施 歌,李 勇,程 偉

(西北工業(yè)大學 電子信息學院, 陜西 西安 710129)

0 引言

可見光通信(visible light communication, VLC)結(jié)合了通信和照明技術(shù)，在過去十年中受到越來越多研究者的關(guān)注。與傳統(tǒng)的射頻(radio frequency, RF)技術(shù)相比，它具有實施成本低和頻譜源豐富等優(yōu)勢[1-3]。盡管前景廣闊，但由于其廣播特性，VLC系統(tǒng)實際的部署仍然面臨安全問題的挑戰(zhàn)。最近，物理層安全(physical layer security, PLS)已經(jīng)成為一種有前途的技術(shù)，可以保護無線通信并補充傳統(tǒng)應用層[4-6]上的加密技術(shù)。在射頻(radio frequency, RF)網(wǎng)絡中，近幾十年來，研究人員已經(jīng)對RF系統(tǒng)中的物理層安全問題進行了深入研討[7-10]。但是，與RF系統(tǒng)相比，VLC系統(tǒng)具有一些不同的特性。例如，VLC通道調(diào)制信號是實數(shù)且為正值。由于發(fā)光二極管(light emitting diode,LED)的線性動態(tài)范圍有限，VLC系統(tǒng)的信號輸入受到峰值幅度約束的限制。因此，在VLC系統(tǒng)中，PLS的一些優(yōu)化問題值得被重新審視。

多輸入單輸出(multiple input single output, MISO)和多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)是利用空間復用增益來增強VLC系統(tǒng)安全性能[11-15]。在室內(nèi)使用多個LED陣列并且形成MISO傳輸是很自然的，因為它可以保證房間內(nèi)照明充分且均勻。文獻[11]利用波束成形的方法，求解多輸入單輸出多竊聽者(multiple input single output multiple eavesdroppers, MISOME)信道的可達保密速率，并且仿真結(jié)果表明：迫零(zero-forcing, ZF)是近乎最優(yōu)的安全傳輸策略。文獻[14]提出了一種預編碼方案，旨在增強最大化受峰值幅度約束的多用戶MISO VLC廣播信道的保密性能，數(shù)值結(jié)果表明：該方案優(yōu)于常規(guī)的ZF預編碼。文獻[15]在采用同步光信號和功率傳輸技術(shù)的MISO VLC網(wǎng)絡中，考慮了保密波束成形設計，在理想信道狀態(tài)信息(channel statement information, CSI)和有界誤差CSI模型下最大化保密速率。除了使用波束成形來削弱竊聽者的接收效果外，提高物理層安全性能的另一個方法是人工噪聲[11-12](artificial noise，AN)。文獻[11]設計了一個多LED干擾器，向VLC系統(tǒng)中的竊聽者發(fā)射虛假干擾信號，并且不會干擾合法用戶。文獻[12]設計了一種最佳功率分配，在峰值幅度約束下增強廣義空間移鍵控VLC系統(tǒng)的保密性能。然而，在MISO VLC系統(tǒng)保密性能最壞的情況下，即多個配備有多個光敏二極管(photodiode，PD)竊聽者的情況下，保密信號和干擾信號協(xié)方差之間的最優(yōu)功率分配，目前沒有文獻研究。

本文探討在配備多PD竊聽者的MISOME VLC信道中，人工噪聲輔助保密速率最大化(secrecy rate maximization, SRM)問題。在該問題中，考慮對保密信息協(xié)方差和AN協(xié)方差進行聯(lián)合功率優(yōu)化。該問題的主要困難在于AN協(xié)方差使得目標函數(shù)不凸且難以優(yōu)化。為了解決這個問題，通過推導得出了SRM問題的等效問題，轉(zhuǎn)換后的等效問題變成了凸問題且更容易解決。SRM問題被重塑為基于單變量半正定規(guī)劃(semidefinite programming, SDP)問題，并且可以使用凸優(yōu)化工具箱(convex optimization toolbox, CVX)輕松求解。在SRM問題中，假定保密信息和AN都具有通用的發(fā)射協(xié)方差，即沒有將發(fā)送策略固定為波束成形或?qū)N限制在合法信道的零空間中。在推導等效SRM問題時，本文證明了發(fā)送波束成形是機密信息傳輸?shù)淖罴巡呗?。該結(jié)果對于在VLC場景中使用波束成形提供了有意義的理論依據(jù)。

