)和圖5(d)).但不同的離子擾動波數(shù)下，電場基模早期演化的趨勢是相似的，離子誘導波破裂時間幾乎都發(fā)生在第13個振蕩周期，即在最小峰值之前.

圖5 (a)、(c)分別為ki=0.05和ki=0.025時的電子密度突發(fā)系列，(b)、(d)分別為ki=0.05 和 ki=0.025時電場基模隨時間的演化，其他模擬參數(shù)與圖1中的參數(shù)相同.

3 結(jié) 論

本文研究了電子密度擾動振幅對非均勻離子背景下、電子等離子體振蕩的演化過程和波破裂的影響.結(jié)果表明，在電子等離子體波和離子不均勻性的共同作用下，任意振幅的電子等離子體波都會發(fā)生相位混合和波破裂.當電子密度擾動振幅較小時(如δe<0.3)，電子等離子體波的影響較小，波破裂主要由背景離子的不均勻性產(chǎn)生，最后會形成比較大的電子密度雙峰結(jié)構(gòu)(波破裂發(fā)生).在中等大小的電子密度擾動振幅下，電子等離子體波導致的波破裂發(fā)生在早期階段，但比較弱.背景離子的不均勻性還是會在后期導致電子密度雙峰結(jié)構(gòu)的形成，且雙峰結(jié)構(gòu)的形成時間會隨著電子密度擾動振幅的增加而增加.當電子密度擾動很大(如δe>0.9)時，系統(tǒng)的波破裂主要發(fā)生在早期、由大電子等離子體波決定.這種情況下，由離子分布不均勻性導致的電子密度雙峰結(jié)構(gòu)不會出現(xiàn)了.離子誘導波破時間隨著離子擾動波數(shù)的減小而增加，隨著離子擾動振幅的增加而減小.