楊新坤，趙寧寧，楊 嘉，李文振，李富康

（長安大學工程機械學院，西安 710064）

0 引言

隨著“中國制造2025”的提出，制造業(yè)邁向高端已提到國家戰(zhàn)略層面。而數(shù)控機床作為制造業(yè)重要的組成部位，其重要性不言而喻。分析數(shù)控機床的可靠性，確定故障時間數(shù)據(jù)的模型可促進機床業(yè)的良性發(fā)展。國內外也對此進行了大量研究。英國學者Keller等[1]對35臺數(shù)控機床的3年的故障數(shù)據(jù)進行建模分析，發(fā)現(xiàn)故障間隔時間符合對數(shù)正態(tài)分布。Ansell[2]考慮到數(shù)據(jù)收集及來源不嚴謹問題，提出了先用繪圖方法進行初步擬合，再采用統(tǒng)計的方法進行可靠性分析。Merrick[3]提出用于分析機床故障數(shù)據(jù)的半參數(shù)模型。國內賈亞洲、申桂香等[4]根據(jù)數(shù)控機床的故障時間數(shù)據(jù)對數(shù)控機床可靠性建模技術進行了深入研究。楊建國[5]通過對時間數(shù)據(jù)的分析提出了基于似然比檢驗理論的威布爾分布模型。程皖民[6]在原收集機床信息量不足的情況下融合了相似機床的故障信息，提出了MMLE-Bayes 可靠性評價方法。本文將提出一種故障數(shù)據(jù)的處理方法，并利用圖示法和統(tǒng)計法確定最后的模型。

1 故障時間數(shù)據(jù)的分布模型

目前工程上使用最普遍的數(shù)控機床可靠性評估方法就是基于數(shù)控機床的故障數(shù)據(jù)先確定分布模型，再計算相應的MTBF值。其方法首先要對收集到的故障數(shù)據(jù)進行預處理，然后對故障數(shù)據(jù)進行回歸分析，并運用數(shù)理統(tǒng)計的方法確定故障數(shù)據(jù)的分布模型。常見的數(shù)控機床的故障數(shù)據(jù)的分布模型有對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、威布爾分布[7]。

1.1 對數(shù)正態(tài)分布

在故障時間統(tǒng)計模型中，對數(shù)正態(tài)分布由于其右偏的性質，常用于特定種類的機械零件的疲勞壽命評估和某些半導體器件的可靠性分析。設T為一連續(xù)的隨機變量，且取值為正。若ln(T)～N(μ,δ2)，則故障時間t的概率密度函數(shù)為：

累積分布函數(shù)為：

故障率與可靠度函數(shù)分別為：

式中：Φ(·)為標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。

在對數(shù)正態(tài)分布中，故障數(shù)據(jù)趨勢有更大向上波動的可能，在計算故障率時應當從分利用此特點。

1.2 指數(shù)分布

指數(shù)分布是研究故障時間數(shù)據(jù)模型中最常見的一種分布?？煽啃栽u估中，此方法通常用于描述對發(fā)生的失效數(shù)或系統(tǒng)故障數(shù)的評定結果。

設一隨機變量T符合指數(shù)分布，故障時間t的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：

式中：λ為指數(shù)分布的均值、方差以及尺度參數(shù)，且λ＞0。

指數(shù)分布的故障率函數(shù)與可靠度函數(shù)可用下式表示：

指數(shù)分布的失效率是與時間t無關的常數(shù)，所以計算方便，分布函數(shù)也相應簡單。機械零部件一般伴隨著疲勞損傷，腐蝕。老化等特性，而指數(shù)分布有明顯的無記憶特性，所以用指數(shù)分布描述故障時間分布模型時應當充分注意此特點。指數(shù)分布盡管不能作為機械零件性能參數(shù)的分布失效規(guī)律，但在復雜零部件和機械系統(tǒng)的失效分析中可近似的代替其失效分布。

