李雪，周長城*，于曰偉，張云山，歐學(xué)昊

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255000；2.山東汽車彈簧廠淄博有限公司， 山東 淄博 255000)

0 引言

隨著汽車輕量化政策的實施，少片變截面鋼板彈簧已經(jīng)廣泛應(yīng)用到汽車上。實際車輛為了滿足懸架剛度的設(shè)計要求，通常所采用的少片變截面鋼板彈簧的拋物線段的坐標原點不在力的作用點上，而是與力的作用點存在一定的坐標偏移量，即少片非標準拋物線型變截面板簧。據(jù)所查文獻可知，先前對少片變截面鋼板彈簧的撓度、剛度及應(yīng)力的解析計算一直未給出可靠的解析計算公式，均未考慮到拋物線段坐標偏移量及其影響，因此，設(shè)計值與實際值存在較大偏差，難以滿足少片變截面板簧數(shù)字化設(shè)計和生產(chǎn)的要求。

目前，國內(nèi)外大多采用有限元仿真分析法、多體動力學(xué)仿真分析法和試驗法等對少片變截面鋼板彈簧的力學(xué)特性進行研究[1-3]。其中，葉南海等[4]通過建立有限元模型，利用ANSYS仿真與實驗結(jié)果對比，分析了摩擦因數(shù)對少片變截面鋼板彈簧剛度以及應(yīng)力的影響；呂新飛和莫立庸等[5]利用Solidworks、ANSYS軟件對鋼板彈簧進行有限元分析，得到鋼板彈簧在不同工作狀況下的應(yīng)力分布狀況；唐應(yīng)時和柴天等[6]利用有限元法對鋼板彈簧的預(yù)應(yīng)力進行計算，并通過調(diào)整各片板簧的自由弧高和自由曲率半徑對各片板簧的預(yù)應(yīng)力進行調(diào)整，提高了板簧的使用壽命；文獻[7-9]基于解析計算和ANSYS仿真分析，對少片變截面鋼板彈簧的剛度及應(yīng)力特性進行了相關(guān)研究；文獻[10-13]采用CAE建模仿真和板簧臺架試驗，對少片變截面鋼板彈簧的力學(xué)特性進行了對比分析。然而，上述研究方法都是基于少片變截面鋼板彈簧的拋物線段的坐標原點在力的作用點的基礎(chǔ)上進行的，均沒有考慮拋物線段坐標偏移量的影響。對于存在坐標偏移量的非標準拋物線型變截面板簧尚沒有準確可靠的剛度以及應(yīng)力的解析計算方法，不能為少片變截面鋼板彈簧的智能化生產(chǎn)提供可靠的理論支撐，也阻礙了鋼板彈簧產(chǎn)業(yè)的智能化升級進程。

本文根據(jù)單片非標準拋物線型變截面板簧的力學(xué)模型，利用莫爾積分，建立了變形、剛度的解析計算公式，并分析了坐標偏移量x0對板簧結(jié)構(gòu)及力學(xué)特性的影響；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)少片簧與各片板簧之間的剛度與載荷及應(yīng)力之間的關(guān)系，建立了少片非標準拋物線型變截面板簧的變形、剛度和應(yīng)力的解析計算公式。最后，通過實例，進行了仿真驗證和實驗驗證。

1 單片非標準拋物線型變截面板簧的剛度及應(yīng)力的解析計算

1.1 單片非標準拋物線型變截面板簧的結(jié)構(gòu)以及力學(xué)模型

將單片非標準拋物線型變截面板簧的一半等效為懸臂梁，在卷耳中心位置施加垂向載荷，與車軸固定連接的位置為固定端約束，忽略卷耳部分，端部的起始點為非標準拋物線型變截面板簧的卷耳中心。由于板簧的端部厚度變化較小，將其近似看作等厚的平直段，端部的有效長度取卷耳中心到拋物線端部的跨度。由于鋼板彈簧中間平直段受U型螺栓夾緊的影響，在計算時，取其長度的一半作為有效長度?；谝陨霞僭O(shè)，建立單片非標準拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 單片非標準拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型Fig.1 Half of the mechanical model of the symmetrical structure of the single-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

圖1中，板簧的根部到自由端的總長度為L，端部平直段的長度為l1，板簧拋物線段根部到自由端的長度為l2，根部平直段長度為l3，l3的長度取決于車軸的安裝尺寸；根部平直段的厚度為h2，端部平直段的厚度為h1，拋物線段厚度比為β，其中β=h1/h2；板簧的寬度為b，彈性模量為E。在板簧的自由端施加集中力F，其大小為整簧承受載荷的一半。