1 系統(tǒng)建模

本文設計一個室內(nèi)VLC系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有M個LED陣列和一個配備有單個PD的合法用戶。合法用戶的信道會被K個竊聽者偷聽，并且每個竊聽者都配備有Lk個 PD。所有的LED陣列都連接到一個中央控制單元(central control unit,CCU)，以便收集有關(guān)合法用戶和竊聽者的位置和通道增益信息，并且CSI可以通過RF或其他介質(zhì)作為上行鏈路傳輸提供給CCU。在文獻[16-18]中，此假設已被廣泛用作合理模型。在CCU中，中央處理器會設計發(fā)射協(xié)方差矩陣并分配給LED陣列。s∈M作為LED陣列發(fā)送的信號矢量，合法用戶和第k個竊聽者接收到的信號分別表示為：

(1)

其中：k∈κ?{1,2,…,K}；h={h1,hm, …,hM}T∈M，為從LED陣列到合法接收者的信道增益響應矢量；Gk={g1,glk, …,gLk}∈M×Lk是從LED陣列到第k個竊聽者的通道增益響應矩陣；噪聲nb和ne,k是獨立的均勻分布的圓對稱高斯噪聲，其方差為N(0,δb2)和N(0,δe,k2I)。由于直射信道(line of sight, LoS)分量的信號強度遠高于非直射信道分量[18]，因此本文僅考慮LoS的分量。從第m個LED陣列到合法用戶的直射信道增益[19]可以表示為：

(2)

其中：β為朗伯照射次序；Ar為接收者PD的接收面積，m2；dm為從第m個LED陣列到合法用戶的距離，m；φm為第m個LED陣列的發(fā)射角，(°)；φm為合法用戶接收器PD的入射角，(°)；gof為光學濾波器的增益；f(φm)為光學聚光器的增益[14]。從LED陣列到竊聽者的信道建模類似于式(2)，主要取決于系統(tǒng)參數(shù)和它們的相對位置。本文采用了一種基于AN的方案，以降低竊聽者的接收效率。發(fā)送信號是保密信息和AN的和，即s=x+z。假定保密信號矢量x遵循高斯分布x～N(0,W)，其中，W是保密信息的協(xié)方差矩陣。對于AN，本文假設z～N(0,Σ)，其中，Σ為AN協(xié)方差矩陣。保密信號向量和AN信號向量都是統(tǒng)計獨立的隨機變量。在本文中，為實現(xiàn)最大保密速率，需要設計保密信息協(xié)方差和AN協(xié)方差。給定(W,Σ)，可達保密速率表示為[8]：

(3)

其中：Rb(W,Σ)為合法用戶的可達速率；Re,k(W,Σ)為第k個竊聽者的可達速率。該系統(tǒng)的安全性能是通過選取所有K個竊聽鏈接中的最小保密速率獲得的。合法用戶和竊聽者的可達速率的公式如下：

(4)

可達保密速率Rs能實現(xiàn)完美保密，即合法用戶能以Rs的速率正確地解碼機密信息，而竊聽者不能解碼任何信息。根據(jù)VLC的光學特性，本文考慮峰值幅度受約束的信號輸入，以確保人眼安全和光學設備的正確使用。發(fā)射信號s的峰值幅度限制條件如下所示[20]：

‖s‖∞≤A,

(5)

其中：‖·‖∞為向量的無窮范數(shù)；A為光信號的振幅允許最大數(shù)值，A≥0。在文獻[21]中，上述約束被松弛為E(|sisj|) ≤A2, 1≤i,j≤M。通過該方法，可將協(xié)方差矩陣的功率峰值幅度約束寫為：

