洪欣宇,洪榮晶,林曉川

(1.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院,江蘇 南京 211800; 2.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點實驗室,江蘇 南京 211899)

在實際生產(chǎn)中,五軸機(jī)床常用于曲面較復(fù)雜的零件加工。五軸機(jī)床雖然提高了零件的加工質(zhì)量,但同時也帶來了一系列問題,Zlatanov等[1]提出當(dāng)零輸出的機(jī)床存在非零輸入時,即發(fā)生加工奇異問題。該問題易造成表面加工軌跡不光順,甚至產(chǎn)生干涉和擦傷[2]。五軸加工中發(fā)生奇異問題的區(qū)域通常與該機(jī)床的運動相關(guān),因此每個五軸機(jī)床都有一個造成冗余輸入的奇異點。當(dāng)在奇異區(qū)域內(nèi)進(jìn)行加工時,為了獲得恒定的切削進(jìn)給速率,機(jī)床軸運動會發(fā)生突變。

關(guān)于奇異問題優(yōu)化的研究主要分為3類:① 在CAD/CAM建模階段對奇異區(qū)域內(nèi)刀具軌跡進(jìn)行調(diào)整。但該類方法可能會引起新的誤差。Affouard[3]基于旋轉(zhuǎn)軸運動的最小增量和定位精度,提出了用于規(guī)避奇異點的奇異錐體(singular cone)概念。Yang等[4]通過旋轉(zhuǎn)位于奇異錐體內(nèi)的刀軸矢量來進(jìn)行優(yōu)化,但旋轉(zhuǎn)角度過大會導(dǎo)致加工精度降低。Lin等[5]將奇異區(qū)域內(nèi)的刀軸矢量整體進(jìn)行平移,從而避開奇異錐度圓，但該方法不適用于側(cè)面銑削,經(jīng)優(yōu)化后采用粒子群算法來計算最佳平移向量,改善了加工工件的表面紋理[6]。② 在后處理階段進(jìn)行優(yōu)化。但該類方法可能會造成機(jī)床軸的運動速度發(fā)生突變,對伺服電機(jī)和機(jī)床床身產(chǎn)生損壞。Srby[7]通過修改靠近奇異點的逆運動學(xué)矩陣進(jìn)行優(yōu)化。Boz等[8]通過調(diào)整旋轉(zhuǎn)軸變量大于90°時的主旋轉(zhuǎn)軸角度來規(guī)避奇異點。王峰等[9-11]提出基于雅可比矩陣的奇異區(qū)域檢測和處理方法,修改了奇異點附近的刀軸矢量。③ 在實際切削階段進(jìn)行優(yōu)化。但該類方法受限于刀具軌跡的特定形狀。Anotaipaiboon等[12]和Pessoles等[13]通過改變工件配置來提高加工效率和避免奇異問題。Cripps等[14]指出奇異區(qū)域與旋轉(zhuǎn)工作臺的系數(shù)有關(guān),還提出通過利用特殊設(shè)計的夾具重新定位工件來解決奇異問題。

因此,對于五軸加工中的奇異問題,通常在刀位數(shù)據(jù)生成階段進(jìn)行調(diào)整,避免與設(shè)計模型本身產(chǎn)生較大誤差[15]。國內(nèi)還有部分學(xué)者通過分析刀具運動的非線性誤差來提出優(yōu)化方法,文獻(xiàn)[16-18]通過分析旋轉(zhuǎn)軸運動過程中線性插補(bǔ)引起的刀具偏差角,限制相鄰刀軸矢量的夾角來進(jìn)行誤差控制。耿聰?shù)萚19-20]在此研究基礎(chǔ)上采用等幅旋轉(zhuǎn)法對旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)值進(jìn)行優(yōu)化。筆者通過分析影響旋轉(zhuǎn)運動誤差的相關(guān)變量,結(jié)合旋轉(zhuǎn)變化率(R)提出一種奇異問題優(yōu)化方法，并以葉輪流道表面加工為例,驗證該方法的可行性。

1 旋轉(zhuǎn)運動引起的奇異問題

五軸機(jī)床中的旋轉(zhuǎn)運動軸能夠提高各種復(fù)雜曲面加工的靈活性,但也會造成奇異問題。五軸加工中實際加工軌跡與理想刀具軌跡的不同會對表面質(zhì)量和機(jī)床本身性能產(chǎn)生影響。筆者以AC式擺頭/轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)型五軸機(jī)床為主要研究對象,分析其加工時的旋轉(zhuǎn)運動軌跡,并研究產(chǎn)生奇異問題的原因。

