張四保

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 喀什 844008)

Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中一個(gè)重要的函數(shù)[1-2]，其性質(zhì)在數(shù)論中占有非常重要的地位.包含Euler函數(shù)φ(n)的方程的研究?jī)?nèi)容眾多，文獻(xiàn)[3-6]討論了形如φ(x1x2…xn)=k1φ(x1)+k2φ(x2)+…+knφ(xn)的線性方程整數(shù)解問(wèn)題；文獻(xiàn)[7-10]討論了形如φ(x1x2…xn)=k1φ(x1)+k2φ(x2)+…+knφ(xn)+b的非線性方程整數(shù)解問(wèn)題．文獻(xiàn)[11]給出了三元變系數(shù)混合型方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+6φ(c)的全部95組正整數(shù)解；文獻(xiàn)[12]給出了混合型方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+8φ(c)的全部95組正整數(shù)解.本文將討論關(guān)于Euler函數(shù)φ(n)的一個(gè)四元變系數(shù)混合方程

φ(xyzw)=3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(w)

(1)

的正整數(shù)解，利用Euler函數(shù)φ(n)的計(jì)算公式以及初等方法給出了其一切正整數(shù)解．

1 定理及其證明

定理1方程(1)共有372組正整數(shù)解，并且其滿足x≤y，z≤w的93組正整數(shù)解如下：(x，y，z，w)=(1，7，1，19)，(1，7，1，27)，(1，7，1，38)，(1，7，1，54)，(1，7，2，19)，(1，7，2，27)，(1，9，1，19)，(1，9，1，38)，(1，9，2，19)，(1，14，1，19)，(1，14，1，27)，(1，18，1，19)，(2，7，1，19)，(2，7，1，27)，(2，9，1，19)，(1，15，1，16)，(1，16，1，15)，(3，5，1，16)，(1，16，3，5)，(1，11，1，7)，(1，11，1，9)，(1，11，1，14)，(1，11，1，18)，(1，11，2，7)，(1，11，2，9)，(1，22，1，7)，(1，22，1，9)，(2，11，1，7)，(2，11，1，9)，(1，25，1，8)，(1，25，1，12)，(1，33，1，5)，(1，33，1，8)，(1，33，1，10)，(1，33，2，5)，(1，44，1，5)，(1，66，1，5)，(2，33，1，5)，(1，25，3，4)，(3，11，1，5)，(3，11，1，8)，(3，11，1，10)，(3，11，2，5)，(3，22，1，5)，(4，11，1，5)，(1，5，2，8)，(1，5，2，12)，(1，8，1，8)，(1，8，1，10)，(1，8，1，12)，(1，8，2，5)，(1，10，1，8)，(1，10，1，12)，(1，12，1，8)，(1，12，1，10)，(1，12，2，5)，(2，5，1，8)，(2，5，1，12)，(2，8，1，5)，(2，12，1，5)，(1，5，4，4)，(1，5，4，6)，(1，8，3，4)，(1，10，3，4)，(2，5，3，4)，(3，4，1，8)，(3，4，1，10)，(3，4，2，5)，(4，4，1，5)，(4，6，1，5)，(1，11，2，4)，(1，11，2，6)，(1，22，1，4)，(1，22，1，6)，(1，22，2，3)，(2，11，1，4)，(2，11，1，6)，(2，11，2，3)，(2，22，1，3)，(1，3，2，18)，(1，6，1，18)，(1，6，2，9)，(2，3，1，18)，(2，3，2，9)，(2，6，1，9)，(1，4，2，4)，(1，4，2，6)，(1，6，2，4)，(2，3，2，4)，(2，4，1，4)，(2，4，1，6)，(2，4，2，3)，(2，6，1，4)．

證明由于n≥φ(n)，則有

3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(w))≤

8φ(x)φ(y)φ(z)φ(w)，

進(jìn)而有

F(x，y，z，w)=

說(shuō)明由于當(dāng)n≥3時(shí)，有φ(n)為偶數(shù)，因而下文在討論的過(guò)程中，若φ(x)φ(y)或φ(z)φ(w)為大于1的奇數(shù)的情況都不予考慮．

情況1當(dāng)F(x，y，z，w)=1時(shí).

