付一鳴 王 珍 萬 峰 張洪清

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)礦業(yè)學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.本溪鋼鐵（集團(tuán)）礦業(yè)有限責(zé)任公司歪頭山鐵礦，遼寧 本溪 117000；3.黃河科技學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 450063；4.扎賚諾爾煤業(yè)有限責(zé)任公司，內(nèi)蒙古 滿洲里 021410）

0 引言

軟弱夾層是指在邊坡巖土體內(nèi)廣泛存在的不連續(xù)結(jié)構(gòu)面，由于其力學(xué)性質(zhì)薄弱，是導(dǎo)致邊坡發(fā)生滑坡災(zāi)害的重要因素。

軟弱夾層對(duì)邊坡穩(wěn)定性影響已成為當(dāng)下巖土工程中重要課題。現(xiàn)階段，邊坡工程領(lǐng)域常用的分析方法包括極限平衡法、極限分析法等方法［1］。上世紀(jì)20年代，學(xué)者Fellenius提出瑞典圓弧法［2］，該方法被認(rèn)為是極限平衡法的開端。之后，簡(jiǎn)化Bishop法［3］、Morgenstern-Price法［4］、Sarma法［5］等極限平衡法相繼提出并廣泛應(yīng)用。極限平衡法從力與力矩平衡角度進(jìn)行穩(wěn)定性求解，具有完善、成熟的理論體系。但極限平衡法弊端也是十分明顯的，該方法由于不能有效考慮巖土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，須引入大量假設(shè)條件才可解決邊坡穩(wěn)定性問題，而引入的假定條件會(huì)使該方法嚴(yán)密性不足［6］。自上世紀(jì)中期以來，隨著力學(xué)理論的快速發(fā)展，基于塑性力學(xué)中關(guān)聯(lián)及非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則衍生的極限分析法成為邊坡工程領(lǐng)域研究熱點(diǎn)。其中上限分析法從能量與速度的角度進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析，計(jì)算過程嚴(yán)謹(jǐn)，可解決邊坡巖土體破壞中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。學(xué)者Chen［7］率先將上限分析法應(yīng)用至邊坡工程領(lǐng)域，并詳細(xì)說明了上限分析法在邊坡穩(wěn)定性分析中的計(jì)算過程及程序?qū)崿F(xiàn)。學(xué)者Donald［8］將對(duì)邊坡破壞區(qū)域內(nèi)的巖土體進(jìn)行斜條分劃，提出斜條分法與平動(dòng)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)相結(jié)合的上限分析法，有效擴(kuò)寬了該方法的適用范圍。顯然，上限分析法在穩(wěn)定性分析中具有一定優(yōu)點(diǎn)，但由于計(jì)算的限制，該方法在含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性分析中應(yīng)用較少。

為解決該問題，本項(xiàng)目應(yīng)用力學(xué)理論分析的方法建立含軟弱夾層邊坡破壞機(jī)構(gòu)，基于最小二乘法擬合推導(dǎo)邊坡巖土體外力功率及內(nèi)能耗散率計(jì)算公式，并結(jié)合上限分析定理以及強(qiáng)度折減原理，編制含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性分析循環(huán)程序，最終達(dá)到含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性上限分析法求解的目標(biāo)。

1 邊坡穩(wěn)定性分析

1.1 破壞機(jī)構(gòu)的構(gòu)建

由于軟弱夾層力學(xué)性質(zhì)薄弱，對(duì)于含軟弱夾層邊坡，其潛在破壞模式為以軟弱夾層為底界面的剪切—順層破壞。由于含軟弱夾層邊坡破壞時(shí)部分巖土體沿弱層面滑動(dòng)，因此邊坡破壞機(jī)構(gòu)由轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)和平動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)兩部分共同構(gòu)成。對(duì)于含軟弱夾層邊坡，巖土體黏聚力為c1，內(nèi)摩擦角為?1，容重為γ1，軟弱夾層黏聚力為c2，內(nèi)摩擦角為?2，容重為γ2，則該邊坡破壞機(jī)構(gòu)如圖1所示。

圖1中，邊坡高度為h，坡面角為α，軟弱夾層傾角為β，破壞機(jī)構(gòu)由轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)（對(duì)數(shù)螺旋線AM）與平動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)（軟弱夾層線CM）共同構(gòu)成。

1.2 計(jì)算模型的建立

計(jì)算模型的建立是進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析的重要基礎(chǔ)，上限分析法是從能量和速度的角度進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析，因此分別建立邊坡幾何模型與運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并將2種模型結(jié)合進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

1.2.1 幾何模型的建立

圖1中，r為轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)與旋轉(zhuǎn)中心連線的線段距離，m；θ為轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)與旋轉(zhuǎn)中心連線的線段水平向夾角，rad；則該邊坡轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)方程可表示為

