錢 斌 ，鄭楷洪，陳子鵬，肖 勇，李 森，葉純壯，馬千里*

（1.南方電網(wǎng)科學研究院有限責任公司，廣州 510663；2.華南理工大學計算機科學與工程學院，廣州 510006）

0 引言

時間序列在諸多領(lǐng)域都有著豐富的應用［1-3］。然而由于存在噪聲或傳感器故障等原因，現(xiàn)實時間序列不可避免地含有缺失值，這使得現(xiàn)有分析算法的推斷變得尤為困難［4-5］。因此，如何有效地對缺失數(shù)據(jù)進行修復具有重要的現(xiàn)實意義。

傳統(tǒng)的時間序列缺失修復方法有均值替代、移動平均法、空間自回歸、多項式插補、線性插值等［6-8］，但是，傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法無法有效提煉缺失數(shù)據(jù)背后蘊藏的事件信息，這會對缺失修復效果造成一定影響。針對傳統(tǒng)缺失修復方法的不足，文獻［9］提出了基于T2橢圓圖的異常數(shù)據(jù)識別和基于最小二乘支持向量機的缺失修復方法，但該方法以社會經(jīng)濟指標可信為前提條件，無法從時間序列自身挖掘規(guī)律。文獻［10］提出了一種基于遺傳優(yōu)化算法的時間序列缺失修復方法，該方法考慮時間序列的歷史信息，借助遺傳算法優(yōu)化多重插補的參數(shù)，尋找最優(yōu)的修復值；但該方法將時間序列視為線性序列，未考慮時間序列中的非線性，修復效果不佳。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡可以較好地建模數(shù)據(jù)中的非線性特性，可以將其應用于時間序列的缺失修復。文獻［11］提出了自適應BP 神經(jīng)網(wǎng)絡來修復缺失的時間序列，但該方法未對時間序列中的時序依賴關(guān)系進行有效的建模。因此，文獻［12-13］提出了基于長短期記憶（Long Short-Term Memory，LSTM）網(wǎng)絡［14］的缺失修復方法，可以有效建模時間序列的時序依賴信息；但這些方法需要對數(shù)據(jù)進行預處理，無法在含缺失值的情況下進行模型訓練，而且，不恰當?shù)念A處理方法會引入較大偏差，從而誤導模型的訓練過程，影響后續(xù)的缺失修復效果。

針對以上問題，本文提出了基于殘差連接LSTM 網(wǎng)絡的時間序列修復模型，使用長短期記憶網(wǎng)絡對時間序列中的時序依賴關(guān)系以及非線性特性進行建模；并且，在長短期記憶網(wǎng)絡的基礎上，引入殘差連接［15-16］，挖掘缺失數(shù)據(jù)和它們最近的非缺失數(shù)據(jù)的潛在關(guān)聯(lián)性，引入殘差連接的具體做法是構(gòu)建一種殘差和單元（Residual Sum Unit，RSU），可以有效聚合歷史信息。本文同時考慮了單變量輸入和多變量輸入的情況，并且，本文的方法無需對缺失數(shù)據(jù)進行預填補，可以直接在含缺失值的情況下進行模型訓練。實驗證明，與現(xiàn)有最先進的方法相比，基于殘差連接LSTM 網(wǎng)絡的時間序列修復模型可以取得較好的缺失修復效果。本文的主要貢獻如下：

1）本文提出了基于殘差連接LSTM 網(wǎng)絡的時間序列修復模型，使用長短期記憶網(wǎng)絡對時間序列中的時序依賴和非線性特性進行建模，同時構(gòu)建殘差和單元聚合歷史信息，進一步提升缺失修復效果。

2）通過在單變量和多變量數(shù)據(jù)集上定量和定性的實驗分析，本文提出的模型均取得比現(xiàn)有較先進方法更好的缺失值修復效果。此外，本文模型無需進行數(shù)據(jù)預填補，可以直接在含缺失值的情況下進行訓練。

