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        基于雙層禁忌搜索算法的共享單車再平衡問(wèn)題

        2021-01-15 10:34:06張超勇張道德任亞平孟磊磊
        關(guān)鍵詞:分塊貨車單車

        呂 暢,張超勇+,張道德,任亞平,孟磊磊

        (1.華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢 430074;2.湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,湖北 武漢 430068;3.聊城大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院,山東 聊城 252059)

        0 引言

        共享單車系統(tǒng)(Bike Sharing System, BSS)1965年起源于荷蘭,是一種低碳環(huán)保的出行方式。國(guó)內(nèi)近10年發(fā)展勢(shì)頭猛烈,由其衍生而來(lái)的共享電動(dòng)車,共享汽車也開(kāi)始進(jìn)入人們的視線。但無(wú)論如何變化,共享單車的再平衡問(wèn)題(Bike Sharing Rebalancing Problem, BSRP),即如何解決各個(gè)共享站點(diǎn)供需平衡﹑降低再平衡作業(yè)成本提升作業(yè)效率,是BSS亟需解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。與一般的路徑規(guī)劃問(wèn)題相比,BSRP需要在每一個(gè)站點(diǎn)處進(jìn)行放置或取走多少數(shù)量貨物的決策,由于調(diào)度貨車載量的限制,該決策又勢(shì)必影響到訪問(wèn)站點(diǎn)的選擇,極大增添了問(wèn)題的復(fù)雜度。Ho等[1]在2014年已證明BSRP屬于NP-hard問(wèn)題,由于該問(wèn)題具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,受到社會(huì)以及學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。

        實(shí)際的BSS通常規(guī)模大、站點(diǎn)數(shù)量多、倉(cāng)庫(kù)不唯一,所需調(diào)度車輛較多,但若減少調(diào)度車輛,由于車載上限,將導(dǎo)致多次往返,增加行駛路程。因此,允許站點(diǎn)臨時(shí)??恳约岸啻卧L問(wèn),極大增添了再平衡作業(yè)模型的靈活性,Chemla等[2]建立了允許站點(diǎn)的臨時(shí)停靠以及多次訪問(wèn)的共享單車再平衡問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,并獲得了不錯(cuò)的效果;Erdogan等[3]所提出的模型也允許多次訪問(wèn)和臨時(shí)???,并通過(guò)精確算法獲得60站點(diǎn)內(nèi)的最優(yōu)解。

        站點(diǎn)分組訪問(wèn)的思想源于Baldacci等[4]所提出的集群車輛路徑(Grouping Vehicle Routing Problem, GVRP)模型,在該模型中站點(diǎn)被分為不同的站點(diǎn)族,每輛調(diào)度貨車必須訪問(wèn)每個(gè)族內(nèi)的至少一個(gè)站點(diǎn)。Battarra等[5]2013年提出CVRP模型,將其訪問(wèn)形式作了調(diào)整,規(guī)定調(diào)度貨車必須將該站點(diǎn)族內(nèi)所有站點(diǎn)全部訪問(wèn)后才能進(jìn)行下一個(gè)族的訪問(wèn)。Forma等[6]將該分組思想成功應(yīng)用到了BSRP中,3-step中的第一步便是根據(jù)站點(diǎn)的距離以及庫(kù)存特性生成站點(diǎn)族,其模型以及解決方案能獲得125站點(diǎn)以內(nèi)的較優(yōu)解。國(guó)內(nèi)學(xué)者葉錦程等[7]也提出了類似的分組訪問(wèn)模型——子群劃分,較好地減少了調(diào)度點(diǎn)數(shù)量以及調(diào)度路程。類似于站點(diǎn)的分組訪問(wèn),分類訪問(wèn)則是根據(jù)站點(diǎn)實(shí)際庫(kù)存和目標(biāo)庫(kù)存之間的關(guān)系將其分為不足﹑過(guò)飽和和平衡站點(diǎn)。2014年Ho等[1]將該分類訪問(wèn)方式應(yīng)用于BSRP,通過(guò)禁忌搜索(Tabu Search, TS)求解取得了不錯(cuò)的效果,并在2016年[8]結(jié)合站點(diǎn)之間路徑的相關(guān)性提出了基于貪婪隨機(jī)自適應(yīng)搜索(Greedy Randomized Adaptive Search Procedure, GRASP)的求解模型,2017年[9]對(duì)該訪問(wèn)模式進(jìn)行了少許改進(jìn),規(guī)定并非所有過(guò)飽和站點(diǎn)都必須訪問(wèn),并結(jié)合混合大鄰域搜索(Hybrid Large Neighborhood Search, H-LNS)進(jìn)行求解,效果顯著。

