劉陳續(xù)，于桂蘭

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

周期結(jié)構(gòu)是指多個相同的基本單元在空間上周期性分布組合而成的結(jié)構(gòu)，如周期分布的樁基礎、多跨連續(xù)梁橋和高層建筑等.周期結(jié)構(gòu)的特性使其能夠產(chǎn)生相對于彈性波而言的頻率衰減域，即在頻率衰減域范圍內(nèi)的彈性波在通過周期結(jié)構(gòu)時會被抑制或禁止，該特性產(chǎn)生的機理主要有兩種：布拉格散射[1]和局域共振[2].

周期結(jié)構(gòu)的研究與設計要求研究人員具備豐富的經(jīng)驗和理論知識，且對計算設備的要求較高.神經(jīng)網(wǎng)絡是實現(xiàn)人工智能(AI)的一種重要技術，如今神經(jīng)網(wǎng)絡的發(fā)展如火如荼，漸漸發(fā)展形成了一個新的分支——深度學習[3]，在情感分析、自動駕駛和語音識別等領域發(fā)揮著重要的作用[4-7].近年來，在對應于光波和電磁波的光子晶體和超材料領域，用神經(jīng)網(wǎng)絡進行預測和設計的研究已經(jīng)取得了一定的成果.文獻[8]用多層感知器和極限學習機預測了光子晶體的能帶曲線.Liu等[9]采用一種深度學習模型實現(xiàn)了光子晶體的反向設計.Ma等[10]提出了一種半監(jiān)督學習的神經(jīng)網(wǎng)絡模型，能夠依據(jù)設計要求直接輸出超材料的拓撲結(jié)構(gòu).而對于彈性波(聲波)卻鮮有文獻涉及，Liu等[11]利用自動編碼器實現(xiàn)了基于能帶理論的層狀周期結(jié)構(gòu)的反向設計.

層狀周期結(jié)構(gòu)是一種一維周期結(jié)構(gòu)，即在空間上結(jié)構(gòu)沿一個方向呈周期性的變化，國內(nèi)外學者對其做了大量研究.Xiang等[12]通過實驗驗證了層狀周期結(jié)構(gòu)對于環(huán)境振動的衰減效果.Shi等[13]將由混凝土層以及橡膠磚構(gòu)成的地基基礎等效成層狀周期結(jié)構(gòu)，并研究了該基礎的隔振性能.Huang等[14]通過數(shù)值分析研究了層狀周期結(jié)構(gòu)對表面波的隔振效果.

計算周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的方法有解析法和數(shù)值法等，但這些方法較為復雜且計算時間較長.神經(jīng)網(wǎng)絡可以根據(jù)輸入快速準確地給出相應的輸出，使用神經(jīng)網(wǎng)絡預測周期結(jié)構(gòu)的特性能夠極大地便利周期結(jié)構(gòu)的研究與設計.本文采用兩種神經(jīng)網(wǎng)絡——深層反向傳播(BP)神經(jīng)網(wǎng)絡和徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡，實現(xiàn)對層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的預測.神經(jīng)網(wǎng)絡作為一種快速預測技術，能夠很好地輔助周期結(jié)構(gòu)的設計.同時，層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的預測成功也為二維和三維周期結(jié)構(gòu)的分析和智能反向設計打下了基礎.

1 問題描述

層狀周期結(jié)構(gòu)屬于一維周期結(jié)構(gòu)，其基本單元由多種材料層層疊合而成，可以作為波屏障和隔振基礎[12-14].在剪切橫(SH)波作用下，二組元層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的預測如圖1所示.周期結(jié)構(gòu)由m個基本單元構(gòu)成，其在水平方向上無限延伸；SH波以傾角θ入射.其中：d為基本單元的厚度；dA和dB分別為一個基本單元內(nèi)材料A和材料B的厚度.考慮小變形，假定材料為理想連續(xù)線彈性介質(zhì)且阻尼為0.

圖1 層狀周期結(jié)構(gòu)Fig.1 Layered periodic structure

對于層狀周期結(jié)構(gòu)，可采用傳遞矩陣法[15]求解其能量傳輸譜，推導過程如下：

當SH波斜入射到層狀周期結(jié)構(gòu)時，其波動方程可表示為

(1)

式中：u(y,z,t)為結(jié)構(gòu)在x方向上的位移；G為材料的切變模量；ρ為材料的質(zhì)量密度；t為時間.