1.1 五軸機(jī)床運動模型

AC式五軸機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖1所示。由于工件在工件坐標(biāo)系中坐標(biāo)位置與在機(jī)床坐標(biāo)系中不同,因此將工件坐標(biāo)系中的刀位點和刀軸矢量經(jīng)過轉(zhuǎn)換后,生成機(jī)床坐標(biāo)系中各軸的運動坐標(biāo)。圖1中機(jī)床的正向運動鏈依次為刀具、A軸旋轉(zhuǎn)、Y軸、Z軸、X軸、機(jī)床床身、C軸旋轉(zhuǎn)和工件。依照運動鏈轉(zhuǎn)換后得到工件坐標(biāo)系下刀軸矢量Nk如式(1)所示。

(1)

式中:θA和θC為機(jī)床坐標(biāo)系下A、C旋轉(zhuǎn)軸的運動角度,Nkx、Nky和Nkz分別為工件坐標(biāo)系下x、y和z軸的刀軸矢量坐標(biāo)。

圖1 AC式擺頭/轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)型五軸機(jī)床Fig.1 AC-type five-axis machine of tool and table separated rotation

機(jī)床坐標(biāo)系下A、C旋轉(zhuǎn)軸運動坐標(biāo)與刀軸矢量關(guān)系如式(2)所示。

(2)

1.2 五軸加工中奇異問題分析

如圖2所示,以某兩個相鄰刀軸矢量Nk1到Nk2運動為例,圖2中，Nkp為理想運動中某時間點的刀軸矢量；N′kp為實際加工中相應(yīng)時間點的刀軸矢量；δ為Nkp和N′kp之間的誤差；α為Nkp和N′kp之間的誤差角；λ為Nk1與Nk2之間的夾角；tλ為Nk1與Nkp之間的夾角；t為單位時間，t∈[0, 1]。當(dāng)δ過大時，不僅會對表面加工質(zhì)量產(chǎn)生影響,還會造成奇異問題。因此,通過計算相鄰刀軸矢量間的最大刀軸誤差角αmax,并分析各變量對奇異問題的影響,從而提高加工表面質(zhì)量。

圖2 相鄰刀軸矢量間的運動軌跡Fig.2 Movement between adjacent tool orientations

運用四元數(shù)球面法表示理想運動中某時間點的刀軸矢量Nkp，如式(3)所示。

(3)

根據(jù)式(2),得到實際加工中相應(yīng)時間點的刀軸矢量N′kp，如式(4)所示。

N′kp(t)=-cosθA(t)sinθC(t)-

cosθA(t)cosθC(t)-sinθA(t)

(4)

刀軸誤差角α如式(5)所示。

(5)

式中：θA1和θA2分別為Nk1和Nk2的A軸運動角度，θC1和θC2分別為Nk1和Nk2的C軸運動角度，U為中間量。

由式(5)得,當(dāng)U(t)求得最小值時,α(t)也可求得最大值,即δ為最大值。通過對U(t)關(guān)于t求導(dǎo),得出當(dāng)t=1/2時,dU(t)/dt接近于0。所以當(dāng)?shù)毒哌\動至相鄰刀軸矢量中間位置時,α(t)最大,則δ也達(dá)到最大值[17]。

在t值確定后,式(5)可簡化為式(6)。

(6)

式中,ΔθA和ΔθC分別為A、C軸運動角度變化量。

λ在實際加工中如式(7)所示。

cosλ=Nk1·Nk2=cosθA1sinθC1cosθA2sinθC2+

cosθA1cosθC1cosθA2cosθC2+sinθA1sinθA2=

cosθA1cos(θA1+ΔθA)cos ΔθC+

sinθA1sin(θA1+ΔθA)

(7)

因此,得出α(t=1/2)如式(8)所示。

(8)

由式(8)可得出,由α過大而導(dǎo)致的奇異問題與變量ΔθA、ΔθC和θA1的取值有關(guān)。

1.3 旋轉(zhuǎn)變化率對奇異問題的影響

從式(8)很難觀察出變量ΔθA、ΔθC和θA1取值對α(t=1/2)的直接影響,因此利用控制變量法對α進(jìn)行數(shù)值化分析,探討各變量對α的影響,如圖3—5所示。其中,為了避免式(8)中一些特殊角度取值對結(jié)果產(chǎn)生誤差,也為了更好地觀察ΔθA和ΔθC之間變化關(guān)系對α的影響,引入了旋轉(zhuǎn)變化率R這一概念。旋轉(zhuǎn)變化率指五軸加工中兩個旋轉(zhuǎn)軸在同一時間運動角度變化量之間的比值,如式(9)所示。