        成本是衡量一個(gè)運(yùn)作系統(tǒng)好壞的重要指標(biāo)。在BSS再平衡作業(yè)中,單車的庫(kù)存成本對(duì)整個(gè)作業(yè)成本的貢獻(xiàn)不亞于運(yùn)輸成本。Lin等[10]提出針對(duì)交通共享系統(tǒng)的中心位置庫(kù)存(Hub Location Inventory, HLI)模型,在解決實(shí)際案例時(shí)能較好地降低作業(yè)總成本,同時(shí)大大提升了BSS的服務(wù)水平。RAVIV等[11]也給出了關(guān)于BSS的庫(kù)存模型設(shè)計(jì),通過(guò)數(shù)學(xué)建模求解驗(yàn)證了其可行性。Lin等[12]將系統(tǒng)的服務(wù)水平加入了模型的約束中,提出了結(jié)合服務(wù)水平的目標(biāo)函數(shù)。除了效率和成本,Caggiani等[13]還將客戶滿意度加入到了目標(biāo)函數(shù)中作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。2016年,Alvarez-Valdes等[14]提出了針對(duì)BSS系統(tǒng)服務(wù)水平的評(píng)價(jià)體系,并通過(guò)該評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行了相應(yīng)的再平衡作業(yè)調(diào)度,獲得了低成本高滿意度的調(diào)度方案。王涵霄等[15]提出了考慮共享單車臨時(shí)故障的調(diào)度模型,并結(jié)合調(diào)度滿意度概念,通過(guò)蟻群算法求解,獲得了不錯(cuò)的效果。

        近幾年BSS規(guī)模不斷擴(kuò)大,對(duì)應(yīng)的再平衡作業(yè)規(guī)模也隨之?dāng)U大,針對(duì)大規(guī)模問(wèn)題,研究者們也提出了適應(yīng)性的新算法與新思路。Raidl等[16]通過(guò)變鄰域搜索(Variable Neighborhood Search, VNS)算法結(jié)合最佳裝載(Optimal Loading Operations, OLO)策略給出了不錯(cuò)的站點(diǎn)結(jié)合性鄰域結(jié)構(gòu),局部?jī)?yōu)化效果顯著。Gaspero[17]通過(guò)新型約束規(guī)劃結(jié)合蟻群算法,Rainer-Harbach等[18]通過(guò)VNS結(jié)合變鄰域下降(Variable Neighborhood Descent, VND),Chemla等[2]通過(guò)Branch-and-Cut結(jié)合TS,分別對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了求解,均獲得了不錯(cuò)的效果。Dell’Amico等[19]將分支定界結(jié)合整數(shù)規(guī)劃應(yīng)用于解決該問(wèn)題,并測(cè)試了眾多標(biāo)準(zhǔn)實(shí)例,驗(yàn)證了其可行性。更進(jìn)一步,Nair等[20]將“瓶頸”的思想融入了大規(guī)模BSS的運(yùn)作中,將各個(gè)站點(diǎn)的不平衡通過(guò)雙向流的作用形成互補(bǔ),極大地降低了調(diào)度作業(yè)的成本。陳桂英等[21]通過(guò)一種資源應(yīng)急調(diào)度方法對(duì)BSS模型進(jìn)行改善,并將模擬退火機(jī)制引入遺傳算法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解,獲得低成本應(yīng)急調(diào)度方案,有效提升了BSS服務(wù)水平。