當考慮時諧平面波時，可假設

u(y,z,t)=U(z)eikyy-iω t

(2)

式中：ω為角頻率；ky為SH波在y方向上的波數(shù),由Snell定理可得ky為常數(shù).將式(2)代入式(1)可得第n個基本單元中材料A和材料B的位移和應力分別為

(3)

i=A,B

(4)

i=A,B

當i=A時，(n-1)d≤z≤(n-1)d+dA；當i=B時，(n-1)d+dA≤z≤na.

(5)

根據(jù)兩種材料界面處的位移和應力連續(xù)條件即可得相鄰基本單元間的傳遞矩陣T.對于含有m個基本單元的層狀周期結(jié)構(gòu)，位移和應力在兩端邊界處成立如下關系

(6)

其中Tm可以簡記為

(7)

為了更好地反映衰減情況，定義能量傳遞系數(shù)為透射波與入射波能量比值的對數(shù)，即

(8)

式中：Pin為入射波能量；Pout為SH波經(jīng)過m層周期結(jié)構(gòu)后的透射波能量.

由式(3)～(8)可得到能量傳遞系數(shù)的表達式如下：

Γ=

(9)

若材料A為鋁(GAl=28.7 GPa,ρAl=2 730 kg/m3)，材料B為環(huán)氧樹脂(Ge=1.59 GPa,ρe=1 180 kg/m3)，一個基本單元中dA=0.5 m，dB=0.5 m，m=8，不同入射角度下的能量傳輸譜如圖2所示.從圖2中可以看出，SH波在通過層狀周期結(jié)構(gòu)時，其能量在某些頻率范圍內(nèi)有明顯的衰減.就前兩個頻率的衰減域而言，隨著入射角度的增大，能量傳輸譜的衰減幅值逐漸減小，衰減域的中心頻率略向高頻移動.

圖2 “鋁-環(huán)氧樹脂”層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜隨SH波入射角度的變化Fig.2 Variation of energy transmission spectrums of layered periodic structure of “aluminum-epoxy resin” with SH wave incident angles

由式(9)可以看出，層狀周期結(jié)構(gòu)的能量傳輸譜與其結(jié)構(gòu)參數(shù)構(gòu)成映射關系，即每一組結(jié)構(gòu)參數(shù)可以唯一對應結(jié)構(gòu)的能量傳輸譜.如果把結(jié)構(gòu)參數(shù)當作“輸入”，能量傳輸譜當作“輸出”，則可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡來智能處理“輸入”與“輸出”的關系.神經(jīng)網(wǎng)絡通過對數(shù)據(jù)的學習來調(diào)節(jié)自身的參數(shù)值，最終可以找到數(shù)據(jù)中輸入與輸出的關系來模擬一個特定的函數(shù)，并能夠準確和快速地將輸入映射到輸出上，其計算速度可達毫秒量級.但是，在數(shù)據(jù)充足的情況下，如何選擇一個合適的神經(jīng)網(wǎng)絡模型模擬一個特定的函數(shù)關系是十分重要的，這直接影響著神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度.

層狀周期結(jié)構(gòu)的能量傳輸譜變化較為復雜，簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡模擬很難滿足高精度要求.所構(gòu)建的深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡很好地解決了這個問題，并與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡進行了對比分析.

2 數(shù)據(jù)集與神經(jīng)網(wǎng)絡

2.1 數(shù)據(jù)集

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡有很好的泛化能力，具有模型簡單、訓練速度快等優(yōu)點，如圖3所示.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡由一個輸入層、一個隱含層和一個輸出層組成，輸入層到隱含層無權重連接，而隱含層到輸出層有權重連接，神經(jīng)元為徑向基函數(shù).RBF神經(jīng)網(wǎng)絡需要調(diào)節(jié)的參數(shù)有兩類，一類是徑向基函數(shù)的中心，另一類是隱含層到輸出層的權重.

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡Fig.3 RBF neural network

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡采用的徑向基函數(shù)為多元二次函數(shù)，其表達式為

(10)

式中：x為一組輸入值；c為徑向基函數(shù)的中心；δ為形狀參數(shù).對于徑向基函數(shù)中心點的計算，采用K-Means法，其表達式為

(11)

式中：S={S1,S2,…,Sk}為所有樣布輸入數(shù)據(jù)的集合，Si是S中的一個子集，由一個或多個樣本輸入數(shù)據(jù)組成；ci為Si中所有輸入數(shù)據(jù)的均值.采用線性回歸法計算RBF神經(jīng)網(wǎng)絡中的權重，其公式為

(12)

式中：β為權重；ytr為樣本標簽(即真實值)；yNN為訓練時RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出值.