(9)

由于該機(jī)床A軸運動角度取值范圍通常為-90°～0°,θA1分別取值-60°、-45°和-30°進(jìn)行對比(圖3)。θA1的變化對α影響不明顯,且實際加工中θA1取值和曲面零件模型本身有關(guān),改變θA1可能會造成整體走刀運動的較大變化而造成新的加工誤差,甚至產(chǎn)生碰撞干涉問題。

圖3 R和ΔθA對α的影響Fig.3 Effects of R and ΔθA on error angle α

圖4 R和θA1對α的影響Fig.4 Effects of R and θA1 on error angle α

圖5 ΔθA和θA1對α的影響Fig.5 Effects of ΔθA and θA1 on error angle α

由圖4和5得出:ΔθA絕對值越大,α越大。所以在對奇異問題進(jìn)行優(yōu)化時,要縮小ΔθA的范圍。R絕對值越大,α越大。當(dāng)R>2時,α數(shù)值變化圖像會產(chǎn)生兩個波峰(圖5(c))。

綜上可以得出:R和ΔθA絕對值過大是使α過大的主要因素,也同樣會導(dǎo)致加工中的奇異問題。

2 五軸加工奇異問題優(yōu)化方法

對于五軸加工中旋轉(zhuǎn)運動的奇異問題,筆者提出的優(yōu)化方法如下:對相鄰刀軸矢量坐標(biāo)進(jìn)行調(diào)整,控制A軸運動角度變化量的絕對值|ΔθA|小于其限定最大值ΔθAmax(ΔθAmax>0),同時縮小旋轉(zhuǎn)變化率的絕對值|R|。該方法同樣也能對兩個旋轉(zhuǎn)軸的運動角度變化量ΔθA和ΔθC取值范圍進(jìn)行限定。

2.1 刀軸矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化

在刀位數(shù)據(jù)中,刀軸矢量Nk通常為一個三維單位向量,其坐標(biāo)為 (Nkx,Nky,Nkz)。如圖6(a)所示,Nk的定義:將刀軸矢量Nk放置在一個單位球中,其中起始坐標(biāo)設(shè)定為單位球球心,末端坐標(biāo)(Nkx,Nky,Nkz)為在單位球表面的取值[5]。因此,根據(jù)AC式擺頭/轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)型五軸機(jī)床運動特點,刀軸矢量沿單位球同一緯度線的運動相當(dāng)于在C軸的運動變化,則刀軸矢量沿單位球同一經(jīng)度線的運動相當(dāng)于在A軸的運動變化。如圖6(a)所示,在實際加工中刀軸矢量Nk1到Nk2的運動為刀具圍繞A軸的擺動,刀軸矢量Nk2到Nk3的運動為轉(zhuǎn)臺圍繞C軸的轉(zhuǎn)動。

若直接將刀軸矢量在空間中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換,不僅計算過程較復(fù)雜,對ΔθA和R的控制也比較困難。因此，需要將刀軸矢量轉(zhuǎn)化到平面中進(jìn)行優(yōu)化。如圖6(b)所示,選取平行于xOy的平面,將單位球中三維向量轉(zhuǎn)化為平面單位圓中的二維向量坐標(biāo)。則刀軸矢量Nk1到Nk2在二維坐標(biāo)中沿圓徑向的運動相當(dāng)于在A軸的運動,刀軸矢量Nk2到Nk3沿圓周向的運動相當(dāng)于在C軸的運動。具體向量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的操作:將刀軸矢量Nk的三維坐標(biāo)整體除以z軸坐標(biāo)Nkz,轉(zhuǎn)化為(Nkx/Nkz,Nky/Nkz,1);由于z軸坐標(biāo)相同,所以刀軸矢量Nk坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為二維坐標(biāo)(Nkx/Nkz,Nky/Nkz),記為Nk(x,y)。

圖6 刀軸矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化Fig.6 Coordinates transformation of tool orientations