① 拋物線段在理論坐標下的坐標偏移量x0

以板簧的自由端O為坐標原點建立坐標系，拋物線段的理論坐標原點為OT，板簧自由端O與拋物線段的理論坐標原點OT之間的距離為拋物線段的坐標偏移量x0。利用在理論坐標系OT下，拋物線段的根部和端部到理論坐標原點的距離l2+x0和l1+x0之間的關(guān)系，可得拋物線段的坐標偏移量x0為

(1)

② 拋物線段在原坐標x位置的厚度h(x)

根據(jù)拋物線段根部厚度h2、拋物線段的根部到板簧自由端的長度l2、端部平直段的長度l1及坐標偏移量x0，可建立板簧拋物線段在原坐標下的厚度h(x)表達式，即

(2)

1.2 單片非標準拋物線型變截面板簧變形及剛度的解析計算

根據(jù)單片非標準拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，利用莫爾積分可知，板簧在端部集中力F作用下的端部撓度可表示為

(3)

對式(3)進行積分運算并整理，可得單片非標準拋物線型變截面板簧端部撓度的解析計算式為

(4)

式中，GD為單片非標準拋物線型變截面板簧的端部撓度系數(shù)，且

由式(4)可知單片非標準拋物線型變截面板簧的剛度為

(5)

1.3 單片非標準拋物線型變截面板簧應(yīng)力的解析計算

根據(jù)圖1所示的單片非標準拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，當板簧端部受到集中力作用時，由材料力學(xué)可知，板簧在任意x位置處的應(yīng)力為

(6)

式中，M(x)為板簧任意x位置處承受的彎矩，且M(x)=Fx；W(x)為任意x位置處的抗彎截面系數(shù)，W(x)=bh2(x)/6，h(x)為不同位置x處板簧的厚度。

因此，整理式(6)，可得單片非標準拋物線型變截面板簧在任意x位置處的應(yīng)力解析計算式為

(7)

2 單片非標準拋物線型變截面板簧拋物線段坐標偏移量x0的影響分析

由式(2)、式(4)、式(5)和式(7)可知，拋物線段的坐標偏移量對板簧的厚度、剛度、變形及應(yīng)力有重要影響。以某單片變截面板簧為例，分析拋物線段坐標偏移量x0對板簧自身結(jié)構(gòu)和力學(xué)特性的影響規(guī)律。其原始結(jié)構(gòu)參數(shù)為：板簧寬度b=80 mm，作用長度L=550 mm，根部平直段的長度l3=50 mm，拋物線段的根部至自由端的長度l2=500 mm，板簧的根部厚度為h2=20 mm，拋物線段的厚度比為β=0.4。板簧端部所受集中力F=1 000 N，彈性模量E=206 GPa。

2.1 坐標偏移量x0對拋物線段厚度的影響分析

根據(jù)單片非標準拋物線型變截面板簧的厚度表達式，繪制不同坐標偏移量x0下板簧厚度隨位置的變化規(guī)律曲線，如圖2所示。

圖2 不同坐標偏移量x0下板簧厚度的變化規(guī)律曲線Fig.2 Thickness curve of the leaf spring under different coordinate offsets x0

分析圖2可知，當作用長度L，寬度b，根部平直段長度l3以及根部厚度h2確定時，坐標偏移量x0對于板簧的根部平直段和端部平直段的厚度沒有影響；當x0越大，同一位置處，板簧拋物線段的厚度越大，其中x0對于近端部的拋物線段的厚度影響最大；除此之外，隨x0增大板簧端部區(qū)間長度減小，拋物線段區(qū)間長度增大。

2.2 坐標偏移量x0對板簧剛度和撓度的影響分析

當坐標偏移量x0在一定范圍內(nèi)變化時，其對板簧剛度和板簧撓度均產(chǎn)生一定影響。根據(jù)單片非標準拋物線型變截面板簧剛度、撓度的解析計算式，分別繪制板簧剛度、撓度隨坐標偏移量x0的變化規(guī)律曲線，分別如圖3、圖4所示。

據(jù)圖3、圖4可知，當其他參數(shù)相同時，坐標偏移量x0對板簧的剛度和撓度均有重要影響。其中，板簧的剛度隨著坐標偏移量x0的增大而增大，且整體呈現(xiàn)非線性變化；板簧的撓度隨著坐標偏移量x0的增大而減小，整體也呈現(xiàn)非線性變化。

圖3 板簧剛度隨坐標偏移量x0的變化規(guī)律曲線Fig.3 Stiffness curve of the leaf spring with coordinate offset x0

圖4 板簧撓度隨坐標偏移量x0的變化規(guī)律曲線Fig.4 Deflection curve ofthe leaf spring with coordinate offset x0

2.3 坐標偏移量x0對板簧應(yīng)力特性的影響分析

根據(jù)單片非標準拋物線型變截面板簧的應(yīng)力計算式，利用Matlab軟件繪制不同坐標偏移量x0下應(yīng)力隨位置的變化規(guī)律曲線，如圖5所示。

