孫景鋒，李德識

(武漢大學 電子信息學院，湖北 武漢 430072)

0 引 言

傳統(tǒng)信道函數估計方法沒有利用信道的稀疏特性，存在復雜高、計算量大、實時性差等問題[1]。隨著壓縮感知理論的發(fā)展，基追蹤算法、匹配追蹤算法(matching pursuit，MP)、正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit，OMP)等[2,3]被運用到信道估計中。相比均衡算法，匹配算法忽略了部分權重較小的分量，以提高算法的實時性[4]。基追蹤算法通過梯度下降方法迭代計算信道函數，存在收斂速度慢的問題[5]。MP算法采用貪婪算法，存在局部最優(yōu)解的問題。OMP算法通過殘差正交投影方法來獲得最優(yōu)匹配結果，存在噪聲敏感的問題[6]。廣義正交匹配算法(generalized orthogonal matching pursuit，GOMP)在每一次迭代時選擇與殘差乘積最大的幾個字典，但在迭代過程中可能會選擇出錯誤原子[7]。壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit,CoSaMP)[8]和子空間追蹤(subspace pursuit,SP)[9]的出現引入了字典回溯的思想，采取先添加原子再進行可靠性篩選的原子選擇方法提高重構質量。將壓縮感知和均衡算法相結合，可提高收斂速度，但在低信噪比情況下均衡類算法計算誤差較大。因此需要研究抗干擾能力強且實時性強的信道估計方法，本文根據匹配信道參數估計推導獲取理想信道參數估計的條件；設計訓練序列與水聲信道函數分量卷積后，構成具備抗干擾能力的正交字典集，在匹配追蹤算法框架下能夠獲取理想信道函數估計結果。信道函數估計流程如圖1所示，本文的主要工作和貢獻如下：

圖1 基于正交字典的全反饋信道函數估計流程

(1)推導計算理想信道參數的訓練序列屬性，得到數字高斯序列與水聲信道函數分量卷積可構造具有自相關特性、正交性和抗干擾能力的字典集。正交字典集與匹配算法相結合，可濾除其它多徑和噪聲的干擾，提高算法的準確率，減小計算量。

(2)提出一種全反饋結構的水聲稀疏信道函數估計算法，驗證該結構可矯正數字高斯訓練序列不正交造成的系統(tǒng)誤差，通過反饋迭代可有效濾除。

1 水聲信道模型

由于聲信號在水下存在嚴重的傳播損失，反射次數多的傳播路徑能量損失更嚴重。傳播路徑存在以下4種情形：直達路徑、海面反射路徑、海底反射路徑、海面-海底反射路徑。圖2給出了淺海水聲通信傳播路徑的示意。

圖2 淺海水聲通信傳播路徑

若信號傳播路徑信息已知，可進一步估計信道傳播函數。由于信道模型中的多徑時延nk和傳播衰減ak是由水下環(huán)境和聲傳播特性共同確定，采用水聲環(huán)境建模確定信道參數的方法計算復雜度高且受時空因素影響較大，因此可通過匹配算法模型計算得到信道函數參數。為了提高信道函數估計算法的實時性，可利用信道稀疏特性降低求解信道函數的計算復雜度。

基帶信號x[n] 經過信道傳播后，由于多徑效應、傳播能量衰減ak和環(huán)境噪聲干擾noise[n]， 接收端信號r[n] 可表示為

r[n]=x[n]?h[n]+noise[n]

(1)

在多徑傳輸情況下，r[n] 也可表示為多徑信號的疊加和

(2)

其中，h為信道函數，noise為高斯白噪聲，M為傳播路徑的數量。由式(2)可知，信道函數h的沖擊響應函數可表示為

(3)

其中，第k條徑的傳播衰減為ak，傳播時延為nk。

2 正交字典構造

在接收端，接收到的信號是多個多徑信號的疊加，其中，每一條傳播路徑的信道函數可表示為

H0=[1,0…0],H1=[0,1…0]…HM-1=[0,0…1]

(4)

由H0,H1…HM-1進行線性組合，可以表達真實的信道函數h[n]。 由式(3)、式(4)可知

h[n]=a0H0+a1H1+…+aM-1HM-1

(5)

接收端的信號分量可以表示為

r0=x?H0,r1=x?H1…rM-1=x?HM-1

(6)

由式(2)可以得到

r=a0r0+a1r1+…+aM-1rM-1+noise

(7)