式中，a為方程待定參數(shù)。

以旋轉(zhuǎn)中心O點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以水平方向以及豎直方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的X軸、Y軸，建立直角坐標(biāo)系。則根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，式（1）可進(jìn)一步表示為

顯然，式（2）是只關(guān)于x、y2個(gè)未知數(shù)的隱函數(shù)，同時(shí)該隱函數(shù)無法進(jìn)行有效的顯化處理。因此，本研究采用最小二乘法的方式對(duì)該隱函數(shù)進(jìn)行擬合。由于邊坡破壞機(jī)構(gòu)為嚴(yán)格增函數(shù)，因此只對(duì)增區(qū)間內(nèi)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，令擬合結(jié)果為x=f（a，y）。

同時(shí)，在直角坐標(biāo)系下，令該邊坡的坡底線方程為y=y0，則該邊坡的坡頂線方程為y=y0+h。邊坡坡面角為α，軟弱夾層傾角為β，則坡面方程f（y）以及軟弱夾層方程g（y）可分別表示為

式中，b、c分別為坡面方程及軟弱夾層方程中的待定參數(shù)。

圖1中，對(duì)數(shù)螺旋線與軟弱夾層相交點(diǎn)為M，令M點(diǎn)坐標(biāo)為（xm，ym），則平面直角坐標(biāo)系下直線OM方程可表示為

直線OM將邊坡破壞區(qū)域劃分為兩部分，直線OM上部（曲變形ABPM）為轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域，該區(qū)域應(yīng)用幾何公式可表示為

直線OM下部（三角形CPM）為平動(dòng)破壞區(qū)域，該區(qū)域應(yīng)用幾何公式可表示為

式（5）和式（6）中，yp為P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可通過邊坡坡面方程f（y）與直線OM方程m（y）結(jié)合求得。

1.2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立

曲變形ABPM為轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)滑體以固定角速度ω繞旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，則該區(qū)域內(nèi)滑體速度可表示為

三角形CPM為平動(dòng)破壞區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)滑體以固定線速度平動(dòng)運(yùn)動(dòng)。邊坡破壞區(qū)域內(nèi)形成多塊體的破壞模式，相鄰的塊體之間應(yīng)滿足速度相容關(guān)系［9］。M點(diǎn)速度相容關(guān)系如圖2所示。

圖2中vm為轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域滑體速度，v2為平動(dòng)破壞區(qū)域滑體速度，v'為OM上塊體相對(duì)速度。顯然，線段OM、軟弱夾層CM均為速度間斷面。根據(jù)圖2中的速度相容關(guān)系圖，可確定平動(dòng)破壞區(qū)域滑體速度v2可表示為

1.3 上限分析計(jì)算

上限分析法是從能量與速度的角度進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析，其理論基礎(chǔ)為當(dāng)邊坡坡體內(nèi)的巖土體處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，外力功率應(yīng)該等于其內(nèi)部能量耗散率。因此，下文對(duì)含軟弱夾層邊坡破壞區(qū)域巖土體外力功率以及內(nèi)能耗散率分別進(jìn)行計(jì)算。

1.3.1 外力功率計(jì)算方法

自然狀態(tài)下，含軟弱夾層邊坡坡體內(nèi)外力功率由重力提供，因此：

式中，E為含軟弱夾層邊坡坡體內(nèi)的外力功率，kW；dS為任意取出的面積微元，m2；v為該微元對(duì)應(yīng)的重力方向分速度，m/s。

由于轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域與平動(dòng)破壞區(qū)域速度求解方式不同，因此分別對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域與平動(dòng)破壞區(qū)域外力功率進(jìn)行求解。

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域，面積微元在重力方向上分速度為v1cosθ，根據(jù)式（7）重力方向分速度可簡(jiǎn)化為ωx，則轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域外力功率E1可表示為

對(duì)于平動(dòng)破壞區(qū)域，面積微元在重力方向上分速度為v2sin(β??2)，則平動(dòng)破壞區(qū)域外力功率E2可表示為

該邊坡破壞區(qū)域外力功率可通過轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域外力功率E1與平動(dòng)破壞區(qū)域外力功率E2二者相加求得，即E=E1+E2。

1.3.2 內(nèi)能耗散率計(jì)算方法

傳統(tǒng)的力學(xué)理論認(rèn)為，摩擦能耗與剪脹能耗恰好可以抵消，因此含軟弱夾層邊坡破壞區(qū)域內(nèi)能耗散全部由黏聚力提供，且全部集中于速度間斷面上。圖1中邊坡速度間斷面由對(duì)數(shù)螺旋線AM、軟弱夾層CM以及線段OM三部分構(gòu)成，因此，分別對(duì)上述三部分內(nèi)能耗散率求解。