1 長短期記憶網(wǎng)絡

長短期記憶網(wǎng)絡是循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡的一種變體，能建模時序數(shù)據(jù)的時間依賴和非線性特性，是當下對時序數(shù)據(jù)建模的首選模型。長短期記憶網(wǎng)絡由記憶單元組成，通過輸入、輸出和遺忘門來決定流入流出記憶單元的信息多少。長短期記憶網(wǎng)絡記憶單元的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 中：xt是時間步t的輸入數(shù)據(jù)，ht是時間步t長短期記憶網(wǎng)絡的隱藏狀態(tài)，it、ft、ot分別是長短期記憶網(wǎng)絡的輸入門、遺忘門和輸出門，gt是當前加入的信息，ct是記憶單元的信息，σ表示sigmoid 激活函數(shù)，?是逐元素的乘法，⊕是逐元素的加法。

圖1 長短期記憶網(wǎng)絡記憶單元結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of memory unit of LSTM network

給定長度為T的輸入序列x=｛x1，x2，…，xT｝，長短期記憶網(wǎng)絡可以將其編碼為一個隱藏狀態(tài)序列h=｛h1，h2，…，hT｝，其中，xt∈Rn，ht∈Rm，t=1，2，…，T。在時間步t，長短期記憶網(wǎng)絡的計算公式如下：

其中：Wi、Wf、Wo、Wc是由可訓練參數(shù)組成的映射矩陣；bi、bf、bo、bc是偏置項。簡便起見，可以將一個長短期記憶網(wǎng)絡記為函數(shù)FLSTM，在長短期記憶網(wǎng)絡的前向傳播過程中，隱藏狀態(tài)的更新公式為：

2 殘差連接LSTM網(wǎng)絡

2.1 模型構(gòu)建

本文中使用長短期記憶網(wǎng)絡來建模時間序列中的時序依賴和非線性特性，結(jié)合殘差連接進一步挖掘缺失數(shù)據(jù)與最近非缺失數(shù)據(jù)的潛在關(guān)聯(lián)，提高網(wǎng)絡修復能力?；跉埐钸B接LSTM（ReSidual Imputation Long-Short Term Memory，RSILSTM）網(wǎng)絡的時間序列修復模型如圖2所示。

圖2 RSI-LSTM模型結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of RSI-LSTM model

首先，模型輸入是含缺失值的時間序列x=｛x1，x2，…，xT｝，其中，xt∈Rn(t=1，2，…，T)。接著，使用長短期記憶網(wǎng)絡，將輸入序列編碼為一個隱藏狀態(tài)序列h=｛h1，h2，…，hT｝，其中，ht∈Rm(t=1，2，…，T)。特別的，在時間步t，長短期記憶網(wǎng)絡可以將輸入xt，編碼為一個隱藏狀態(tài)ht。

在長短期記憶網(wǎng)絡的基礎上，引入殘差連接的具體做法是構(gòu)建一種殘差和單元，用來聚合長短期記憶網(wǎng)絡的隱藏狀態(tài)和之前時刻的殘差信息，有利于挖掘缺失數(shù)據(jù)和它們最近的非缺失數(shù)據(jù)的潛在關(guān)聯(lián)性，提高網(wǎng)絡修復能力。在時間步t，殘差和rt的計算公式為：

其中：rt∈Rm，ht是時間步t長短期記憶網(wǎng)絡的隱藏狀態(tài)，Wr∈Rm×m是由可訓練參數(shù)組成的映射矩陣，Wrrt-1代表了之前時刻的殘差信息。

2.2 模型訓練

模型訓練的前向傳播分為兩種情況：近似過程和修復過程。如圖2 所示，虛線表示近似過程，實線表示修復過程。如果下一個時刻輸入值xt已知，則使用殘差和rt-1乘以一個映射矩陣Wout得到y(tǒng)t-1，用來近似下一時刻的輸入值xt，目的是利用序列中未缺失的值來指導網(wǎng)絡進行有效學習；如果下一個輸入值xt是缺失值，則用yt-1修復xt。計算公式為：

