鞠銀

（上海電機(jī)學(xué)院文理學(xué)院，上海 201306）

常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實(shí)際問題之中。二階常系數(shù)線性微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術(shù)及力學(xué)和物理學(xué)中都有十分廣泛的應(yīng)用。關(guān)于它的解結(jié)構(gòu)己有十分完美的結(jié)論。但有時(shí)候?qū)W生遇到常系數(shù)非齊次方程還是會(huì)犯迷糊。本文主要介紹幾種常見的二階常系數(shù)非齊次微分方程的解法。

一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程y′+py′+qy=0的解法主要是特征方程法。

1.當(dāng)特征方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根λ1、λ2時(shí),方程(1) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解為從而得方程(1)的通解

2.當(dāng)特征方程有二重實(shí)根λ 時(shí),可得方程(1) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解從而得到方程(1)的通解

3.當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根αi±β時(shí),可得方程(1) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解從而得方程(1) 的通解

二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

我們知道y′′+py′+qy=f(x)(2)通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與它本身的特解之和。所以只需求出方程(2)的特解和對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，再疊加即可得通解。方程(2)主要分為以下兩個(gè)類型。

其中p,q與λ是已知常數(shù),pm(x)是x的m次多項(xiàng)式,

也可以把類型2看成特殊的類型1.即方程(3)右端的指數(shù)λ看成復(fù)數(shù)。

解：本題λ=0不是特征方程r2-2r-3=0的特征根，所以特解為y*=x0(ax+b)代入原方程為 -3ax-3b-2a=3x+1

例2求微分方程y′+y=4sinx的通解。

解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是r2+1=0，所以特征根為r=±i，

即有對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

例3求微分方程y′+y=x+4sinx的通解。

解：此題和前兩例不同，右端的函數(shù)項(xiàng)包含了類型1和類型2，所以此題我們要把原方程拆成兩個(gè)非齊次方程，利用非齊次方程的解的疊加原理。

(1)先求方程y′+y=0的通解齊次方程的特征方程是所以特征根為r=±i

即有對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

(2)先求方程y′+y=x的特解

本題λ=0不是特征方程的特征根，所以特解為

對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程我們一定要注意右端的函數(shù)項(xiàng)，必要時(shí)要把方程拆成多個(gè)方程利用解的疊加原理來求通解。