2.3 深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡

與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡不同，BP神經(jīng)網(wǎng)絡每層之間都由權重和偏差相連，并通過激活函數(shù)傳遞到下一層，其隱含層層數(shù)可以是多層的，如圖4所示.在以往的文獻中，大部分BP神經(jīng)網(wǎng)絡的隱含層一般不超過3層，導致其泛化能力不強.由于當時算法的限制，若隱含層層數(shù)較多，可能會出現(xiàn)梯度爆炸或者梯度消散的現(xiàn)象.而且當時的硬件水平較為落后，增加隱含層層數(shù)意味著需要調(diào)節(jié)的神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)增多，一般的計算機很難承擔起如此龐大的運算工作.如今神經(jīng)網(wǎng)絡技術飛速發(fā)展，計算機硬件性能日益更新，使得訓練基于大數(shù)據(jù)的深層神經(jīng)網(wǎng)絡成為可能.

圖4 深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡Fig.4 Deep BP neural network

2.3.1激活函數(shù) 選取的激活函數(shù)有兩種，一種是tanh函數(shù)，其能夠使神經(jīng)網(wǎng)絡具有很好的非線性模擬能力；另一種是elu函數(shù)，其可以較好地緩解梯度消散的問題.其公式如下：

式中：p為預激活值；ε為可調(diào)參數(shù).隱含層神經(jīng)元采用的是tanh激活函數(shù)，輸出層神經(jīng)元采用的是elu激活函數(shù).

2.3.2優(yōu)化算法 經(jīng)驗性結(jié)果證明，Adam算法在實踐中具有良好的性能，與其他隨機優(yōu)化算法相比具有較大的優(yōu)勢[17].因此，采用Adam算法優(yōu)化梯度下降法，用于調(diào)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡的參數(shù)，其公式如下：

(15)

φt=ι1φt-1+(1-ι1)gt

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

2.3.3代價函數(shù) 代價函數(shù)為均方差(MSE)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡能夠很好地估計有限樣本的后驗概率.對于深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡，采用MSE作為其代價函數(shù)，其表達式為

(21)

3 結(jié)果和討論

分別利用深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測層狀周期結(jié)構(gòu)的能量傳輸譜.考慮單參數(shù)、雙參數(shù)和三參數(shù)變化的3種情況.單參數(shù)預測考慮填充比變化；雙參數(shù)預測考慮切變模量比和密度比變化；三參數(shù)預測同時考慮填充比、切變模量比和密度比的變化.

對于預測精度的衡量標準，采用神經(jīng)網(wǎng)絡預測值與真實值(即標簽)中每個點的平均絕對誤差的絕對值，即

(22)

3種情況下訓練深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡時代價函數(shù)的收斂曲線如圖5所示，其中Q為迭代次數(shù).從圖5中可以看出，3種情況下代價函數(shù)均收斂到了較小的值，由于對代價函數(shù)的數(shù)值取了對數(shù)，所以及其微小的變化也會使圖中的收斂曲線顯示出較大的振蕩，這說明深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡對于訓練集的學習效果較好.

圖5 3種情況下深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡代價函數(shù)的收斂曲線Fig.5 Convergence curves of cost function for deep BP neural networks under three conditions

3.1 單參數(shù)變化

單參數(shù)變化時，數(shù)據(jù)集由訓練集 I 和測試集 I 組成.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)為“1-15-100”，其中，“1”為輸入層的維度，“15”為隱含層神經(jīng)元的數(shù)目，“100”為輸出層神經(jīng)元的數(shù)目；深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)為“1-100-60-30-20-60-100”，其中，“1”為輸入層的維度，最后一個“100”為輸出層神經(jīng)元的數(shù)目，其他數(shù)字表示相應隱含層神經(jīng)元的數(shù)目.測試集Ⅰ中神經(jīng)網(wǎng)絡預測值與真實值(標簽)的對比如圖6所示.由圖6可知，僅10組樣本數(shù)據(jù)訓練的深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡獲得了較滿意的預測結(jié)果，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡的預測值與真實值的吻合度較高且精度相近.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測誤差分別為0.39、0.48和0.58；深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測誤差分別為0.36、0.47和0.59.兩種神經(jīng)網(wǎng)絡預測一組數(shù)據(jù)所需時間約為2 ms.