其中，r為r0,r1…rM-1的線性組合，且每一條傳播路徑具備相同的結構形式，將式(7)轉換成矩陣相乘形式：r=[r0,r1…rM-1][a0,a1...aM-1]T， 結合水聲信道稀疏的特點，信道參數a0,a1…aM-1中只有小部分存在數值，故r也可以由r0,r1…rM-1稀疏的表示，因此r0,r1…rM-1為r的字典集。

通過計算r中包含的字典元素的權重來估計信道函數參數。通過計算分析最優(yōu)信道參數的估計條件，進而獲取字典集的正交、抗干擾能力強和自相關峰突出等特性。字典集由訓練序列x和信道函數分量Hi卷積生成，由式(4)可知，不同信道環(huán)境下的信道函數分量的規(guī)律穩(wěn)定，因此本文通過設計一段特定的訓練序列x， 使得x與不同的水聲信道函數分量卷積都具備字典集的3點特性。對選用的訓練序列進行整數化以適應通信系統(tǒng)，并對整數化后的序列進行性能分析，是否還滿足最優(yōu)條件。

2.1 最優(yōu)信道參數估計條件

在匹配算法的框架下，任選信道函數的一個參數計算過程進行分析，并從中推導最優(yōu)信道參數估計條件。信道函數傳播衰減參數ai的估計公式為

(8)

其中， 為a與b點積運算，a′i為信道參數ai的估計結果，r[n] 可表示為

r[n]=a0r0+a1r1+…+aM-1rM-1+noise[n]

帶入上式則有

(9)

由于信道參數ai理想的表達式是

(10)

當式(9)可轉換成式(10)時，估計結果就可以轉換成為真實值，可知式(9)中的ajrj和noise[n] 為干擾項。當字典集滿足下列條件時：

(1)=0,?i,j∈[0,M-1], 且i≠j;

(2)=0,?i∈[0,M-1]。

式(9)可轉換為

將條件(1)、條件(2)帶入上式，可知能將a′i轉換成為真實信道參數ai。 本文通過設計特定的字典集，使得字典元素 {r0,r1…rM-1} 具備正交性和抗干擾能力，可在匹配運算時去除內部干擾和外部干擾，可得到式(10)即理想結果。

字典集可轉換成訓練序列與信道函數的卷積形式，因此可由字典集性能得知訓練序列x具備以下幾點性質：

性質1x?Hk與x?Hl正交，其中k,l∈[0,1…M-1], 且k≠l；

性質2 匹配過程中抗干擾能力強，x?Hk+noisek與x?Hl+noisel的點積不受noisek,noisel的影響，即 (x?Hk+noisek).*(x?Hl+noisel)≈(x?Hk).*(x?Hl)，k,l∈[0,1…M-1];

性質3 自相關特性，即 (x?Hk).*(x?Hk)?(x?Hk).*(x?Hl)。

其中a.*b為a與b點積運算，?為卷積運算。

2.2 訓練序列構造

目前常用的訓練碼元有：偽隨機序列(M序列)、巴克碼、隨機序列、高斯整數零相關區(qū)(Gaussian integer zero correlation zone,ZCZ)序列集[10,11]等。研究發(fā)現，高斯序列滿足上述性質要求，因此本算法運用數字化的高斯序列作為訓練序列，以下驗證了高斯序列符合最優(yōu)解的設計要求。高斯序列在任意兩個不同時刻上的隨機變量，不僅是互不相關，而且統(tǒng)計獨立。選定高斯序列Gau[n]， 干擾噪聲noise[n]， 高斯序列的性質有：

(1)Gau[n-nl].*Gau[n-nk]=0， 其中l(wèi)≠k；

(2)Gau[n].*noise[n]=0, 與其它噪聲不相干；

(3)Gau[n].*Gau[n]=N/2， 其中N為高斯序列功率。

由上面性質推導訓練序列的性質：

(1)正交性：rk=Gau[n]?Hk=Gau[n-nk]，rl=Gau[n]?Hl=Gau[n-nl], 可知有不同的字典元素rk，rl， 其中l(wèi)≠k， 對于他們的點積有

rk.*rl=Gau[n-nk].*Gau[n-nl]=0

(11)

(2)抗干擾能力

r.*rk={Gau[n]?H+noise}.*rk=
{Gau[n]?H}.*rk

(12)