        由于大規(guī)模BSRP需要進(jìn)行調(diào)度的站點(diǎn)較多,調(diào)度貨車數(shù)量與周轉(zhuǎn)庫(kù)存均顯著增加,導(dǎo)致作業(yè)成本大幅上升,且線路規(guī)劃復(fù)雜。已有研究大多基于求解算法的創(chuàng)新,在求解模型的改進(jìn)方面研究甚少。因此,在解決大規(guī)模問(wèn)題時(shí),多數(shù)已有模型與相應(yīng)算法明顯乏力。本文面向大規(guī)模共享單車問(wèn)題,提出一種基于站點(diǎn)供需狀態(tài)的分塊策略及其相應(yīng)雙層禁忌搜索算法(Double-Layer Tabu Search, DL-TS)。在提出策略中,基于站點(diǎn)供需的配對(duì)模式有效降低了周轉(zhuǎn)庫(kù)存,基于調(diào)度貨車載量上限的線路規(guī)劃方式有效減少了作業(yè)所需車輛,嚴(yán)格的分塊訪問(wèn)模式極大地簡(jiǎn)化了調(diào)度線路規(guī)劃的復(fù)雜度。對(duì)分塊后的站點(diǎn)集進(jìn)行內(nèi)外兩層的禁忌搜索,并在其中加入一個(gè)變異算子用于兩層之間的信息交流。

        1 共享單車再平衡問(wèn)題描述及建模

        1.1 問(wèn)題描述

        該問(wèn)題的物理模型描述如下:規(guī)定區(qū)域內(nèi)有若干共享單車取用站點(diǎn)(station),用集合S={0,1,2,…,n}表示,其中S0為車庫(kù)。根據(jù)規(guī)劃時(shí)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和調(diào)查,每個(gè)除S0以外的站點(diǎn)Si都有預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)需求量qi,經(jīng)過(guò)一天的客戶隨機(jī)取用歸還后,每個(gè)站點(diǎn)的自行車數(shù)量pi會(huì)與目標(biāo)需求量qi有所差異(demand),用di表示,di=pi-qi。di>0,則Si站點(diǎn)過(guò)飽和,需要移出di輛自行車;di<0,則Si站點(diǎn)不足,需要補(bǔ)充di輛自行車。進(jìn)行調(diào)度作業(yè)的是標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)輸貨車(vehicle),用集合V={0,1,2,…,m}表示。每輛貨車的載量上限Q已知。在整個(gè)調(diào)度作業(yè)過(guò)程中,每輛作業(yè)貨車的實(shí)時(shí)載量e必須滿足0≤e≤Q。站點(diǎn)i到站點(diǎn)j之間的運(yùn)輸距離Dij已知。單位運(yùn)輸成本包括路費(fèi)﹑燃油費(fèi)等,與路程成正比,用C1表示,C2為自行車的單位庫(kù)存成本,C3為貨車的單位使用成本。再平衡作業(yè)就是通過(guò)貨車從車庫(kù)S0出發(fā)經(jīng)過(guò)有需求的站點(diǎn),使其達(dá)到供需平衡,最后回到車庫(kù),同時(shí)將運(yùn)輸和庫(kù)存費(fèi)用降至最低。本文不考慮多次訪問(wèn)和臨時(shí)??康葐?wèn)題,每一個(gè)站點(diǎn)只能被一輛貨車訪問(wèn)一次,且盡可能使該站點(diǎn)達(dá)到平衡,沒(méi)有需求的站點(diǎn)(di=0)禁止訪問(wèn)。

        1.2 問(wèn)題模型

        首先定義一個(gè)0-1變量:Aink:當(dāng)站點(diǎn)i是貨車k的第n個(gè)訪問(wèn)站點(diǎn)時(shí)(n∈P),Aink=1;否則,Aink=0。其中P為訪問(wèn)路段,P={0,1,2,…,N+1},0為起始路段,N+1為返回路段,N是該貨車該次訪問(wèn)的站點(diǎn)數(shù)。