‖W+Σ‖max≤A2,

(6)

其中：‖·‖max為最大范數(shù)，限制矩陣中元素的最大絕對值。為了在總功率約束和功率峰值幅度約束下獲得輸入?yún)f(xié)方差矩陣的最優(yōu)設計，本文提出了一個求最大保密速率的問題，如下所示：

maxRss.t. Tr(W+Σ) ≤Pt, ‖W+Σ‖max≤A2,W≥0,Σ≥0,

(7)

其中：Pt≥0是LED陣列的總功率預算。在這個問題中，除了目標函數(shù)以外，所有的約束條件都是凸的。因此，需要采用一種方法來解決該目標函數(shù)的非凸問題。

2 基于SDP的問題解決方法

本文提出了一種基于半正定規(guī)劃的優(yōu)化方法，以數(shù)值的方式解決SRM問題。首先，使用松弛變量β重寫問題：

(8)

其中：logβ可以解釋為竊聽鏈路的可達速率。此步驟為等效變換，可以通過調(diào)整β的值找出最佳解決方案。在此問題中，具有挑戰(zhàn)性的部分位于式(8)的非凸目標函數(shù)和第1個非凸約束條件中。為了克服這個困難，本文將首先通過使用夏恩-庫珀變換來重寫分數(shù)形式的目標函數(shù)，然后利用一個不等式來簡化式(8)的第1個非凸約束條件。首先，做出以下定義：

(9)

問題(8)重寫如下：

(10)

直觀上來說，該想法是約束分母為一個與β相關(guān)的定值，讓分子成為目標函數(shù)。將ξ>0替換為ξ≥0不會失去最優(yōu)性，可以通過對問題(10)的任何可行解都不能為零的矛盾進行驗證。但是，由于式(10)中的第2個約束條件非凸，該問題仍然沒有變成凸問題。因此，需要介紹文獻[8]中的一個引理，如下所示：

(11)

已知問題(19)是凸的(因為目標函數(shù)是仿射的，并且約束條件是仿射且正半定的)，因此斯萊特(Slater)條件成立，KKT條件足以實現(xiàn)最優(yōu)性[22]。下式求出了該問題的拉格朗日(Lagrange)公式：

(12)

其中：νij,φ≥0是功率峰值幅度約束和總功率約束的拉格朗日乘數(shù)。M1,M2≥0是兩個半正定協(xié)方差矩陣的拉格朗日乘數(shù)。Qk≥0,φ≥0分別是式(10)中第2行針對第k個竊聽者的信干比約束和第1行等式約束的拉格朗日乘子。根據(jù)一階條件得到：

(13)

(14)

對于等式的右側(cè)，除了V外，其他項為半正定。即使矩陣V內(nèi)所有元素大于零(vij≥0)，也不能確定它是半正定。因此，為了繼續(xù)推導，本文提出了一個簡單的引理，如下所示：

(15)

(16)

根據(jù)數(shù)學統(tǒng)計的知識，兩個隨機變量a和b之間的相關(guān)性[24]表示為：

(17)

這意味著協(xié)方差的絕對值小于或等于兩個變量中的最大的方差值。因此，假設Var(a)≥Var(b)，有：

(18)

由此可知，兩個隨機變量中，至少一個變量的方差大于其協(xié)方差。協(xié)方差矩陣是由在對角線上的方差和協(xié)方差組成，這意味著可以始終在協(xié)方差矩陣的對角線位置上找到具有最大值的元素。因此，如果需要矩陣所有元素小于A2，那么只要對角線上元素小于A2即可，即引理2成立。通過使用引理1，最終將原始問題轉(zhuǎn)換為凸問題，如下所示：

(19)

其中：β值表示為

1≤β≤1+min (Pt,MA2)‖h‖2,

(20)

其中：右側(cè)的不等式基于瑞利商。目標函數(shù)對于某個β變?yōu)橐粋€凸函數(shù)，而原問題變成一個基于β的半正定規(guī)劃問題，并且可以通過CVX工具箱進行求解。通過在β取值范圍上執(zhí)行一維線性搜索，可以獲得使目標函數(shù)最大的β*值，從而求出最大保密速率R*，使用如下公式：