(3)自相關特性：任一字典元素rk=Gau[n]?Hk=Gau[n-nk]， 有

rk.*rk=N/2(N為序列的功率)

(13)

由此，可證明高斯序列滿足正交字典的基本要求。但高斯序列作為碼元序列存在幅值多樣、分布隨機等缺點，為減小通信系統(tǒng)復雜度，適應通信基帶碼元要求，則需要將高斯序列轉化為整數高斯序列。待轉換的序列Gau[n]=[x0,x1…xn-1]， 整數目標集合Symbol=[…-3,-2,-1,1,2,3…]， 數字化過程即將Gau[n] 中的值映射到Symbol中。數字化的要求是轉換后的序列在上述3點性質要求上盡量逼近高斯序列。

高斯序列數字化的方法，常見方法有取整法、聚類法等。取整方法設定閾值后向上或向下取整具備算法簡單的優(yōu)勢；聚類方法先將特性相同的點聚集在一起，再將每一塊數據分別同值整數化，相比取整雖然操作復雜，但其利用歐式距離對這些點進行分類，能獲取最小均方誤差，相比取整的方法，聚類法能將特性相近的一些點聚類在一起。因此本文選用聚類的方法作為本文的整數化方法，其中典型的方法為K-means聚類[12]。

首先可以利用歐氏距離將高斯序列分成K塊，再將這K塊區(qū)域的幅值進行同值數字化，K-means聚類算法，其步驟如下：

(1)隨機選取K個初始質心；

(2)計算所有樣本點到K個質心的距離；

(3)若樣本離質心Si最近，那么該樣本屬于Si點群；若樣本點到多個質心的距離相等，則該樣本點可被劃分到任意組中；

(4)所有樣本分組后，計算每個組的樣本點均值，將計算的均值作為新的質心；

(5)重復步驟(2)～步驟(4)直到質心收斂算法結束。

由上述方法可以得到K塊數據，在Symbol=[…-3,-2,-1,1,2,3…] 中對稱的選取K個值，將K塊數據中的值對應映射，即完成數字化。圖3即為四值數字化的聚類結果。

圖3 高斯序列K-means聚類結果

數字化方法可通過數字化后序列的正交性、抗干擾能力、自相關特性等進行評價，為此分別設置了3個指標進行衡量量化的性能。

2.3 訓練序列的性能分析

為了對所構造的訓練序列進行分析與評價，分別設計了正交偏離角、有無干擾項匹配偏差、相關峰值與最大干擾峰值比來分別對正交性、抗干擾能力、自相關特性進行量化表征。

自相關特性，將相關峰與最大干擾峰值比定義為ratepeak-max-interference， 簡化為ratePMI其定義式表達如下

(14)

正交性能分析，通過計算不同碼元間的夾角與直角的偏角，并求和表示為正交偏角(declination，OP)，其定義式如下

(15)

抗干擾能力分析，抗干擾能力(anti-interference ability,Anti-IA)則是通過對比有無噪聲情況下的匹配困難度，有噪聲干擾時記為ratenoise， 無噪聲干擾時記為ratesign， 抗干擾能力數值越接近1表示碼元序列抗噪能力越強，其定義如下

(16)

巴克碼在長度12 000內的最長序列為13，對于一般海洋水聲通信中，多徑的最大時延超過100 ms，要求的訓練碼元長度超過200，故巴克碼不適合作為訓練碼元。ZCZ序列通過計算產生零相關序列適合作同步碼，對于長序列的訓練序列會產生更多碼值，不適合做基礎碼元[13]。偽隨機序列也即M序列，是一種偽隨機序列、偽噪聲(PN)碼或偽隨機碼。隨機序列也是常被選作為訓練碼元。下面通過上述3種指標比較選擇合適的訓練碼元。

由MATLAB生成長度為2000的高斯序列，進行k-means聚類數字化稱為數字化序列，利用MATLAB生成長度為2000的M序列和隨機序列，通過時延生成100組字典元素，通過上述的定義的碼元評價參數，對以上3種碼元進行量化評價得到的數值指標見表1。

表1 比較碼元的相關峰與最大干擾峰值比

根據評價指標可知，理想情況下，相關峰與最大干擾峰比為無窮大，正交偏角為0°，抗干擾能力系數為1，對以上3個性能指標計算可知，數字化高斯序列相比其它碼元都有一定的優(yōu)勢，選取數字化高斯序列作為本文方法的訓練碼元。