        多輛標(biāo)準(zhǔn)調(diào)度貨車同時(shí)作業(yè),每個(gè)有需求的站點(diǎn)僅訪問(wèn)一次,在不使貨車超載的條件下盡可能使該站點(diǎn)達(dá)到目標(biāo)需求qi。目標(biāo)函數(shù)以及相關(guān)約束可表示如下:

        min

        C2ek)+C3K。

        目標(biāo)函數(shù)(1)中第一項(xiàng)為行程消耗成本,第二項(xiàng)為庫(kù)存成本,第三項(xiàng)為貨車調(diào)用成本,通過(guò)對(duì)站點(diǎn)和路段的依次求和,對(duì)滿足AinkAj(n+1)k≠0的路段,即實(shí)際作業(yè)行駛路段,進(jìn)行成本計(jì)算求和,ek表示貨車k初始載量。約束(2)保證了每一個(gè)站點(diǎn)只能被一輛貨車訪問(wèn)一次;約束(3)保證了一輛貨車在一個(gè)時(shí)間段中最多只能出現(xiàn)在一個(gè)站點(diǎn);約束(4)保證了每輛貨車在尚未訪問(wèn)緊前站點(diǎn)之前不允許訪問(wèn)其下一站點(diǎn),即不允許跳過(guò)訪問(wèn),這是多車模型中避免遺漏訪問(wèn)的約束手段;約束(5)和約束(6)保證了每輛貨車從車庫(kù)S0出發(fā),之后還要返回車庫(kù)S0一次;約束(7)保證了每一輛貨車在整個(gè)調(diào)度作業(yè)過(guò)程中的載量不超過(guò)上限Q;約束(8)和約束(9)分別對(duì)ek和Aink進(jìn)行了說(shuō)明。

        1.3 目標(biāo)函數(shù)

        本文通過(guò)站點(diǎn)的需求狀態(tài)進(jìn)行站點(diǎn)分組,生成站點(diǎn)族,并且通過(guò)所設(shè)計(jì)的分塊算法使得生成的站點(diǎn)族內(nèi)部可以自給自足,因此將每一個(gè)站點(diǎn)族稱為“零需”站點(diǎn)集,用xdpi表示,下一節(jié)將對(duì)其生成方式進(jìn)行詳細(xì)介紹。對(duì)于每一個(gè)“零需”站點(diǎn)集xdpi,保證其由一輛調(diào)度貨車完成作業(yè),因此只需對(duì)“零需”站點(diǎn)集xdpi進(jìn)行訪問(wèn)路線生成。

        單車作業(yè)成本函數(shù):

        (10)

        多車作業(yè)成本函數(shù):

        (11)

        本文對(duì)“零需”站點(diǎn)集xdpi的提出,使得∑ek趨近于“0”,庫(kù)存成本不用考慮;同時(shí),單車﹑多車作業(yè)均是以xdpi為單位展開(kāi)的,∑D不會(huì)有較大差異。因此,最終導(dǎo)致兩者成本較大差異的就是多車中的貨車調(diào)度成本C3K。若只考慮成本函數(shù)(11),顯然調(diào)度車輛數(shù)K越多,成本越高,因?yàn)槭?11)沒(méi)有考慮調(diào)度作業(yè)的時(shí)間成本。很多調(diào)度項(xiàng)目,不僅對(duì)作業(yè)成本有要求,還對(duì)作業(yè)時(shí)間有要求,而多車作業(yè)在本文所給出的算法中顯然能降低作業(yè)時(shí)間,因此在作業(yè)時(shí)間較為緊張時(shí)采用多車同時(shí)作業(yè)模式。