此時(shí)，有(xy，zw)=1，(x，y)=(z，w)=1，由方程(1)有φ(x)φ(y)φ(z)φ(w)=3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(w)，則有

因而有φ(x)φ(y)=6，φ(z)φ(w)=18；φ(x)φ(y)=8，φ(z)φ(w)=8；φ(x)φ(y)=10，φ(z)φ(w)=6；φ(x)φ(y)=20，φ(z)φ(w)=4．

情況1.1當(dāng)φ(x)φ(y)=6，φ(z)φ(w)=18時(shí)，有φ(x)=1，φ(y)=6，φ(z)=1，φ(w)=18；φ(x)=1，φ(y)=6，φ(z)=18，φ(w)=1；φ(x)=6，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=18；φ(x)=6，φ(y)=1，φ(z)=18，φ(w)=1．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=6，φ(z)=1，φ(w)=18，此時(shí)有x=1，2，y=7，9，14，18，z=1，2，w=19，27，38，54，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，7，1，19)，(1，7，1，27)，(1，7，1，38)，(1，7，1，54)，(1，7，2，19)，(1，7，2，27)，(1，9，1，19)，(1，9，1，38)，(1，9，2，19)，(1，14，1，19)，(1，14，1，27)，(1，18，1，19)，(2，7，1，19)，(2，7，1，27)，(2，9，1，19)．

在方程(1)中，x與y具有對(duì)稱性，z與w具有對(duì)稱性，由對(duì)稱性可知當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=6，φ(z)=18，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，7，19，1)，(1，7，27，1)，(1，7，38，1)，(1，7，54，1)，(1，7，19，2)，(1，7，27，2)，(1，9，19，1)，(1，9，38，1)，(1，9，19，2)，(1，14，19，1)，(1，14，27，1)，(1，18，19，1)，(2，7，19，1)，(2，7，27，1)，(2，9，19，1)；當(dāng)φ(x)=6，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=18時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(7，1，1，19)，(7，1，1，27)，(7，1，1，38)，(7，1，1，54)，(7，1，2，19)，(7，1，2，27)，(9，1，1，19)，(9，1，1，38)，(9，1，2，19)，(14，1，1，19)，(14，1，1，27)，(18，1，1，19)，(7，2，1，19)，(7，2，1，27)，(9，2，1，19)；當(dāng)φ(x)=6，φ(y)=1，φ(z)=18，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(7，1，19，1)，(7，1，27，1)，(7，1，38，1)，(7，1，54，1)，(7，1，19，2)，(7，1，27，2)，(9，1，19，1)，(9，1，38，1)，(9，1，19，2)，(14，1，19，1)，(14，1，27，1)，(18，1，19，1)，(7，2，19，1)，(7，2，27，1)，(9，2，19，1)．

情況1.2當(dāng)φ(x)φ(y)=8，φ(z)φ(w)=8時(shí)，有φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=1，φ(w)=8；φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=8，φ(w)=1；φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=8；φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=8，φ(w)=1；φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=1，φ(w)=8；φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=8，φ(w)=1；φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=8；φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=8，φ(w)=1；φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=2，φ(w)=4；φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=4，φ(w)=2；φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=4；φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=2；φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=2，φ(w)=4；φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=4，φ(w)=2；φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=4；φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=2．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=1，φ(w)=8時(shí)，有x=1，2，y=w=15，16，20，24，30，z=1，2，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，15，1，16)，(1，16，1，15).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=8，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，15，16，1)，(1，16，15，1)；當(dāng)φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=8時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(15，1，1，16)，(16，1，1，15)；當(dāng)φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=8，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(15，1，16，1)，(16，1，15，1)．

