李慧敏 范學禎 于貴龍 杜自成

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

彈道測量是武器裝備試驗中的一項重要內容，是武器裝備效能分析的一種重要手段[1-3]。直線擬合是彈道測量數(shù)據(jù)處理的一種常見處理方式，它適用于量程短、射速快，在量程范圍內飛行軌跡近似為直線的彈道目標。

最小二乘法是用于直線擬合的一種常見方法[4]，其應用的主要前提是自變量無噪聲、只有因變量為隨機變量。當自變量、因變量都具有誤差時，直接運用最小二乘進行直線擬合，將導致較大的擬合誤差。文獻[5-6]將自變量、因變量中的噪聲看作是對真值的擾動，其中文獻[5]進行了詳盡的理論分析，文獻[6-7]提出了總體最小二乘法，并討論了通過奇異值分解法進行求解的過程。文獻[8]中介紹了“戴明解法”，該法以測量點到擬合直線的垂直距離的平方和的最小值作為約束條件，可以比較精確的進行直線擬合。

文獻[5-8]雖然考慮了自變量、因變量均包含誤差的情況，但均認為二者的誤差是互相獨立的，對于常見的彈道測量設備，其測量在極坐標系下完成，而直線擬合在直角坐標系下進行，坐標變換環(huán)節(jié)使得測量噪聲互相耦合，直角坐標系下的各個坐標值中的誤差互相不獨立。當各坐標值的誤差互相不獨立時，直接進行直線擬合將引入新的問題，本文將對此進行分析，并提供解決思路。

1 最小二乘直線擬合的誤差分布

對于雷達來說，量測一般在極坐標下進行，然后轉換到直角坐標系下進行直線擬合。以兩坐標雷達為例，量測值為(R,θ)，分別代表目標距離和方位。量測誤差的標準差分別為σR和σθ，二者統(tǒng)計獨立且均服從標準正態(tài)分布。由極坐標轉換為直角坐標系

(1)

求導可得直角坐標系下坐標系的坐標值x,y的誤差函數(shù)為

(2)

可見x,y均為隨機變量。最小二乘的目的是根據(jù)x的測量值Xn=x1,x2,…,xnT、以及y的測量值Yn=y1,y2,…,ynT來確定x,y之間的關系y=ax+b，其中a,b為待估計的參量?？倻y量噪聲ωi由xi的測量噪聲ωxi、yi的測量噪聲ωyi兩部分組成

yi+ωyi=axi+ωxi+b

(3)

則

yi-axi-b=aωxi-ωyi=-Ricosθi+aRisinθiσθ-sinθi-acosθiσR

(4)

由式(4)可知，總測量噪聲ωi=aωxi-ωyi。觀測點xi,yi處的總測量噪聲的方差為

(5)

(6)

可見觀測點處的總測量噪聲的方差和距離Ri、角度θi有關。總測量噪聲協(xié)方差矩陣Cn為

(7)

若目標角度θi隨距離Ri的變化較小，即θi≈θ基本保持不變，則式(7)可進一步簡化為

(8)

2 旋轉坐標系法提高最小二乘擬合精度

圖1 旋轉坐標系法最小二乘的直線擬合執(zhí)行流程

旋轉坐標系法最小二乘的直線擬合步驟如下：

1)求取目標角度均值α，然后在極坐標系下對測量值順時針旋轉角度α，使目標角度處于0°方向附近；

2)由極坐標系變換至直角坐標系，并進行最小二乘直線擬合；

3)將擬合結果由直角坐標系變換至極坐標系，然后逆時針旋轉角度α，得到原坐標系下的擬合值。

3 仿真計算

通過蒙特卡洛仿真來驗證算法性能，仿真參數(shù)設定如表1所示。

表1 仿真參數(shù)配置

設定目標不同的飛行角度，每個角度分別進行1000次蒙特卡洛仿真。仿真結果如下：

圖2中，“帶◇”曲線為直接進行最小二乘直線擬合的平均偏差，較平滑虛線曲線為旋轉坐標系法最小二乘直線擬合的平均偏差。目標角度越大，前者的平均偏差越大，而后者的平均偏差隨角度基本保持不變且始終保持較小值。仿真結果與前文的推論相符合。

圖2 外推點角度偏差均值

目標角度為75°時，兩種方法的誤差散布圖如圖3所示。

圖3 兩種擬合方法的誤差散布圖

從圖3可以看出，旋轉坐標系法最小二乘的誤差在0°上下平均分布，屬于無偏的擬合方法。而直接的最小二乘方法的平均誤差偏離了0°，屬于有偏的擬合方法，其擬合誤差的均值大于旋轉坐標系法最小二乘。

4 結束語

由極坐標系到直角坐標系的非線性變換，導致直角坐標系下的總測量噪聲與目標角度相關。通過旋轉坐標系法，可將直角坐標系下的總測量噪聲最小化，從而提高最小二乘法的彈道直線擬合精度。仿真結果同時表明：由于直角坐標系下的各個坐標值誤差互相不獨立，直接的最小二乘方法為有偏估計，目標角度偏離0°越遠(在-90°～90°范圍內)，擬合的平均偏差越大；旋轉坐標系法最小二乘接近于無偏估計，且擬合誤差不隨目標角度變化而變化。當目標角度接近0°時，直接的最小二乘方法的擬合平均偏差很小，因此在實際彈道測量中難以察覺出該偏差。