        2 基于站點(diǎn)供需的分塊策略

        本文通過(guò)站點(diǎn)需求配對(duì)策略所生成的“零需”站點(diǎn)集,有效地避免了每一個(gè)站點(diǎn)處進(jìn)行放置或取走多少數(shù)量單車的決策,極大地降低了問(wèn)題的復(fù)雜度。具體思想是在站點(diǎn)分類訪問(wèn)的基礎(chǔ)上,將分類后的站點(diǎn)進(jìn)行需求配對(duì),形成“零需”站點(diǎn)集。在該站點(diǎn)集內(nèi),通過(guò)相互調(diào)度達(dá)到每個(gè)站點(diǎn)的目標(biāo)需求而無(wú)需外界干預(yù)。因此,在理論上,調(diào)度貨車在對(duì)該站點(diǎn)集進(jìn)行再平衡作業(yè)時(shí)無(wú)需攜帶單車,作業(yè)完成后也不會(huì)有剩余單車攜帶,從而可以直接進(jìn)行下一個(gè)站點(diǎn)集的訪問(wèn)。該種分類訪問(wèn)的理論依據(jù)是:系統(tǒng)運(yùn)行之初,各個(gè)站點(diǎn)均處于供需平衡狀態(tài),理想狀況下,整個(gè)BSS的單車數(shù)量是不會(huì)變化的,有站點(diǎn)不足必定有站點(diǎn)過(guò)飽和,而總的供需關(guān)系是平衡的,由此將整個(gè)系統(tǒng)劃分為一個(gè)個(gè)可以自給自足的“零需”站點(diǎn)集,調(diào)度貨車只需搬運(yùn),無(wú)需提供或移出單車,這就使得理想狀況下,周轉(zhuǎn)庫(kù)存可以設(shè)置為零。但考慮到實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)作中,存在部分共享單車未按庫(kù)停放以及報(bào)廢等意外情況,應(yīng)結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)設(shè)置一個(gè)根據(jù)系統(tǒng)總規(guī)模按一定比例生成的安全周轉(zhuǎn)庫(kù)存,保障意外情況下系統(tǒng)的正常運(yùn)作,由于安全周轉(zhuǎn)庫(kù)存對(duì)總成本影響極小,本文不對(duì)其作具體設(shè)置。標(biāo)準(zhǔn)案例求解結(jié)果顯示,在該策略下,原庫(kù)存量減少達(dá)80%以上。

        2.1 解的表達(dá)方式

        分塊算法中,解的表達(dá)較為簡(jiǎn)單,采用基于調(diào)度貨車和站點(diǎn)的編碼方式,例如:調(diào)用編號(hào)為1的貨車V1依次訪問(wèn)站點(diǎn)3﹑站點(diǎn)2﹑站點(diǎn)5﹑站點(diǎn)4﹑站點(diǎn)1,則解x={V1|S3,S2,S5,S4,S1},其中第一位為貨車編號(hào),后面為按訪問(wèn)順序依次排列的站點(diǎn)編號(hào)。在算法部分將進(jìn)一步詳細(xì)介紹本文編碼和解碼方式。

        2.2 分塊策略算法步驟

        分塊策略算法具體步驟如下:

        (1)根據(jù)調(diào)度作業(yè)開(kāi)始時(shí)各個(gè)站點(diǎn)的狀態(tài)將站點(diǎn)分為3類:piqi,即需要移出(pick-up)共享單車站點(diǎn)集合Sp;pi=qi,即供需平衡(balanced)的站點(diǎn)集合Sb,無(wú)需訪問(wèn),如圖1所示。

        (2)分別對(duì)站點(diǎn)集合Sd和Sp內(nèi)所有站點(diǎn)隨機(jī)選擇起始站點(diǎn)S1,通過(guò)基于距離的貪婪搜索算法進(jìn)行旅行商問(wèn)題(Traveling Sales-man Problem, TSP)求解,生成單條總鏈Xd和Xp,如圖2所示。

        (3)對(duì)Xd(Xp)進(jìn)行切斷操作。從每條鏈的起始站點(diǎn)S1開(kāi)始,依次計(jì)算訪問(wèn)站點(diǎn)需求度之和T,當(dāng)訪問(wèn)下一站點(diǎn)將導(dǎo)致T>Q時(shí),由此處切斷Xd(Xp),T初始化為0,繼續(xù)訪問(wèn)下一站點(diǎn),直到單鏈Xd(Xp)被分割成一系列需求度近似為Q的子鏈xdi(xpi),如圖3和圖4所示。