1.3 Gamma 分布

Gamma 分布在特定場合下也可用來統(tǒng)計故障時間數(shù)據(jù)，設一隨機變量T符合指數(shù)分布，故障時間t的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：

故障率函數(shù)與可靠度函數(shù)可用下式表示：

式中：α為Gamma 分布的尺度參數(shù)；β為形狀參數(shù)；Γ(·)為Gamma 函數(shù)； Γ(a,b) 為不完全Gamma 函數(shù)；當α＜1 時，F(xiàn)(t|α,β)為遞減函數(shù)；當α＝1 時，F(xiàn)(t|α,β)為遞減函數(shù)；當α＞1時，F(xiàn)(t|α,β)為單峰函數(shù)。

由于Gamma 分布的故障率函數(shù)與可靠度函數(shù)用常規(guī)的方法很難求解，所以在可靠性領域使用此分布來描述時間故障模型有一定的局限性。

1.4 威布爾分布

威布爾分布被廣泛地應用于可靠性工程的評價中，其本身很好地彌補了指數(shù)分布的無記憶特性，所以很好地適用在伴隨有疲勞磨損、老化的機電類產品上。再加上其參數(shù)可以由概率值推斷，在各種壽命試驗的數(shù)據(jù)處理上威布爾分布都有著廣泛的作用。

設一隨機變量T符合威布爾分布，故障時間t的概率密度函數(shù)為：

累積分布函數(shù)為：

威布爾分布的故障率與可靠度函數(shù)分別為：

式中：α為威布爾分布尺度參數(shù)，β為其形狀參數(shù)，且有t＞0，α＞0，β＞0。當形狀參數(shù)β＜1 時，故障率逐漸遞減，一般用于描繪初期的故障數(shù)據(jù)時間分布；當β＞1 時，故障率逐漸遞增，此種情況出現(xiàn)在零部件和系統(tǒng)的損耗階段；當形狀參數(shù)β＝1 時，威布爾分布轉變?yōu)橹笖?shù)分布，此時故障率與時間無關。

2 故障數(shù)據(jù)的引入及處理

2.1 故障數(shù)據(jù)的引入

收集某型號數(shù)控機床一年內故障間隔數(shù)據(jù)如表1 所示，其中“+”代表截尾數(shù)據(jù)。

表1 故障時間間隔數(shù)據(jù)

由于上述數(shù)據(jù)收集來源于數(shù)控機床的使用廠家，在實際生產過程中各機床投入時間都不盡相同，再加上加工零件，加工時長，操作人員水平都有很大差異，還有部分機床在使用過程中會因某種原因產品轉移它處，這都形成了現(xiàn)場數(shù)據(jù)隨機截尾的特性。表中收集了12臺數(shù)控機床一年內的24個故障數(shù)據(jù)，其中就包含了10個截尾數(shù)據(jù)，若不剔除截尾數(shù)據(jù)的影響，將大大降低數(shù)據(jù)模型的精確性，也不利于研究和掌握數(shù)控機床的失效規(guī)律。

針對故障數(shù)據(jù)包含截尾數(shù)據(jù)且為小樣本的情況下，王秉剛[8]提出了故障總時間法，其使用場景是將5臺汽車的故障數(shù)據(jù)排序后整理到一臺汽車上，此方法不僅剔除了截尾數(shù)據(jù)的影響，使得模型準確度相應提高，也使得數(shù)據(jù)的處理量大大減少。

故障總時間法則的原理及計算方法如圖1 所示，以收集的3 臺數(shù)控機床故障數(shù)據(jù)為例，其中t11，t21，t22，…分 別 表 示第一臺數(shù)控機床的故障時間，第二臺數(shù)控機床的第一個故障時間，第二臺數(shù)控機床的第二個故障時間。tjs＝(t1s，t2s，t3s)表示第j號機床試驗截止時間?！啊ぁ北硎竟收宵c。