式(2)中的A、C旋轉(zhuǎn)軸運動角度坐標(biāo)如式(10)所示。設(shè)l=x2+y2,A軸運動角度坐標(biāo)與l有關(guān),C軸運動角度坐標(biāo)與x/y有關(guān),該驗證結(jié)果與圖6(b)中描述一致。

(10)

2.2 奇異問題優(yōu)化方法

圖7 改變刀軸矢量坐標(biāo)優(yōu)化RFig.7 Changing the coordinates of tool orientations to optimize R

3 實驗驗證

運用針對奇異問題的刀軸矢量優(yōu)化方法,以直徑為100 mm的八葉片葉輪為例,優(yōu)化葉片間流道的加工表面。在二維坐標(biāo)平面內(nèi)對刀軸矢量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)調(diào)整,縮小旋轉(zhuǎn)變化率R,最后進(jìn)行加工試驗驗證。

如圖8所示,將葉輪流道內(nèi)刀軸矢量用點表示。圖8中,藍(lán)色點表示刀軸矢量的旋轉(zhuǎn)變化率R小于限定值,紅色點表示待優(yōu)化的刀軸矢量。為了更加直觀地分析旋轉(zhuǎn)變化率R與奇異區(qū)域的聯(lián)系,取值范圍依次為R<15、R<10、R<5和R<2。圖8中R取值越小,紅色點面積越大,需要優(yōu)化的刀軸矢量也越多。紅色點主要集中在葉輪流道與葉片交界處,該部分表面曲率變化較大,因此旋轉(zhuǎn)軸運動角度變化量也較大,容易產(chǎn)生奇異問題。

圖8 葉輪流道刀軸矢量的R分布點圖Fig.8 Point distribution diagrams of R of tool orientations in impeller passage

將優(yōu)化后不同R取值范圍內(nèi)的刀位數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為機(jī)床坐標(biāo),分別在五軸機(jī)床上進(jìn)行加工。主軸轉(zhuǎn)速為3 000 r/min,進(jìn)給速度為200 mm/min,切削深度為0.1 mm。圖9為在不同旋轉(zhuǎn)變化率取值范圍下,經(jīng)過表面加工后同一處的葉輪流道表面局部放大圖,其中R取值范圍越大,表面呈現(xiàn)的軌跡中奇異問題越明顯,表面質(zhì)量也越差。

圖9 表面加工后葉輪流道表面局部放大圖Fig.9 Local enlarged views of the machined surface of impeller passage

采用粗糙度測量儀分別對加工表面進(jìn)行測量,得出輪廓算術(shù)平均偏差(Ra)、均方根粗糙度(Rq)、輪廓峰谷最大高度(Rz)、輪廓最大的高度(Rt)、最大的峰值(Rp)和最大的谷值(Rv)，具體測量數(shù)據(jù)如表1所示。當(dāng)旋轉(zhuǎn)變化率R<15時,Ra、Rq和Rz的兩次測量平均值分別為2.496、3.157和6.396 μm,在4組測量中數(shù)據(jù)最大;R<2時,Ra、Rq和Rz兩次測量平均值分別為0.970、1.224和4.535 μm,在4組測量中數(shù)據(jù)最小。從表1中的測量數(shù)據(jù)還可以得出:R取值范圍越小,表面粗糙度越小,加工表面質(zhì)量也有所提高。

表1 局部葉輪流道表面粗糙度

4 結(jié)論

1) 通過分析相鄰刀軸矢量間的旋轉(zhuǎn)誤差角,并觀察不同變量對其的影響,探討五軸加工中奇異問題產(chǎn)生原因。結(jié)合旋轉(zhuǎn)變化率R提出了一種奇異問題的優(yōu)化方法,并在刀位數(shù)據(jù)生成階段調(diào)整刀軸矢量來減小R,從而控制旋轉(zhuǎn)誤差角,提高表面加工質(zhì)量。

2) 以葉輪流道為實驗加工對象,驗證該優(yōu)化方法的可行性,并對加工表面的粗糙度測量數(shù)據(jù)進(jìn)行對比,證明旋轉(zhuǎn)變化率R較大時易產(chǎn)生奇異問題。

3) 筆者所提出的優(yōu)化方法是在A軸旋轉(zhuǎn)運動角度變化量ΔθA不變的基礎(chǔ)上,結(jié)合R取值范圍對刀軸矢量進(jìn)行調(diào)整,因此可以直接有效運用于自由曲面的工業(yè)制造。