        (4)計(jì)算每條子鏈xdi(xpi)的站點(diǎn)幾何中心(center)坐標(biāo)xdic(xpic)(式(12)),即每條子鏈xdi(xpi)內(nèi)站點(diǎn)坐標(biāo)的均值作為其幾何中心坐標(biāo),如圖5所示。

        (12)

        (5)用幾何中心坐標(biāo)xdic(xpic)代表子鏈xdi(xpi)進(jìn)行一一配對(duì),每一個(gè)xdic選擇距離自己最近的xpic配對(duì),xdic+xpic=xdpic,即xdi+xpi=xdpi,由xdpic所代表的站點(diǎn)集xdpi即為“零需”個(gè)體集(生成i個(gè)“零需”個(gè)體集),如圖6所示。

        每一個(gè)通過(guò)該方法生成的“零需”站點(diǎn)集均可僅由一輛標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)貨車完成再平衡作業(yè),即在整個(gè)作業(yè)過(guò)程中車載不會(huì)超過(guò)載量上限Q。因?yàn)閨Txdi|≤Q,|Txpi|≤Q,而Txdi,Txpi異號(hào),所以在“零需”站點(diǎn)集xdpi內(nèi)的任一訪問(wèn)次序的實(shí)時(shí)需求度之和Txdpi都將滿足|Txdpi|≤Q。

        3 雙層禁忌搜索算法(DL-TS)求解共享單車再平衡問(wèn)題

        較大規(guī)模的BSRP站點(diǎn)數(shù)量一般在100個(gè)以上,其調(diào)度作業(yè)貨車和倉(cāng)庫(kù)數(shù)量一般不唯一。由于該問(wèn)題的NP-hard特性,其決策復(fù)雜度和計(jì)算復(fù)雜度急劇上升。本文所提算法針對(duì)較大規(guī)模問(wèn)題,主要思路便是將整個(gè)優(yōu)化問(wèn)題劃分為許多各自相互獨(dú)立的子問(wèn)題,即本文所提出的“零需”站點(diǎn)集xdpi,利用TS高效的局部搜索能力,最優(yōu)化每個(gè)子問(wèn)題,獲得每個(gè)“零需”站點(diǎn)集xdpi內(nèi)部的最優(yōu)調(diào)度路線;再對(duì)優(yōu)化后的“零需”站點(diǎn)集xdpi進(jìn)行訪問(wèn)排序,從而給出整體調(diào)度路線的最優(yōu)解。所設(shè)計(jì)的雙層禁忌搜索,內(nèi)層針對(duì)“零需”站點(diǎn)集內(nèi)部調(diào)度路線的優(yōu)化,外層針對(duì)“零需”站點(diǎn)集訪問(wèn)路線的優(yōu)化;設(shè)計(jì)的變異算子用來(lái)提升各個(gè)子問(wèn)題之間的交互作用,根據(jù)當(dāng)前解的實(shí)際情況對(duì)之前的“零需”站點(diǎn)集分塊進(jìn)行微調(diào),以獲得最優(yōu)解。該改進(jìn)算法類似分治思想,化大規(guī)模問(wèn)題為相互獨(dú)立子問(wèn)題,將子問(wèn)題和總問(wèn)題分別分配給相互獨(dú)立的兩層算法同時(shí)由變異算子進(jìn)行聯(lián)系,極大地降低了原問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜度。

        3.1 編碼

        本文提出的雙層禁忌搜索算法解的編碼分為內(nèi)層和外層,即“每個(gè)零需站點(diǎn)集xdpi內(nèi)部站點(diǎn)”和“所有零需站點(diǎn)集xdpi”兩層,均采用自然數(shù)編碼。