由圖5可知，單片非標準拋物線型變截面板簧的應(yīng)力，在其端部平直段和根部平直段，隨長度x的增大呈線性增大趨勢；當x0=0時，板簧拋物線段呈等應(yīng)力變化，最大應(yīng)力出現(xiàn)在在板簧根部；當x0>0時，拋物線段不再呈現(xiàn)等應(yīng)力變化，而是隨長度x的增大而增大且總體上呈現(xiàn)非線性變化，且隨著x0增大，其端部平直段區(qū)間長度減小，拋物線段區(qū)間長度增加，最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧根部。而當x0<0時，拋物線段的應(yīng)力，隨長度x的增大而減小且總體上呈現(xiàn)非線性變化，且隨著x0增大，其端部平直段區(qū)間長度減小，拋物線段區(qū)間長度增加，最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧的根部或者拋物線段的端部處，這與x0的取值有關(guān)。

圖5 不同坐標偏移量x0下應(yīng)力隨位置的變化規(guī)律曲線Fig.5 Stress curve with position under different coordinate offset x0

根據(jù)其應(yīng)力計算式，繪制拋物線段和根部平直段的最大應(yīng)力隨坐標偏移量x0的變化規(guī)律曲線，如圖6所示，其中，虛線代表板簧根部平直段的最大應(yīng)力，實線代表板簧拋物線段的最大應(yīng)力。

圖6 板簧的最大應(yīng)力隨坐標偏移量x0的變化規(guī)律曲線

根據(jù)圖6可知，板簧拋物線段的最大應(yīng)力隨著x0的增大而減小，且整體呈現(xiàn)線性變化。當板簧拋物線段最大應(yīng)力與根部的最大應(yīng)力相等，即σ2max=σ3max時，此時拋物線段的坐標偏移量為

因此，當x0x00時，其最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧根部，即x=L處；當坐標偏移量x0=x00時，非標準拋物線型變截面板簧的拋物線段與根部平直段的最大應(yīng)力相等，此時x=l1、x=L處均為該板簧的最大應(yīng)力位置。

3 少片非標準拋物線型變截面板簧剛度及應(yīng)力的解析計算

3.1 少片非標準拋物線型變截面板簧剛度及撓度的解析計算

少片非標準拋物線型變截面板簧是由單片非標準拋物線型變截面板簧疊加而成，其一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型如圖7所示。板簧的片數(shù)為n，一般2≤n≤5，板簧的寬度為b，彈性模量為E，各片非標準拋物線型變截面板簧的端部厚度為hi1，根部厚度為hi2，拋物線段的厚度比βi=hi1/hi2板簧的根部到自由端的總長度為L。端部平直段的長度為li1，l2為拋物線段根部到自由端的長度，l3為根部平直段的長度，各片板簧拋物線段的坐標偏移量為xi0=(l2βi2-li1)/(1-βi2)，板簧端點集中力為F。

圖7 少片非標準拋物線型變截面板簧一半對稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型Fig.7 Half of the mechanical model of the symmetrical structure of the few-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

由式(5)可知，少片非標準拋物線型變截面板簧各片的剛度為

(8)

式中，GDi為各片板簧的端部撓度系數(shù)，即

因此，少片非標準拋物線型變截面板簧的總剛度可表示為

(9)

根據(jù)撓度與剛度的關(guān)系式，可求得少片非標準拋物線型變截面板簧端部的變形為

(10)

由各片板簧承擔的載荷之和等于總載荷，端部變形等于總變形，易求得各片板簧承擔的載荷為

(11)

3.2 少片非標準拋物線型變截面板簧應(yīng)力的解析計算

根據(jù)少片非標準拋物線型變截面板簧各片的剛度和載荷之間關(guān)系，由式(7)和式(11)，可得各片板簧任意x位置處的應(yīng)力解析計算式為

(12)

4 實例計算與ANSYS仿真驗證

4.1 實例參數(shù)

已知某款車型前懸架板簧的片數(shù)為n=3，板簧寬度b=80 mm，彈性模量E=206 GPa。板簧的作用長度L=550 mm，根部平直段的長度l3=50 mm，拋物線段的根部至自由端的長度l2=500 mm，端部平直段的長度分別為l11=110 mm、l21=l31=90 mm。板簧根部平直段的厚度為hi2=15 mm，端部平直段的厚度分別為h11=7.5 mm、h21=h31=6 mm；各片板簧拋物線段的厚度比分別為β1=7.5/15=0.5、β2=β3=6/15=0.4；板簧端部所受的集中載荷為F=8 250 N。