(21)

對于一個特定的β值，問題(19)的復雜度取決于內(nèi)點法的復雜度，而內(nèi)點法的復雜度取決于變量和線性約束的數(shù)量。因此，在最壞的情況下求解一個SDP問題的復雜度是Ο(((2+K+M)4)0.5)，其中，2+K+M是式(19)中的約束條件個數(shù)。

3 仿真結(jié)果

使用仿真結(jié)果來分析所提出的AN輔助方法在室內(nèi)VLC系統(tǒng)中的安全性能。LED陣列均勻朝下懸掛在天花板上，合法用戶和竊聽者面朝上放置在同一高度。合法用戶和竊聽者的位置均在房間內(nèi)隨機生成。仿真參數(shù)見表1。

表1 仿真參數(shù)

在仿真中，本文將所提出的最優(yōu)AN輔助方法分別與基于各向同性AN輔助方法和無AN輔助方法進行了比較。在基于各向同性AN輔助方法中，AN協(xié)方差的結(jié)構(gòu)由下式給出[7]：

(22)

圖1 保密速率與總功率的關(guān)系

圖1為保密速率與總功率的關(guān)系。圖1在繪制了兩種情況下相對于總功率的保密速率，即一個竊聽者(K=1)和多個竊聽者(K=3)。在單竊聽者情況下，AN輔助方法的性能與無AN輔助方法相同，這表明在只有一個竊聽者的情況下，使用人工噪聲對該系統(tǒng)的保密速率沒有明顯幫助。但是，對于多個竊聽者(K=3)的情況，所提出的AN輔助方法的保密速率明顯優(yōu)于其他方案，并且隨著總功率的增加，它們的性能差距會逐漸增大。圖2為保密速率與竊聽者數(shù)量的關(guān)系。由圖2可知：隨著竊聽者數(shù)量的增加，所提出最優(yōu)AN輔助方法和基于各向同性AN輔助方法的性能同時下降，這是因為更多的功率需要用于干擾竊聽者的傳輸。無AN輔助方法的性能急劇下降，因為在沒有任何人工噪聲干擾的情況下，具有良好信道狀態(tài)的竊聽者可輕松竊聽機密信息。此外，本文提出的AN輔助方法比其他方法具有更好的性能，并且隨著竊聽者數(shù)量的增加，性能首先趨于平穩(wěn)。圖3為保密速率與LED陣列數(shù)量的關(guān)系。由圖3可知：安全性能隨LED陣列數(shù)量的增加而增加，這是因為合法用戶獲得了更多的陣列增益以提高其自身的安全性能。當LED陣列數(shù)量增加，無AN輔助方法的保密速率提高并接近AN輔助方法的保密速率。這意味著如果有足夠大的自由度(degree of freedom, DoF)，系統(tǒng)僅需要使用很少或不需要AN來改善安全性能。

圖2 保密速率與竊聽者數(shù)量的關(guān)系

4 結(jié)論

本文針對保密速率最大化問題，在配備有多個光敏二極管的多竊聽者的MISO-VLC系統(tǒng)中，設計了一種基于人工噪聲的最優(yōu)傳輸方法。為了求解保密信息協(xié)方差和噪聲協(xié)方差的最佳功率分配方案，本文提出了一種將原始SRM問題轉(zhuǎn)換為凸問題的方法，并使用一維搜索對該凸問題進行求解。通過推導該問題的KKT條件，證明了波束成形是保護保密信息的最佳方法。此外，某些參數(shù)會對安全性能產(chǎn)生巨大影響，例如，LED陣列的數(shù)量和總功率，而其他參數(shù)則以較小的方式影響安全性能。最后，有兩種情況可能不需要AN來增強傳輸保密性，即只存在一個竊聽者的VLC系統(tǒng)，或是該系統(tǒng)具有較多的LED陣列數(shù)量，且遠超過竊聽者的自由度。