當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=1，φ(w)=8時(shí)，有x=3，4，6，y=5，8，10，12，z=1，2，w=15，16，20，24，30，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，5，1，16).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=8，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，5，16，1)；當(dāng)φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=8時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，3，1，16)；當(dāng)φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=8，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，3，16，1)．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=2，φ(w)=4時(shí)，有x=1，2，y=15，16，20，24，30，z=3，4，6，w=5，8，10，12，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，16，3，5).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=8，φ(z)=4，φ(w)=2時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，16，5，3)；當(dāng)φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=4時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(16，1，3，5)；當(dāng)φ(x)=8，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=2時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(16，1，5，3)；

當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=2，φ(w)=4時(shí)，有x=z=3，4，6，y=w=5，8，10，12，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=4，φ(z)=4，φ(w)=2與φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=4與φ(x)=4，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=2時(shí)，方程(1)無(wú)正整數(shù)解．

情況1.3當(dāng)φ(x)φ(y)=10，φ(z)φ(w)=6時(shí)，有φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=6；φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=6，φ(w)=1；φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=6；φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=6，φ(w)=1．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=6時(shí)，有x=1，2，y=11，22，z=1，2，w=7，9，14，18，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，11，1，7)，(1，11，1，9)，(1，11，1，14)，(1，11，1，18)，(1，11，2，7)，(1，11，2，9)，(1，22，1，7)，(1，22，1，9)，(2，11，1，7)，(2，11，1，9).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=6，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，11，7，1)，(1，11，9，1)，(1，11，14，1)，(1，11，18，1)，(1，11，7，2)，(1，11，9，2)，(1，22，7，1)，(1，22，9，1)，(2，11，7，1)，(2，11，9，1)；當(dāng)φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=6時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，1，1，7)，(11，1，1，9)，(11，1，1，14)，(11，1，1，18)，(11，1，2，7)，(11，1，2，9)，(22，1，1，7)，(22，1，1，9)，(11，2，1，7)，(11，2，1，9)；當(dāng)φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=6，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，1，7，1)，(11，1，9，1)，(11，1，14，1)，(11，1，18，1)，(11，1，7，2)，(11，1，9，2)，(22，1，7，1)，(22，1，9，1)，(11，2，7，1)，(11，2，9，1)．

情況1.4當(dāng)φ(x)φ(y)=20，φ(z)φ(w)=4時(shí)，有φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=2．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=1，φ(w)=4時(shí)，有x=1，2，y=25，33，44，50，66，z=1，2，w=5，8，10，12，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，25，1，8)，(1，25，1，12)，(1，33，1，5)，(1，33，1，8)，(1，33，1，10)，(1，33，2，5)，(1，44，1，5)，(1，66，1，5)，(2，33，1，5).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=4，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，25，8，1)，(1，25，12，1)，(1，33，5，1)，(1，33，8，1)，(1，33，10，1)，(1，33，5，2)，(1，44，5，1)，(1，66，5，1)，(2，33，5，1)；當(dāng)φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=4時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(25，1，1，8)，(25，1，1，12)，(33，1，1，5)，(33，1，1，8)，(33，1，1，10)，(33，1，2，5)，(44，1，1，5)，(66，1，1，5)，(33，2，1，5)；當(dāng)φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(25，1，8，1)，(25，1，12，1)，(33，1，5，1)，(33，1，8，1)，(33，1，10，1)，(33，1，5，2)，(44，1，5，1)，(66，1，5，1)，(33，2，5，1)．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=20，φ(z)=2，φ(w)=2時(shí)，有x=1，2，y=25，33，44，50，66，z=w=3，4，6，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，25，3，4)，(1，25，4，3).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=20，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=2時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(25，1，3，4)，(25，1，4，3)．

當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=4時(shí)，有x=3，4，6，y=11，22，z=1，2，w=5，8，10，12，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，11，1，5)，(3，11，1，8)，(3，11，1，10)，(3，11，2，5)，(3，22，1，5)，(4，11，1，5)，(6，11，1，5).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=4，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，11，5，1)，(3，11，8，1)，(3，11，10，1)，(3，11，5，2)，(3，22，5，1)，(4，11，5，1)，(6，11，5，1)；當(dāng)φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=4時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，3，1，5)，(11，3，1，8)，(11，3，1，10)，(11，3，2，5)，(22，3，1，5)，(11，4，1，5)，(11，6，1，5)；當(dāng)φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，3，5，1)，(11，3，8，1)，(11，3，10，1)，(11，3，5，2)，(22，3，5，1)，(11，4，5，1)，(11，6，5，1)．

當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=10，φ(z)=2，φ(w)=2時(shí)，有x=z=w=3，4，6，y=11，22，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解解.由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=10，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=2時(shí)，方程(1)無(wú)正整數(shù)解．

情況2當(dāng)F(x，y，z，w)=2時(shí).