3 全反饋信道函數估計

采用數字高斯序列與信道函數分量卷積構成的正交字典集后，由于生成高斯序列和數字化過程是對原序列近似處理，帶來字典集近似正交的問題，本文提出全反饋信道函數估計算法來減小由近似正交帶來的誤差，并用數學歸納法證明反饋結構的功能。

3.1 匹配算法計算

基于接收端信號式(1)，采用匹配算法的框架，運用以下步驟，依次求解出信道函數的參數：

(1)r[n] 與各字典元素信道參數計算

(17)

(2)設定閾值，舍棄幅值較小的多徑信道參數對于接收端的信號r[n]， 經過信道的衰減，依據信道參數ak的絕對值進行取舍無法判定該參數在信道函數中的影響因子，故用其相對值進行取舍。設定相對值閾值為α， 對于小于α的徑舍棄，其它的保留原值，進行下一步計算。歸一化公式如下

(18)

(3)在序列中找出信道參數最大徑，并按式(20)更新r[n]， 進行第二次信道參數分解。從分解參數中找出信道參數最大的徑，并作為信道函數的參數

al=max(a0,a1…am-1)

(19)

去除已經計算出來信道函數參數對剩余參數計算的干擾

r[n]=x[n]?(h[m]-al·h[l])

(20)

(4)重復進行步驟(1)～步驟(3)，直至分解出所有的信道參數。

3.2 全反饋結構重構信道參數

理想狀態(tài)下，高斯序列是互不相關的，而且還是統(tǒng)計獨立的，但是生成和數字化過程會對理想高斯序列近似操作，所以對于不同時延的高斯序列并非嚴格正交，即“完備正交字典”中的元素的相關性不為零。解決近似正交的問題，可通過改進算法結構，對于估算過程中存在其它元素的干擾，在參數估算完畢后，利用已估計參數全反饋到下一輪計算中矯正參數，稱為估計參數全反饋去干擾法。其具體步驟如下，其中hmi表示第m次反饋計算后的第i個信道參數，rmi表示m次反饋計算后的接收分量：

(1)基于匹配估計信道參數hm0,hm1…h(huán)mM；

(2)接收信號r[n] 分量計算

rm1=x?hm1,rm2=x?hm2…rmM-1=x?hmM-1
r′m0=r[n]-rm1-rm2…rmM-1

(21)

(3)將r′m0帶入式(17)重新估計h(m+1)0并更新信道參數

(22)

(4)參照(2)、(3)計算h(m+1)1,h(m+1)2…h(huán)(m+1)M-1；

(5)將m+1，重新反饋到(1)計算參數,直至計算誤差符合要求。

圖4為反饋迭代次數與均方誤差的關系，隨著迭代次數，誤差將會越來越小，并采用數學歸納法證明全反饋結構可減小信道函數誤差。由于字典存在正交偏角，其干擾帶來的誤差可以寫成以下形式

ε0==a0μ0…
εM-1==amμmεe==μe

(23)

圖4 信號參數估計的均方誤差

其中，εk為rk給信道參數ai計算帶來的誤差,μk為第k個字典rk在ri矢量方向上的分量權重因子，本文將其稱為轉換因子；a′mi代表第m次迭代計算后的信道參數。

將式(23)帶入式(22)中，可知在沒有反饋結構時存在

(24)

其誤差可表達為

(25)

加入反饋結構后，將第一次計算的參數值反饋回原結構重新計算，則帶來的誤差有：εk=<(a′k-ak)rk,ri>=(a′0k-ak)μk。

第一次反饋計算參數則有

(26)

第一次反饋計算后的誤差記為

(27)

(1)數學歸納法第一步：證明第一次迭代的誤差e1小于不迭代(第0次)的誤差e0

(28)

歸納法第一步可用實際數據證明，如圖4可例證第一次的迭代誤差小于不迭代誤差。

(2)數學歸納法第二步：給出條件：第k次迭代的誤差比第k-1次迭代的誤差小

(29)

(3)數學歸納法第三步：由第二步的條件，推導第k+1次的誤差小于第k次的誤差成立

(30)

由ek=a′kj-aj,ek=a′(k-1)j-aj。 將等式右邊帶入差值計算：故ek-ek-1=(a′kj-aj)-(a′(k-1)j-aj)=a′kj-a′(k-1)j。 由數學歸納法第二步條件，可知ek-ek-1<0， 即a′kj-a′(k-1)j<0, 將此推論結果帶入可知式(30)中證明ek+1-ek<0成立。