4.2 實例計算

圖8 第1片板簧應(yīng)力變化曲線圖Fig.8 Stress curve of the first leaf spring

圖9 第2、3片板簧應(yīng)力變化曲線圖Fig.9 Stress curve of the second, third leaf spring

由圖8可知，首片板簧的最大應(yīng)力出現(xiàn)在根部，即首片板簧在車橋上的固定位置，其最大應(yīng)力為546.99 MPa。由圖9可知，第2、3片板簧的最大應(yīng)力應(yīng)力出現(xiàn)在x=90 mm處，即拋物線段的端部，且其最大應(yīng)力為510 MPa。

4.3 ANSYS仿真驗證

根據(jù)計算實例中板簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)、彈性模量和載荷，利用ANSYS軟件建立其三維模型并對其變形和最大應(yīng)力進行仿真計算，所得到的少片非標準拋物線型變截面板簧的變形仿真云圖和各片板簧的應(yīng)力仿真云圖，分別如圖10、圖11所示。

圖10 少片非標準拋物線型變截面板簧的變形仿真云圖Fig.10 Deflection simulation cloud diagram of the few-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

(a) 第1片板簧

由圖10、圖11可知，仿真得到的少片簧的最大撓度值為55.55 mm，其剛度值為297.02 N/mm；首片板簧的最大應(yīng)力為546.89 MPa，第2、3片板簧的最大應(yīng)力為510 MPa，與解析計算值的相對偏差分別為0.7 %，0.7 %，2.3 %和1.9 %。結(jié)果表明，所建立的少片非標準拋物線型變截面板簧的撓度、剛度及應(yīng)力解析計算公式及方法是正確的。

4.4 試驗驗證

為進一步驗證所建立的非標準拋物線型變截面板簧的撓度及剛度解析計算方法的可信性，進行了試驗驗證。所用設(shè)備為濟南時代試金集團生產(chǎn)的TYE-W400I微機控制液壓式彈簧壓力試驗機，如圖12所示。該設(shè)備可自動進行試驗數(shù)據(jù)的采集與處理，并通過微機顯示屏直接輸出板簧試驗力、板簧變形量及板簧特性曲線。利用該設(shè)備對板簧進行加載-卸載撓度特性試驗。其中板簧片間已做好潤滑，板簧已用騎馬螺栓夾緊，所加載的最大載荷為10 500 N。對該板簧樣機加載和卸載的撓度數(shù)據(jù)進行擬合處理，得到該少片非標準拋物線型變截面板簧的實驗剛度值為283.1 N/mm，與解析計算值相比，相對偏差為4.2 %。結(jié)果進一步表明所建立的少片非標準拋物線型變截面板簧的撓度及剛度的解析計算公式及方法是可靠的。

圖12 少片簧加載-卸載試驗平臺Fig 12 Loading-unloading test platform of the few-chip leaf spring

5 結(jié)語

本文通過對非標準拋物線型變截面板簧力學(xué)特性的理論分析、實例計算及仿真和實驗驗證，可知：

① 根據(jù)非標準拋物線型變截面板簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可對板簧拋物線段的坐標偏移量x0及不同位置x處的板簧厚度h(x)進行解析計算。

② 根據(jù)非標準拋物線型變截面板簧的力學(xué)模型，利用莫爾積分，可建立非標準拋物線型變截面板簧的撓度和剛度的解析計算式，可實現(xiàn)對其撓度和剛度進行解析計算。

③ 根據(jù)少片非標準拋物線型變截面板簧的各片端部所受載荷與剛度的關(guān)系，建立少片非標準拋物線型變截面板簧在任意位置處的應(yīng)力計算公式。

④ 當板簧跨度、寬度、根部平直段長度以及根部厚度確定時，不同拋物線段坐標偏移量x0，對板簧拋物線段在任意x位置處的厚度、剛度和應(yīng)力均有重要影響。

⑤ 仿真結(jié)果表明，少片非標準拋物線型變截面板簧的變形解析計算值及最大應(yīng)力解析計算值與其相對應(yīng)的仿真值均相吻合，相對偏差均在2.3 %以內(nèi)。所建立少片非標準拋物線型變截面板簧的變形及應(yīng)力計算公式是準確的。少片簧的剛度測試結(jié)果與解析值吻合，相對偏差在4.2 %以內(nèi)。對比結(jié)果進一步表明，所建立的撓度和剛度的解析計算方法是可靠的。

本文所建立的非標準拋物線型變截面板簧力學(xué)特性的解析計算方法，可得到準確的剛度計算值和板簧任意位置處的應(yīng)力值，為少片變截面鋼板彈簧的設(shè)計、剛度匹配和應(yīng)力校核等提供了可靠的技術(shù)基礎(chǔ)，也為懸架系統(tǒng)的零部件現(xiàn)代化設(shè)計及特性仿真提供了理論參考。