其中，Wout∈Rn×m是由可訓練參數(shù)組成的映射矩陣，可以把殘差和rt-1映射到維度n，用于近似或修復當前時刻的輸入值xt。根據(jù)當前的輸入是否為缺失值，可以用一個統(tǒng)一的形式ut來表示當前的輸入值：

其中：?是逐元素的乘法，⊕是逐元素的加法，I｛xt｝是逐元素的指示函數(shù)，指示向量xt每個維度是否缺失。因此，如果xt已知，則作為網(wǎng)絡的輸入值；如果xt是缺失值，則使用yt-1修復xt，作為當前時刻網(wǎng)絡的輸入值。在長短期記憶網(wǎng)絡的前向傳播過程中，可以將隱藏狀態(tài)的更新公式重寫為：

并且，在網(wǎng)絡訓練的反向傳播過程中，如果當前時刻的目標值缺失，則該時刻的損失不可定義。因此，時刻t損失函數(shù)的計算方式如下：

其中，I｛xt｝是逐元素的指示函數(shù)，指示向量xt每個維度是否缺失。如果定義上標k表示樣本集合的第k個樣本k=1，2，…，N，總的訓練損失函數(shù)為：

其中：Lreg（||ω||）是對模型所有參數(shù)ω的二范數(shù)正則項；λ是常量，用來調(diào)節(jié)兩個損失函數(shù)的權(quán)重，在實驗中設為1E -4。

2.3 算法流程

1）對原始含缺失值的時間序列進行歸一化處理，將數(shù)據(jù)映射到［0，1］區(qū)間之內(nèi)，得到含缺失值的時間序列x=｛x1，x2，…，xT｝，并按照7∶3的比例將樣本集劃分為訓練集和測試集。

2）將時間序列x逐時刻輸入LSTM，在時間步t-1，LSTM將輸入xt-1編碼為隱藏狀態(tài)ht-1。

3）在時間步t-1，根據(jù)LSTM 的隱藏狀態(tài)ht-1和前一時刻的殘差和rt-2，計算殘差和rt-1。

4）如果下一個時刻輸入值xt已知，則使用殘差和rt-1乘以一個映射矩陣Wout得到y(tǒng)t-1，用來近似下一時刻的輸入值xt；如果下一個輸入值xt是缺失值，則用yt-1修復xt。

5）使用隨時間反向傳播（BackPropagation Through Time，BPTT）算法［17］更新網(wǎng)絡參數(shù)；并且，如果當前時刻的目標值缺失，則該時刻的損失不可定義，不計算該時刻的損失。

6）網(wǎng)絡迭代直到收斂，最后，如果輸入值xt是缺失值，則可以使用上一時刻的預測值yt-1作為xt的修復值，將整條時間序列的缺失值修復完畢，即可得到完整的時間序列。

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

本文采用2016年1月1日到2018年6月30日南方某省的區(qū)域日供電量數(shù)據(jù)，供電量數(shù)據(jù)計量單位為天，因此每個區(qū)域有912 個時間點。隨機抽取10 個區(qū)域的序列數(shù)據(jù)作為樣本集，作為模型在單變量情況下的輸入。

考慮到氣象因素對電力數(shù)據(jù)的影響，本文還采用了2012年1 月1 日到2014 年12 月31 日兩個地區(qū)的電力負荷數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)集來源于第九屆電工數(shù)學建模競賽A 題，除了地區(qū)電力負荷數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)集還提供每日的最高溫度、最低溫度、平均溫度、相對濕度和降雨量5 個氣象因素數(shù)據(jù)。本文分別抽取每日的6：00、12：00 和18：00 作為原始數(shù)據(jù)，因此總的樣本集有6個，分別記為Electric1～Electric6，每個樣本集中包含1 096個時間點，每個時間點的數(shù)據(jù)為一個6 維的向量，包含電力負荷數(shù)據(jù)以及5 個氣象因素數(shù)據(jù)，作為模型在多變量情況下的輸入。