反饋計算后，誤差是逐漸減小的。最先估算出來的信道參數受其它信道參數影響大，具有較大的估計誤差，也會對后面信道參數產生影響。在重新估算過程中，由反饋結構將其它接收分量從接收信號r[n] 中減去，濾除其它信道參數的影響，重新估算，將干擾降到最低。

4 仿真驗證與結果分析

對于水聲通信中的信道函數估計算法，實時性、準確率、計算量等都是信道估計算法的重要評估參數。本文在MATLAB平臺上，設置相同的模擬信道環(huán)境，分別仿真DFE算法、DFElms算法、cosamp算法、MP算法、OMP算法及其組合算法和本文提出估算方法，分別在準確率、計算復雜度等方面進行對比。

4.1 計算復雜度分析

為對比不同算法的計算復雜度和計算量，設置相同的實驗環(huán)境下，現設置相關的參數變量如下，均衡算法相關參數：N訓練序列長度、n迭代次數、M濾波器長度、L字典個數、2l稀疏度估計。計算量：Calculated amount(·)，表示為Cal(·)。

在信道估計函數中，整體而言，匹配算法相比均衡算法的計算復雜度要低，因為均衡算法的收斂較慢。從表2、表3中計算量和計算復雜度的分析可知，匹配算法計算復雜度相比均衡類算法計算復雜度要小，計算量對應的也會小得多。傳統(tǒng)匹配類算法Cal(基追蹤)>Cal(MP)>Cal(OMP)>Cal(本文算法)。

表2 不同匹配追蹤算法計算量對比

表3 不同均衡類算法每一次迭代計算量對比

本文通過算法運行時間來體現算法的計算量大小，由圖5可知，本文算法相比其它幾種算法具備計算量小的優(yōu)勢，從實驗結果也可以得到，結合匹配算法的DFEcosamp的均衡算法相比其它算法也有更快的收斂速度。

圖5 匹配類均衡類算法計算時間對比

4.2 信道函數準確率對比

匹配類算法采用點積計算信道函數，計算過程可屏蔽部分隨機噪聲；均衡類算法將接收端信號中的信號部分和噪聲部分看作一個整體，即將噪聲當作信道函數的一部分，估計得到的信道函數與真實的信道函數有偏差，所以均衡算法相比匹配類算法的均方誤差要大；而本文采用的方法，運用高斯序列的抗干擾能力，在信道函數計算過程中采用點積運算濾除噪聲，因此在3類方法中，本文算法的計算準確率將高于壓縮感知的匹配算法和均衡算法。

在相同的實驗環(huán)境下進行各類算法的仿真，如圖6、圖7 為0 dB條件下的信道函數估計結果圖，在圖6的局部放大圖可知，本文算法與真實信道更接近，圖7中均衡類算法效果都比較差，與真實信道相差較大。圖8為信噪比從0 dB-30 dB的條件下，統(tǒng)計各方法的估計均方誤差，其中DFElms與DFEnlms的性能相似，導致曲線重合?？梢缘玫饺缦陆Y論：

圖6 0 dB下匹配類算法信道函數估計結果

圖7 0 dB下均衡類算法信道函數估計結果

圖8 匹配類均衡類算法信道均方誤差對比

(1)匹配類算法雖然計算量不同，但其誤差大小相近，且隨信噪比減小，算法的誤差增大；

(2)如理論分析結果所示，在相同信噪比的環(huán)境下，匹配類算法的MSE要小于均衡類算法；

(3)如理論分析結果，本文算法的抗噪能力優(yōu)于傳統(tǒng)均衡類算法，優(yōu)于匹配類算法。

5 結束語

本文針對稀疏水聲信道函數的估計問題，提出了一種基于正交字典的全反饋信道函數估計方法，給訓練序列賦予正交和抗干擾的特性，在匹配算法初步估算出信道參數后，再結合全反饋結構進一步提高信道函數的準確度。仿真結果表明，本文提出的信道估計方法在噪聲敏感程度上優(yōu)于匹配算法，能夠獲取更高的準確度；在算法復雜度上優(yōu)于均衡類算法和匹配均衡結合算法，以更低的計算復雜度，實現較高的準確率。