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        滲透模型思想 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

        2021-01-20 23:20:19顏小兵
        關(guān)鍵詞:飲馬軸對(duì)稱將軍

        顏小兵

        一、設(shè)計(jì)背景

        中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是初中生進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)的最后一環(huán)。作為一線教師,我們要努力讓學(xué)生將知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化,提高學(xué)生的思維水平和認(rèn)知能力。本節(jié)課選取的課例是中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課“將軍飲馬問題及其拓展”。該問題模型建構(gòu)、思考過程簡(jiǎn)單巧妙,與其他相關(guān)知識(shí)結(jié)合后有許多妙用,貫穿初中數(shù)學(xué)始終,是一節(jié)具有很強(qiáng)代表性的復(fù)習(xí)課。

        二、教學(xué)目標(biāo)

        讓學(xué)生了解“將軍飲馬”問題模型并理解模型的本質(zhì);挖掘幾何圖形中的隱含條件,歸納總結(jié)“兩定一動(dòng)”類型的題目特點(diǎn)并轉(zhuǎn)化;培養(yǎng)學(xué)生建模和轉(zhuǎn)化問題的能力,發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。

        三、教學(xué)過程

        1.引入情境,解析模型。

        問題1:古希臘一位將軍要從A地出發(fā)到河邊MN處飲馬,然后再回到駐地B。問該將軍怎樣選擇飲馬地點(diǎn),才能使路程最短?

        可在河邊飲馬的地點(diǎn)有許多處,現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和最短的那個(gè)點(diǎn)。教師要引導(dǎo)學(xué)生做輔助線(如圖1)。

        2.觀察探究,合作交流。

        問題2:如圖2,在等邊△ABC中,AB=6,AD⊥BC,E是AC上的一點(diǎn),M是AD上的一點(diǎn),若AE=2,求EM+EC的最小值。

        本題是“將軍飲馬”問題模型在等邊三角形中的特殊運(yùn)用。等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,底邊上的高與底邊上的中線互相重合。任意一條邊上的高都是這條邊的垂直平分線,都是等邊三角形的對(duì)稱軸。這里要提醒學(xué)生借助圖形的對(duì)稱性,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”找到動(dòng)點(diǎn)位置,再結(jié)合勾股定理求出最小值。

        師:剛才同學(xué)們是利用“等邊三角形是軸對(duì)稱圖形”這一特征,直接找出對(duì)稱點(diǎn),將最值問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的問題。下面請(qǐng)看問題3,在正方形中是否也能夠借助模型求最值呢?

        問題3:如圖3,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在BC邊上,BE=2,CE=1,點(diǎn)P在BD上,求PE+PC的最小值。

        本題是“將軍飲馬”問題模型在正方形中的特殊運(yùn)用。這里仍然要提醒學(xué)生,借助特殊圖形的對(duì)稱性進(jìn)行證明。

        師:同學(xué)們,圓是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱軸是直徑所在的直線。在問題4中,求兩條線段之和的最小值,能否根據(jù)圓的對(duì)稱性,聯(lián)想到“將軍飲馬”問題模型去解決呢?

        問題4:如圖4,AB是⊙O的直徑,AB=4,點(diǎn)C是半圓的三等分點(diǎn),點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn),AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接PC、PD,則PC+PD的最小值是多少?并畫出點(diǎn)P的位置。

        本題是“將軍飲馬”問題模型在圓中的特殊運(yùn)用。教師要提醒學(xué)生緊緊抓住圓既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形的特征。只要抓住模型的本質(zhì)特征,借助對(duì)稱性,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,找到動(dòng)點(diǎn)的位置并不困難。

        3.變式提升,拓展創(chuàng)新。

        師:同學(xué)們,以上3個(gè)問題都是借助“將軍飲馬”問題模型,根據(jù)等邊三角形、正方形、圓的軸對(duì)稱性求解的。下面我們來看一下,在二次函數(shù)以及平面直角坐標(biāo)系中,如何聯(lián)想到“將軍飲馬”問題模型求線段和的最小值。

        問題5:如圖5,拋物線y=ax2+c經(jīng)過A(0,1),P(2[3],-3)。(1)求表達(dá)式并判定C([3],0)是否在此拋物線上;(2)若M是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),連接MP、MC,試求△PCM周長(zhǎng)的最小值。

        問題6:如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)為2的線段CD(點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè))在x軸上移動(dòng),A(0,2),B(0,4),連接AC、BD,求AC+BD的最小值。

        4.聯(lián)系實(shí)際,綜合運(yùn)用。

        師:數(shù)學(xué)來源于生活,生活中的許多實(shí)踐活動(dòng)都與數(shù)學(xué)有關(guān)。譬如,在一個(gè)圓柱體上,如何求小蟲爬行的最短路徑呢?

        問題7:如圖7,桌上有一圓柱形玻璃杯,高12cm,底面周長(zhǎng)18cm,在杯內(nèi)壁離杯口3cm的A處有一滴蜜糖,一條小蟲從桌上爬至杯子外壁,當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3cm的B處時(shí)(即A、B在底面的射影的連線經(jīng)過底面的圓心O),突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。小蟲怎樣爬,到蜜糖的路程最短?

        這是一道將“將軍飲馬”模型應(yīng)用到實(shí)際生活的典型問題。在講解過程中,教師可以將立體圖形展開成平面圖形,引導(dǎo)學(xué)生看清題目的本質(zhì),利用建模思想解決問題。

        四、教學(xué)反思

        典型的“將軍飲馬”問題屬于“一動(dòng)兩定”型問題,其本質(zhì)就是將同側(cè)兩折線段之和,通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩折線段之和。它與三角形、四邊形、圓、函數(shù)及實(shí)際生活緊密聯(lián)系在一起,雖然每個(gè)題目的呈現(xiàn)形式不同,但解決問題的本質(zhì)方法不變,往往需要通過作輔助線,將問題轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問題,最后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的基本事實(shí)解決。本節(jié)課研究的重點(diǎn)實(shí)際上是圖形之間的位置關(guān)系,以及由一個(gè)圖形得到另一個(gè)圖形的軸對(duì)稱變換。只要引導(dǎo)學(xué)生掌握模型本質(zhì),挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,許多問題便可以迎刃而解。在教學(xué)過程中,教師要積極滲透數(shù)學(xué)模型思想,講清、講透每個(gè)數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生能看清知識(shí)的本質(zhì),觸類旁通,這樣才能幫助學(xué)生拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)面,促進(jìn)學(xué)生分析問題和解決問題能力的提高,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

        (作者單位:江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中)

        本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于‘?dāng)?shù)字學(xué)習(xí)’場(chǎng)域建構(gòu)的初中教學(xué)質(zhì)態(tài)研究”(編號(hào):C-c/2016/02/77)階段性研究成果。

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