同時，本文還使用了兩個通用的時間序列數(shù)據(jù)集Libras和Character Trajectories，數(shù)據(jù)來源于UCI 庫［18］，以進一步地進行多變量情況下的模型效果驗證。

對于每一個數(shù)據(jù)集的時間序列，本文取前70%的序列作為訓練集，后30%作為測試集。接著，為了處理輸入不同量綱的問題，需要對原始的序列s=｛s1，s2，…，sT｝進行歸一化：

其中：xt∈Rn，st∈Rn(t=1，2，…，T)，smax和smin分別表示時間序列的最大值和最小值。并且，對于現(xiàn)實缺失數(shù)據(jù)，無法獲得對應的真實值來進行算法的性能評估。因此，在完整的時間序列的基礎上，以一定的缺失率構(gòu)造含有缺失值的數(shù)據(jù)。將缺失率設置為10%，讓完整的序列數(shù)據(jù)按10%的概率隨機缺失，構(gòu)造出含有缺失值的時間序列，作為模型的輸入；同時，缺失值對應的真實值將被用于評估修復算法的性能。

3.2 算例設置

本文同時考慮了單變量輸入和多變量輸入兩種情況。在單變量的情況中，使用南方某省的區(qū)域日供電量序列作為模型輸入。在多變量的情況中，使用了兩個地區(qū)的電力負荷數(shù)據(jù)，結(jié)合氣象數(shù)據(jù)作為模型的多變量輸入；同時，本文還使用了兩個通用的時間序列數(shù)據(jù)集（http：//archive.ics.uci.edu/ml）來輔助進行多變量情況下的模型效果驗證。本文采用均方誤差（Mean Squared Error，MSE）作為評價指標：

其中：n代表序列中缺失值的數(shù)量分別代表第i個缺失值對應的真實值和修復值。

對于區(qū)域日供電量數(shù)據(jù)集，模型的輸入是單變量的，因而將所提出模型（RSI-LSTM）與常用的單變量缺失修復方法進行對比，對比方法包括卡爾曼（Kalman）濾波［19］、線性插值（Interpolation）［20］、移動平均（Moving Average，MA）［21］和基線模型長短期記憶（LSTM）網(wǎng)絡。同時，也將所提出模型與兩種先進的缺失修復方法進行對比，分別是生成對抗填補網(wǎng)絡（Generative Adversarial Imputation Net，GAIN）［22］和雙向循環(huán)填補（Bidirectional Recurrent Imputation for Time Series，BRITS）［23］。表1是上述方法的數(shù)據(jù)缺失修復結(jié)果。

從表1 中可以看出，RSI-LSTM 的修復性能優(yōu)于GAIN、BRITS［23］、Kalman濾波［19］、Interpolation［20］和MA［21］，表現(xiàn)為均方誤差的總體降低，這說明了RSI-LSTM可以更好地建模時間序列的信息，修復缺失的時間序列。同時，RSI-LSTM 相比基線模型LSTM，修復誤差有一定的降低，進一步證明了引入殘差連接的有效性，因為引入殘差連接有利于挖掘缺失數(shù)據(jù)和它們最近的非缺失數(shù)據(jù)的潛在關(guān)聯(lián)性，提高網(wǎng)絡的缺失修復能力。

表1 單變量數(shù)據(jù)集上修復誤差（MSE）對比Tab.1 Comparison of imputation error（MSE）on univariate time series datasets

對于地區(qū)電力負荷數(shù)據(jù)集以及兩個時間序列數(shù)據(jù)集，輸入是多變量的。因此，本文將RSI-LSTM 與4 種近年來最先進的修復方法GAIN［22］、BRITS［23］、基于傅里葉的延遲k最近鄰算法（Fourier-based Laggedk-Nearest Neighbor，F(xiàn)Lk-NN）［24］以及動態(tài)缺失值的挖掘（Dynamics mining with missing values，DynaMMo）算法［25］進行了對比實驗，這些方法描述如下。