圖6 能量傳輸譜預測值與真實值對比(3個測試樣本) Fig.6 Comparison of predicted values of energy transmission spectrum with real values (3 test samples)

3.2 雙參數(shù)變化

雙參數(shù)變化時，數(shù)據(jù)集由訓練集 II 和測試集 II 組成.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)為“2-100-100”；深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡為“2-100-60-30-20-60-100”.測試集 II 中4組神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結(jié)果與真實值的對比如圖7所示.從圖7中可以看出，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度都很高，尤其是衰減域頻率范圍和低頻區(qū)能量傳遞系數(shù)與真實值吻合得很好，僅圖7(d)中RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結(jié)果稍偏離了真實值.測試集中兩種神經(jīng)網(wǎng)絡預測誤差的統(tǒng)計圖如圖8所示.其中：J為樣本數(shù).由圖8可知，深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測效果更好.

圖7 能量傳輸譜預測值與真實值對比(30個測試樣本中的4組)Fig.7 Comparison of predicted values of energy transmission spectrum with real values (4 groups out of 30 test samples)

圖8 兩種神經(jīng)網(wǎng)絡預測值的誤差統(tǒng)計(30個測試樣本)Fig.8 Error statistics for two neural network predictions (30 test samples)

3.3 三參數(shù)變化

三參數(shù)變化時，數(shù)據(jù)集由訓練集 III 和測試集 III 組成.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)為“3-1 000-100”；深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡為“3-300-100-80-80-80-80-60-60-60-60-100”，共10個隱含層.測試集 III 中4組神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結(jié)果與真實值的對比如圖9所示.從圖9中的4組結(jié)果可以看出，深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測值與真實值吻合得較好，但是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結(jié)果出現(xiàn)了極大的偏離.測試集中兩種神經(jīng)網(wǎng)絡預測誤差的統(tǒng)計圖如圖10所示.從圖10中可以看出，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度極不穩(wěn)定，300組測試樣本中接近一半的預測結(jié)果誤差大于0.50，其中最大誤差達到18.35；而深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡依然發(fā)揮著很好的性能，最大誤差僅為0.33，90%的樣本誤差落在(0.14，0.26).

圖9 能量傳輸譜預測值與真實值對比(300個測試樣本中的4組)Fig.9 Comparison of predicted values of energy transmission spectrum with real values (4 groups out of 300 test samples)

圖10 兩種神經(jīng)網(wǎng)絡預測值的誤差統(tǒng)計(300個測試樣本)Fig.10 Error statistics for two neural network predictions (300 test samples)

4 結(jié)語

通過構(gòu)建深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡，實現(xiàn)了層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的精準預測，分別考慮了幾何參數(shù)和物理參數(shù)單獨變化及同時變化3種情況并與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡進行了對比.研究結(jié)果表明：當僅考慮填充比變化時，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度較高，且性能相近；當考慮切變模量比和密度比同時變化時，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結(jié)果都較好，但深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡的性能更優(yōu)；當同時考慮填充比、切變模量比和密度比變化時，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡的表現(xiàn)差異很大.深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測精度高且性能穩(wěn)定，預測誤差范圍為0.10～0.34；而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度極不穩(wěn)定，其測試集樣本的預測誤差范圍為0.10～18.35，其中接近一半的誤差超過0.50.

利用神經(jīng)網(wǎng)絡實現(xiàn)周期結(jié)構(gòu)的正向預測是實現(xiàn)其反向設計的前提.傳統(tǒng)的周期結(jié)構(gòu)反向設計的方法是將機器學習與解析法或數(shù)值法結(jié)合，比如遺傳算法結(jié)合有限元法.由于解析法和數(shù)值法計算較慢，采用以上方法設計一個周期結(jié)構(gòu)所需的時間較長.若用神經(jīng)網(wǎng)絡替代解析法或數(shù)值法，即可以結(jié)合遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡，用神經(jīng)網(wǎng)絡輔助計算遺傳算法中個體的適應度，這將能省去大量的計算時間.

通過神經(jīng)網(wǎng)絡實現(xiàn)了層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的智能預測，對于不同的幾何參數(shù)和物理參數(shù)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡均可以快速、準確地預測出衰減域的頻率范圍及衰減幅度，避免了大量經(jīng)驗性嘗試所帶來的計算資源消耗.神經(jīng)網(wǎng)絡預測可以作為周期結(jié)構(gòu)設計的一種輔助工具，在快速準確地預測出結(jié)構(gòu)傳輸譜的基礎上，針對環(huán)境振動或地震動領域減隔振問題需求，結(jié)合遺傳算法或其他方法能夠快速找到符合設計要求的結(jié)構(gòu)，對于減振分析及設計具有重要的意義.對于層狀周期結(jié)構(gòu)傳輸譜的成功預測也為二維和三維周期結(jié)構(gòu)分析以及周期結(jié)構(gòu)的智能反向設計提供了參考.