式中，θ0為線段OA的水平方向夾角，rad；r0為線段OA的長(zhǎng)度，m；θ1為線段OM的水平方向夾角，rad；r1為線段OM的長(zhǎng)度，m。

根據(jù)2點(diǎn)之間的距離計(jì)算公式，對(duì)圖1中AM上的內(nèi)能耗散率可表示為

對(duì)于軟弱夾層CM，平動(dòng)破壞區(qū)域滑體在軟弱夾層方向上分速度為v2cos?2，因此圖1中軟弱夾層CM上的內(nèi)能耗散率D2可表示為

對(duì)于速度間斷面OM，轉(zhuǎn)動(dòng)破壞區(qū)域滑體在OM方向上分速度為0，平動(dòng)破壞區(qū)域滑體在OM方向上分速度為v2sin2?2。因此OM上內(nèi)能耗散率D3可表示為

則該邊坡內(nèi)能耗散率可通過三部分內(nèi)能耗散率相加求得，即D=D1+D2+D3。

1.3.3 強(qiáng)度折減運(yùn)算

上文中給出了含軟弱夾層邊坡功率的計(jì)算方法，為使含軟弱夾層邊坡逐漸過渡至極限平衡狀態(tài)，同時(shí)考慮到利于計(jì)算機(jī)編程的需求，本研究結(jié)合強(qiáng)度折減法進(jìn)行穩(wěn)定性分析，其公式為

式中，F(xiàn)為強(qiáng)度折減系數(shù)。顯然，通過人工計(jì)算的手段將含軟弱夾層邊坡折減到極限平衡狀態(tài)十分復(fù)雜，本項(xiàng)目借助計(jì)算機(jī)編程技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)于含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性分析的強(qiáng)度折減。

1.3.4 計(jì)算機(jī)循環(huán)編程

強(qiáng)度折減規(guī)律表明，當(dāng)巖土體強(qiáng)度折減系數(shù)等于邊坡穩(wěn)定系數(shù)時(shí)，含軟弱夾層邊坡破壞區(qū)域外力功率與內(nèi)能耗散率二者恰好相等。同時(shí)，強(qiáng)度折減系數(shù)與二者比值呈現(xiàn)嚴(yán)格相關(guān)性?；谏鲜鎏匦裕卷?xiàng)目構(gòu)建函數(shù)ε=（D/E-1）min，顯然函數(shù)ε在［0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，可采用二分法進(jìn)行穩(wěn)定系數(shù)求解。同時(shí)為使程序可有效終止，本項(xiàng)目將滿足∣ε∣≤0.001近似為計(jì)算零點(diǎn)，并作為邊坡穩(wěn)定性分析程序的終止條件。

經(jīng)過邊坡穩(wěn)定性分析二分法計(jì)算流程可輸出滿足∣ε∣≤0.001的折減系數(shù)。同時(shí)當(dāng)D/E-1取得最小值時(shí)，根據(jù)各參數(shù)值可繪制邊坡滑裂面。該折減系數(shù)及滑裂面形態(tài)即為邊坡穩(wěn)定系數(shù)及最危險(xiǎn)滑面，因此可最終實(shí)現(xiàn)含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性分析的目標(biāo)。

2 算例分析

某露天礦山形成的邊坡坡高為120 m，坡面角α=25°，巖性為炭質(zhì)泥巖，粘聚力c1=150 kPa，內(nèi)摩擦角?1=30°，容重γ1=20 kN/m3。邊坡巖土體內(nèi)發(fā)育有通過邊坡坡趾的軟弱夾層，傾角β=5°，黏聚力c2=30 kPa，內(nèi)摩擦角?2=10°，容重γ2=12 kN/m3，邊坡形態(tài)及破壞機(jī)構(gòu)如圖3所示。

2.1 邊坡穩(wěn)定性計(jì)算

根據(jù)計(jì)算流程，選取初始值a1=0，b1=3，則在第一次的循環(huán)程序中，中值F1=1.5。經(jīng)過強(qiáng)度折減后c1'=100 kPa，?1'=21.05°，c2=20 kPa，?2'=6.7°，則對(duì)數(shù)螺旋線AM的表達(dá)式為

函數(shù)增區(qū)間為y∈（-0.417a，-1.831a），對(duì)區(qū)間內(nèi)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，擬合結(jié)果為

同時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系下，邊坡坡底線方程為y=y0，坡頂線方程為y=y0+120，邊坡坡面方程為f（y）=2.145y+b，軟弱夾層方程為g（y）=11.43y+c，直線OM方程為m（y）=xm×y/ym。則含軟弱夾層邊坡功率計(jì)算公式可分別表示為