1）GAIN。使用生成對抗網(wǎng)絡來進行缺失修復，并提出一種提示向量來輔助模型訓練，但訓練數(shù)據(jù)較少時訓練困難。

2）BRITS。該方法使用雙向循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡來進行時間序列的缺失值修復，但在連續(xù)缺失的情況下效果較差。

3）FLk-NN。結(jié)合滯后的k最近鄰方法和傅立葉變換的集成方法，該方法較為復雜，需要大量的人工選擇的超參數(shù)。

4）DynaMMo。該方法基于期望最大化方法和卡爾曼濾波。它在存在缺失值的情況下學習線性動力學系統(tǒng)，并對缺失值進行估計。該方法假設時間序列具有潛在的線性動力學特性，然而時間序列更多地表現(xiàn)為非線性。

表2 是上述模型的修復結(jié)果?？梢钥闯觯琑SI-LSTM 的修復性能明顯優(yōu)于GAIN、BRITS、FLk-NN 以及DynaMMo，修復效果相比這幾種方法有較大的提升。通過與這4 種近年來最先進的方法作對比，RSI-LSTM 可以取得當前最好的結(jié)果；同時，相比基線模型LSTM，RSI-LSTM 的修復效果也有一定的提升，驗證了所提出模型的有效性。

表2 多變量數(shù)據(jù)上修復誤差（MSE）對比Tab.2 Comparison of imputation error（MSE）on multivariate time series datasets

更進一步地，本文隨機抽取其中1 個區(qū)域的電力負荷數(shù)據(jù)序列，使用上述各種多變量缺失修復方法對其進行修復，并計算數(shù)據(jù)序列中缺失時間點的修復值和真實值的絕對誤差，絕對誤差在0 附近波動，偏離0 越遠，說明誤差越大。結(jié)果如圖3所示。由圖3可以看出，對于電力負荷數(shù)據(jù)序列絕大多數(shù)的缺失時間點，RSI-LSTM 相比其他方法，可以取得更好的修復效果。具體地，本文模型的誤差曲線相較其他對比方法更為平滑，在0附近波動較小。

為了能更直觀地展示缺失值修復效果，隨機抽取1 個區(qū)域的日供電量序列，畫出上述各種單變量缺失修復方法的修復結(jié)果（由于Interpolation 效果較差，在此不做可視化）。如圖4 所示，對于絕大多數(shù)的缺失時間點，RSI-LSTM 相比其他方法，可以取得較好的修復效果，修復值大多和原始的時間序列重合；而相比基線模型LSTM，RSI-LSTM 在峰值處可以取得較好的效果。因為殘差和單元可以更好地挖掘缺失數(shù)據(jù)和它們最近的非缺失數(shù)據(jù)的潛在關(guān)聯(lián)性，提高網(wǎng)絡的修復能力。

圖3 不同模型的絕對誤差對比Fig.3 Absolute error comparison of different models

圖4 不同模型的修復結(jié)果對比Fig.4 Imputation results comparison of different models

4 結(jié)語

1）RSI-LSTM 使用長短期記憶網(wǎng)絡對時間序列中的時間依賴和非線性特性進行建模，并且引入殘差連接，挖掘缺失數(shù)據(jù)和它們最近的非缺失數(shù)據(jù)的潛在關(guān)聯(lián)性；同時，該模型可以直接在含缺失值的情況下進行模型訓練。

2）本文同時考慮了單變量輸入和多變量輸入兩種情況，實驗結(jié)果證明了該模型對時間序列缺失修復的有效性。

3）目前RSI-LSTM 只是應用于時間序列的缺失值修復上，以后的研究工作中，將考慮將該模型擴展到含缺失數(shù)據(jù)的時間序列預測或分類等問題。