情況2.1當(dāng)φ(x)φ(y)=4，φ(z)φ(w)=4時(shí)，有φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=2；φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=4；φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=1；φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=2．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=1，φ(w)=4時(shí)，有x=z=1，2，y=w=5，8，10，12，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，5，2，8)，(1，5，2，12)，(1，8，1，8)，(1，8，1，10)，(1，8，1，12)，(1，8，2，5)，(1，10，1，8)，(1，10，1，12)，(1，12，1，8)，(1，12，1，10)，(1，12，2，5)，(2，5，1，8)，(2，5，1，12)，(2，8，1，5)，(2，12，1，5).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=4，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，5，8，2)，(1，5，12，2)，(1，8，8，1)，(1，8，10，1)，(1，8，12，1)，(1，8，5，2)，(1，10，8，1)，(1，10，12，1)，(1，12，8，1)，(1，12，10，1)，(1，12，5，2)，(2，5，8，1)，(2，5，12，1)，(2，8，5，1)，(2，12，5，1)；當(dāng)φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=4時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，1，2，8)，(5，1，2，12)，(8，1，1，8)，(8，1，1，10)，(8，1，1，12)，(8，1，2，5)，(10，1，1，8)，(10，1，1，12)，(12，1，1，8)，(12，1，1，10)，(12，1，2，5)，(5，2，1，8)，(5，2，1，12)，(8，2，1，5)，(12，2，1，5)；當(dāng)φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=4，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，1，8，2)，(5，1，12，2)，(8，1，8，1)，(8，1，10，1)，(8，1，12，1)，(8，1，5，2)，(10，1，8，1)，(10，1，12，1)，(12，1，8，1)，(12，1，10，1)，(12，1，5，2)，(5，2，8，1)，(5，2，12，1)，(8，2，5，1)，(12，2，5，1)．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=4，φ(z)=2，φ(w)=2時(shí)，有x=1，2，y=5，8，10，12，z=w=3，4，6，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，5，4，4)，(1，5，4，6)，(1，5，6，4)，(1，8，3，4)，(1，8，4，3)，(1，10，3，4)，(1，10，4，3)，(2，5，3，4)，(2，5，4，3).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=4，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=2時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(5，1，4，4)，(5，1，4，6)，(5，1，6，4)，(8，1，3，4)，(8，1，4，3)，(10，1，3，4)，(10，1，4，3)，(5，2，3，4)，(5，2，4，3)．

當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=4時(shí)，有x=y=3，4，6，z=1，2，w=5，8，10，12，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，4，1，8)，(3，4，1，10)，(3，4，2，5)，(4，3，1，8)，(4，3，1，10)，(4，3，2，5)，(4，4，1，5)，(4，6，1，5)，(6，4，1，5).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=4，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，4，8，1)，(3，4，10，1)，(3，4，5，2)，(4，3，8，1)，(4，3，10，1)，(4，3，5，2)，(4，4，5，1)，(4，6，5，1)，(6，4，5，1)．

當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=2時(shí)，有x=y=z=w=3，4，6，此時(shí)方程(1)無(wú)解．

情況2.2當(dāng)φ(x)φ(y)=10，φ(z)φ(w)=2時(shí)，有φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=2；φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=2，φ(w)=1；φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=2；φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=1．