        (1)內(nèi)層 針對(duì)每個(gè)“零需”站點(diǎn)集xdpi內(nèi)部站點(diǎn)訪問(wèn)排序,采用基于調(diào)度貨車和站點(diǎn)的編碼方式,即如果編號(hào)為1的調(diào)度貨車V1需要訪問(wèn)編號(hào)為1~5的所有站點(diǎn),訪問(wèn)的順序?yàn)檎军c(diǎn)4、站點(diǎn)1、站點(diǎn)3、站點(diǎn)5、站點(diǎn)2,則可得到解x={V1|S4,S1,S3,S5,S2},其中第一位為貨車編號(hào),后面為順次排列的站點(diǎn)編號(hào),當(dāng)未確定訪問(wèn)貨車編號(hào)時(shí),首位置為0。解碼過(guò)程為編碼的逆過(guò)程,即如果獲得解x={V2|S7,S9,S6,S8},則表示編號(hào)為2的調(diào)度貨車V2順次訪問(wèn)站點(diǎn)7、站點(diǎn)9、站點(diǎn)6、站點(diǎn)8。

        (2)外層 針對(duì)全部“零需”站點(diǎn)集xdpi訪問(wèn)排序,采用基于調(diào)度貨車和“零需”站點(diǎn)集xdpi的編碼方式,即如果編號(hào)為1的調(diào)度貨車V1需要訪問(wèn)編號(hào)為1~5的“零需”站點(diǎn)集xdpi,訪問(wèn)順序?yàn)閤dp3、xdp2、xdp1、xdp5、xdp4,則可得到解X={V1|xdp3,xdp2,xdp1,xdp5,xdp4},其中第一位為貨車編號(hào),后面為順次排列的“零需”站點(diǎn)集xdpi編號(hào),當(dāng)未確定訪問(wèn)貨車編號(hào)時(shí),首位置為0。解碼時(shí),如果獲得解X={V2|xdp7,xdp9,xdp6,xdp8},則表示編號(hào)為2的調(diào)度貨車V2順次訪問(wèn)“零需”站點(diǎn)集xdp7、xdp9、xdp6、xdp8。

        3.2 初始解生成

        內(nèi)層初始解x0i生成方式為:對(duì)于每一個(gè)站點(diǎn)集xdpi,在其內(nèi)部進(jìn)行基于距離的貪婪搜索生成內(nèi)部站點(diǎn)的訪問(wèn)序列作為初始解。外層初始解X0生成方式為:以每一個(gè)站點(diǎn)集xdpi中心坐標(biāo)xdpic代表其地理位置,進(jìn)行基于距離的貪婪搜索生成站點(diǎn)集xdpi的訪問(wèn)序列作為初始解。

        3.3 算法設(shè)計(jì)

        (1)鄰域結(jié)構(gòu)

        1)2-opt算子?!傲阈琛闭军c(diǎn)集xdpi內(nèi)相鄰順次訪問(wèn)的兩個(gè)站點(diǎn)之間(Sa,Sb)交換訪問(wèn)次序,如圖7所示。

        2)貪心移位算子。隨機(jī)選擇xdpi內(nèi)一站點(diǎn)Srand,將xdpi中距離該站點(diǎn)最近的站點(diǎn)Snear移位至Srand的緊鄰訪問(wèn)站點(diǎn)位置(Srand,μ),包括緊前(Srand,-1)或緊后(Srand,+1),如圖8所示。

        (2)禁忌對(duì)象

        將移動(dòng)屬性作為禁忌對(duì)象,對(duì)于2-opt算子,禁忌對(duì)象為(Sa,Sb);對(duì)于貪心移位算子,禁忌對(duì)象為(Srand,μ)。

        (3)特赦準(zhǔn)則

        1)當(dāng)前鄰域中的被禁移動(dòng)將產(chǎn)生歷史最好解時(shí),破禁。

        2)當(dāng)前鄰域中所有移動(dòng)均被禁時(shí),選擇剩余禁忌步長(zhǎng)最短的移動(dòng)進(jìn)行破禁。

        (4)禁忌列表和禁忌長(zhǎng)度

        禁忌列表長(zhǎng)度指被禁忌解的個(gè)數(shù)以及被禁忌的步長(zhǎng),該長(zhǎng)度設(shè)置直接影響到算法跳出局部最優(yōu)和快速收斂的能力。因此,本文將根據(jù)xdpi的規(guī)模和特性動(dòng)態(tài)的設(shè)置禁忌表長(zhǎng)度。