為確定內(nèi)能耗散率與外力功率的比值，應(yīng)針對(duì)邊坡工程特性給出相應(yīng)的約束條件。根據(jù)邊坡工程實(shí)踐，各參數(shù)應(yīng)滿足以下方面約束條件：①邊坡坡面與軟弱夾層相交于邊坡坡趾C點(diǎn)，則約束條件為f（y0）=g（y0）；②對(duì)數(shù)螺旋線與軟弱夾層相交于點(diǎn)M，則約束條件為xm=g（ym）=f（a，ym）；③邊坡坡面與直線OM相交于點(diǎn)P，則約束條件為xp=f（yp）=f（a，yp）；④對(duì)數(shù)螺旋線位于第四象限增區(qū)間，則約束條件為 -0.417a≤ym≤-1.831a，-0.417a≤y0+120≤-1.831a；⑤邊坡破壞機(jī)構(gòu)位于邊坡坡面內(nèi)部，則約束條件為f（a，y）-f（y）≥0，y∈（ym，y0）。

根據(jù)內(nèi)能耗散率與外力功率計(jì)算公式以及上述約束條件，可求得D/E-1的最小值ε。第一次循環(huán)中，強(qiáng)度折減系數(shù)F=1.5，求得ε<-0.001，不滿足∣ε∣≤0.001的程序終止要求，因此進(jìn)入下一次循環(huán)。反復(fù)執(zhí)行運(yùn)算可最終輸出滿足∣ε∣≤0.001的折減系數(shù)，循環(huán)計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1表明：經(jīng)過11次循環(huán)，輸出的計(jì)算結(jié)果滿足∣ε∣≤0.001要求，此時(shí)折減系數(shù)為1.195，則該邊坡穩(wěn)定系數(shù)Fs=1.195。同時(shí)，根據(jù)各參數(shù)值可繪制含軟弱夾層邊坡最危險(xiǎn)滑面，上限分析法穩(wěn)定性分析結(jié)果見后文圖4。

2.2 計(jì)算結(jié)果評(píng)價(jià)

根據(jù)前文中分析可知，上限分析法和極限平衡法分析角度完全不同，但對(duì)于同一邊坡，其穩(wěn)定性分析結(jié)果應(yīng)是一致的?？紤]到極限平衡法中簡(jiǎn)化Janbu法對(duì)于含軟弱夾層邊坡具有良好適用性，因此選取簡(jiǎn)化Janbu法對(duì)上限分析法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)。簡(jiǎn)化Janbu法穩(wěn)定性分析結(jié)果如圖4所示。

從穩(wěn)定系數(shù)的角度分析，兩方法計(jì)算偏差小于5%，表明兩方法都具備較高的準(zhǔn)確性。簡(jiǎn)化Janbu法雖然對(duì)于含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性具有良好適用性，但由于其求解結(jié)果并非嚴(yán)格的上限解或下限解，計(jì)算誤差無法估算。而上限分析法對(duì)于含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算結(jié)果為嚴(yán)格上限解，計(jì)算誤差可通過工程經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行消除［10］。

從最危險(xiǎn)滑面形態(tài)的角度分析，兩方法最危險(xiǎn)滑面在軟弱夾層處交點(diǎn)位置近似相同，表明兩方法求得的最危險(xiǎn)滑面平動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)形態(tài)近似相同。相比于簡(jiǎn)化Janbu法，上限分析法最危險(xiǎn)滑面起始點(diǎn)更靠近于邊坡后部，表明兩方法最危險(xiǎn)滑面轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)形態(tài)存在一定差異。上限分析法求得最危險(xiǎn)滑面轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)形態(tài)為對(duì)數(shù)螺旋線，而剩余推力法求得最危險(xiǎn)滑面轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)形態(tài)為圓弧線，根據(jù)Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，上限分析法求得的最危險(xiǎn)滑面形態(tài)可有效滿足巖土體材料的速度分離要求。因此從最危險(xiǎn)滑面形態(tài)的角度分析，上限分析法計(jì)算結(jié)果具有更強(qiáng)的工程實(shí)踐意義。

3 結(jié) 論

（1）應(yīng)用力學(xué)理論分析構(gòu)建了滿足關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則及速度分離要求的含軟弱夾層邊坡破壞機(jī)構(gòu)。

（2）建立了含軟弱夾層邊坡破壞機(jī)構(gòu)幾何模型和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并基于最小二乘擬合的方式推導(dǎo)了含軟弱夾層邊坡破壞機(jī)構(gòu)外力功率及內(nèi)能耗散率計(jì)算公式。

（3）綜合應(yīng)用上限分析定理和強(qiáng)度折減原理，編制了含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性上限分析法計(jì)算機(jī)循環(huán)程序，并通過工程算例對(duì)上限分析法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)，充分驗(yàn)證了該方法計(jì)算結(jié)果的可靠性。