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=1，φ(w)=2時(shí)，有x=z=1，2，y=11，22，w=3，4，6，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，11，2，4)，(1，11，2，6)，(1，22，1，4)，(1，22，1，6)，(1，22，2，3)，(2，11，1，4)，(2，11，1，6)，(2，11，2，3)，(2，22，1，3).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=10，φ(z)=2，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，11，4，2)，(1，11，6，2)，(1，22，4，1)，(1，22，6，1)，(1，22，3，2)，(2，11，4，1)，(2，11，6，1)，(2，11，3，2)，(2，22，3，1)；當(dāng)φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=2時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，1，2，4)，(11，1，2，6)，(22，1，1，4)，(22，1，1，6)，(22，1，2，3)，(11，2，1，4)，(11，2，1，6)，(11，2，2，3)，(22，2，1，3)；當(dāng)φ(x)=10，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(11，1，4，2)，(11，1，6，2)，(22，1，4，1)，(22，1，6，1)，(22，1，3，2)，(11，2，4，1)，(11，2，6，1)，(11，2，3，2)，(22，2，3，1)．

情況3當(dāng)F(x，y，z，w)=3時(shí).

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=6時(shí)，有x=z=1，2，y=3，4，6，w=7，9，14，18，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，3，2，18)，(1，6，1，18)，(1，6，2，9)，(2，3，1，18)，(2，3，2，9)，(2，6，1，9).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=2，φ(z)=6，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，3，18，2)，(1，6，18，1)，(1，6，9，2)，(2，3，18，1)，(2，3，9，2)，(2，6，9，1)；當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=6時(shí),方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，1，2，18)，(6，1，1，18)，(6，1，2，9)，(3，2，1，18)，(3，2，2，9)，(6，2，1，9)；當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=1，φ(z)=6，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(3，1，18，2)，(6，1，18，1)，(6，1，9，2)，(3，2，18，1)，(3，2，9，2)，(6，2，9，1)．

情況4當(dāng)F(x，y，z，w)=4時(shí).

當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=2，φ(z)=1，φ(w)=2時(shí)，有x=z=1，2，y=w=3，4，6，此時(shí)方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，4，2，4)，(1，4，2，6)，(1，6，2，4)，(2，3，2，4)，(2，4，1，4)，(2，4，1，6)，(2，4，2，3)，(2，6，1，4).由對(duì)稱性可得當(dāng)φ(x)=1，φ(y)=2，φ(z)=2，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(1，4，4，2)，(1，4，6，2)，(1，6，4，2)，(2，3，4，2)，(2，4，4，1)，(2，4，6，1)，(2，4，3，2)，(2，6，4，1)；當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=1，φ(z)=1，φ(w)=2時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(4，1，2，4)，(4，1，2，6)，(6，1，2，4)，(3，2，2，4)，(4，2，1，4)，(4，2，1，6)，(4，2，2，3)，(6，2，1，4)；當(dāng)φ(x)=2，φ(y)=1，φ(z)=2，φ(w)=1時(shí)，方程(1)有解(x，y，z，w)=(4，1，4，2)，(4，1，6，2)，(6，1，4，2)，(3，2，4，2)，(4，2，4，1)，(4，2，6，1)，(4，2，3，2)，(6，2，4，1)．

情況5當(dāng)F(x，y，z，w)=5時(shí).

情況6當(dāng)F(x，y，z，w)=6時(shí).

情況7當(dāng)F(x，y，z，w)=7時(shí).

情況8當(dāng)F(x，y，z，w)=8時(shí).

綜合以上所有討論的情況，可得定理1.證畢．

2 結(jié)語(yǔ)

本文討論了形如

φ(x1x2…xn)=k1φ(x1)φ(x2)…krφ(xr)+

k2φ(xr+1)φ(xr+2)…φ(xn)

的變系數(shù)方程的一個(gè)具體的四元變系數(shù)方程φ(xyzw)=3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(w)的正整數(shù)解，得到了該方程有372組正整數(shù)解.對(duì)于形如

φ(x1x2…xn)=k1φ(x1)φ(x2)…krφ(xr)+

k2φ(xr+1)φ(xr+2)…φ(xn)

的方程，當(dāng)n，k1，k2，r為某一組正整數(shù)時(shí)，其所確定的方程亦可采用本文的討論方式進(jìn)行討論求解．