圖1 故障總時間法計算方法

圖1中各故障點的故障總時間的計算方法如下：

在不考慮故障數(shù)據(jù)屬于哪臺機床的情況下，按照圖1 所示方法可以得到發(fā)生故障時所有試驗機床運行的總時間t′，進而計算出受試機床平均發(fā)生故障的時間ti和累計平均故障總數(shù)N(ti)，計算公式如下：

2.2 故障數(shù)據(jù)的處理

將上述表中的故障間隔時間換算成機床具體發(fā)生的故障時間點，計算結果如表2所示。

表2 機床的具體故障時間點

將上述換算完成的故障時間按故障總時間法則計算每個故障點所對應的故障總時間，計算過程及結果如表3所示。

表3 各故障點對應的故障總時間

對表中的12臺型數(shù)控機床的故障總時間按式17計算可得到處理后的時間故障數(shù)據(jù)，這里不難發(fā)現(xiàn)，運用故障總時間法可以剔除相應的截尾數(shù)據(jù)。在小樣本（n＜20）時直接用式（19）計算累積故障時會相應的損失精度，這里使用如下的近似中位秩公式代替：

整理后的故障累積頻率結果如表4所示。

表4 故障累積頻率

3 模型的確立

以故障時間為橫坐標，經驗累積頻率為縱坐標作故障數(shù)據(jù)的累積頻率分布圖，如圖2所示。分析圖中頻率散點圖的趨勢，可以看出基于故障時間的經驗分布函數(shù)的擬合曲線有外凸趨勢，且無明顯拐點?？沙醪脚袛嘣摂?shù)控機床故障數(shù)據(jù)具有單調趨勢[9]?；谠摂?shù)據(jù)曲線無明顯拐點且為外凸，可以排除該分布為對數(shù)正態(tài)分布、Gamma 分布和逆高斯分布。進而可以判定該模型大致符合威布爾分布或者指數(shù)分布。

圖2 故障數(shù)據(jù)的累積頻率分布圖

使用統(tǒng)計圖分析法雖然對故障數(shù)據(jù)的單調性進行了初步的判斷，但圖示法并不能完全確立故障數(shù)據(jù)模型，這里還需要選用合適的統(tǒng)計法對故障數(shù)據(jù)的趨勢做嚴格的檢驗[10]。常用的統(tǒng)計方法有Laplace檢驗法、J檢驗法、V檢驗法等，每一種方法都有其合理適用性。上述統(tǒng)計圖圖分析法中已對故障數(shù)據(jù)的趨勢做出了初步的判斷，即指數(shù)分布或威布爾分布。這里選擇使用Laplace檢驗法確定該模型的最終分布。

設原假設H0：該分布為齊次泊松過程；備擇假設H1：具有單調趨勢。

檢驗統(tǒng)計量選擇如下：

且U～N(0,1)，給定顯著性水平α，當 |U|＜U1-α/2時，接受H0，否則接受H1。將表中的故障總時間t′i按Ti代入公式（21）所示的檢驗統(tǒng)計量，式中的T?為截尾數(shù)據(jù)之和，經計算U＝2.195 84，取α＝0.05，查表U1-α/2＝1.960。那么 |U|＞U1-α/2，即接收H1，拒絕H0，認為故障數(shù)據(jù)具有單調趨勢。

綜上，由圖示分析法和統(tǒng)計法檢驗結果，數(shù)控機床故障時間數(shù)據(jù)具有單調趨勢，符合威布爾分布模型。

4 結束語

本文在收集的數(shù)控機床故障數(shù)據(jù)的基礎下，運用故障總時間法有效地剔除截尾數(shù)據(jù)的影響，提高了建立故障數(shù)據(jù)模型的準確性。并利用圖示法和數(shù)理統(tǒng)計的方法確立了數(shù)控機床的故障數(shù)據(jù)符合兩參數(shù)威布爾分布模型，為之后的數(shù)控機床的可靠性評估打下了基礎。