馬利

（石家莊第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，河北 石家莊 050000）

中考選擇的最后一兩道題，?？加脛?dòng)態(tài)的觀點(diǎn)解決幾何問題，考查圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的圖形性質(zhì)上的變化和不變的情況.下面筆者以2016 年河北中考第16題為例，探究這類題的解題方法，以求引導(dǎo)學(xué)生體悟具有普適性的數(shù)學(xué)思想和方法，明晰思路，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維方式，提高解決問題的能力。

一、試題呈現(xiàn) 如圖，∠AOB=120°，OP 平分∠AOB，且OP=2.若點(diǎn)M，N 分別在OA，OB 上，且△PMN 為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN 有（ ）

A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.3 個(gè)以上

二、試題解析 由題中條件 ∠AOB=120°，OP 平分∠AOB，可知∠1=∠2=60°，根據(jù)等邊三角形判定的有關(guān)知識(shí)可知：方法1，已知一個(gè)60°角，再添加一個(gè)60°角，從而三個(gè)內(nèi)角均為60°，得到等邊三角形；方法2，一個(gè)60°角，再添加兩條邊相等，從而有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形。

三個(gè)內(nèi)角都為60°，有一個(gè)角為60°的等腰三角形

從特殊入手，依據(jù)方法1操作：用三角板如圖1所示，以O(shè)P為邊添加一個(gè)60°角，交OA 于點(diǎn)M，N 與O 重合，構(gòu)造等邊△PMN。

如圖2 所示，根據(jù)軸對(duì)稱性，在OP 的右側(cè)也存在一個(gè)等邊三角形。

依據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，如圖3 所示，作可得PM=PN，由題易得∠3=∠4=30°，所以∠MPN=60°，根據(jù)等邊三角形判定方法2，從而構(gòu)造等邊三角形。

目前已經(jīng)得到3 個(gè)等邊三角形，答案D 為3 個(gè)以上，為此提醒我們需要研究一般位置的情況。我們把特殊位置得到的等邊三角形結(jié)合來(lái)看，如圖4 可以看作由一個(gè)60°角旋轉(zhuǎn)得到，為此我們把繞P把60°角轉(zhuǎn)到一般位置如圖5所示，為等邊三角形，∠MPN=60°，只要證明≌即可推出△PMN是等邊三角形。由是等邊三角形，可得∠OM’P=60，PM’=PN’，因?yàn)椤螹PN=60°，∠PON=60°，所以可得：∠OM’P=∠PON，∠M’PM=∠OPN，依據(jù)ASA 得到△M’PM ≌OPN，所以PM=PN，由于∠MPN=60°，所以△POM 是等邊三角形，故這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，故選

三、延伸思考 繼續(xù)研究這道題，發(fā)現(xiàn)變化過(guò)程中存在的不變性，∠MPN 與∠AOB 互補(bǔ)；OM+ON 為定值；四邊形OMPN 的面積等于以O(shè)P 為邊的等邊三角形的面積，為定值；

四、反思與練習(xí)

根據(jù)問題的已知條件，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)，從特殊情況入手，通過(guò)動(dòng)手操作，得出實(shí)驗(yàn)的

特例，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)猜想一般情形，結(jié)合特例的信息論證一般結(jié)論，這種從特殊到一般的思想和用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析問題的方法是解決此類問題的法寶。掌握這種方法，要求我們?cè)谧兓袑ふ也蛔冃?，用函?shù)的觀點(diǎn)尋求變化中的不變性。

“動(dòng)點(diǎn)型問題”是幾何學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，融動(dòng)腦思考和動(dòng)手操作為一體，匯集了諸多知識(shí)點(diǎn)，需要學(xué)生經(jīng)歷分析、猜想、判斷、推理等綜合過(guò)程，體現(xiàn)了幾何直觀，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和本質(zhì)，這樣的問題在近年來(lái)中考中大有增大趨勢(shì)。

練習(xí)：2019 年山東聊城中考第11 題如圖，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC＝90°，一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，將三角尺繞點(diǎn)O 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB，AC 分別交于點(diǎn)E，F(xiàn) 時(shí)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A.AE+AF＝AC B.∠BEO+∠OFC＝180° C.OE+OF＝BCD.S 四邊形AEOF＝S △ABC

從特殊位置入手，如圖6 所示，連接AO，連接AO，易證△EOA ≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性質(zhì)可得出EA＝FC，進(jìn)而可得出AE+AF＝AC，選項(xiàng)A 正確；由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝90°可得出∠BEO+∠OFC＝180°，選項(xiàng)B 正確；由△EOA≌△FOC 可得出S △EOA＝S △FOC，結(jié)合圖形可得出S 四邊形AEOF＝S △EOA+S △AOF＝S △FOC+S △AOF ＝S △AOC＝S △ABC，選項(xiàng)D 正確.綜上，此題得解。