        (5)變異算子

        本文設(shè)計(jì)的變異算子作用于兩個(gè)不同的“零需”站點(diǎn)集,對(duì)滿足變異條件的站點(diǎn)集進(jìn)行內(nèi)部站點(diǎn)隨機(jī)交換操作,生成兩個(gè)新的“零需”站點(diǎn)集。具體內(nèi)容如下:

        (13)

        (6)評(píng)價(jià)函數(shù)

        對(duì)于每個(gè)xdpi通過(guò)TS生成解的評(píng)價(jià)由評(píng)價(jià)函數(shù)式(14)計(jì)算,即生成解所對(duì)應(yīng)訪問(wèn)線路長(zhǎng)度之和的倒數(shù):

        (14)

        3.4 算法流程

        (1)“零需”站點(diǎn)集xdpi作業(yè)優(yōu)化流程

        1)由式(15)計(jì)算每一個(gè)“零需”站點(diǎn)集xdpi的幾何中心坐標(biāo)xdpic,即每個(gè)“零需”站點(diǎn)集xdpi內(nèi)站點(diǎn)坐標(biāo)的均值作為其幾何中心坐標(biāo):

        (15)

        2)以xdpic坐標(biāo)代表xdpi,通過(guò)本文所提出的TS對(duì)所有xdpi進(jìn)行訪問(wèn)線路求解生成其最優(yōu)訪問(wèn)路線XB。

        3)在每個(gè)“零需”站點(diǎn)集xdpi內(nèi)部,通過(guò)本文所提出的改進(jìn)TS進(jìn)行求解,生成內(nèi)部最優(yōu)訪問(wèn)路線xBi?!傲阈琛眰€(gè)體xdpi內(nèi)部起始站點(diǎn)通過(guò)遍歷每一個(gè)內(nèi)部站點(diǎn)S從中選擇使得內(nèi)部訪問(wèn)總線路di最小的點(diǎn)作為最優(yōu)隨機(jī)起始站點(diǎn)SS,由此產(chǎn)生的結(jié)束站點(diǎn)為Se,通過(guò)SS生成的訪問(wèn)路線作為xBi。

        4)由式(13)進(jìn)行變異操作判斷,滿足則進(jìn)行變異操作,產(chǎn)生較優(yōu)解則替換原有解,否則不變異。

        5)實(shí)際線路解Xa生成。將由XB確定的“零需”站點(diǎn)集xdpi間的連接路線換成xdpi內(nèi)部站點(diǎn)SS與Se之間的路線,根據(jù)每個(gè)xdpi個(gè)體內(nèi)部最優(yōu)訪問(wèn)路線xBi,計(jì)算最終總體實(shí)際線路解Xa長(zhǎng)度之和LXa(如式(16)所示)及該線路下作業(yè)總成本W(wǎng)。

        (16)

        “零需”站點(diǎn)集xdpi作業(yè)優(yōu)化實(shí)現(xiàn)偽代碼如下:

        算法2改進(jìn)TS生成的訪問(wèn)順序

        輸入:由分支定界算法獲得的W的下界WLB和w的下界wLB

        1:Construct XB

        Calculate all xdpic

        X0=GreedySearch,W0=W(X0),X*=X0,W*=W0

        While W*>WLB

        End if

        End while

        Return XB

        2:Construct xBi

        Set i=1

        While i

        Do x0=GreedySearch,w0=w(x0)

        Set x*=x0,w*=w0

        While w*>wLB

        End if

        End while

        End while

        Return xBi

        (2)算法總體流程

        本文所提出的雙層禁忌搜索算法可分為兩部分:

        1)基于供需關(guān)系對(duì)站點(diǎn)進(jìn)行分塊形成“零需”站點(diǎn)集xdpi。

        2)基于DL-TS算法的各個(gè)站點(diǎn)族內(nèi)部訪問(wèn)線路生成以及針對(duì)xdpi個(gè)體的總路線規(guī)劃。

        步驟1基于站點(diǎn)供需的分塊算法生成“零需”站點(diǎn)集xdpi。

        步驟2以xdpic坐標(biāo)代表xdpi,對(duì)所有xdpi進(jìn)行求解生成其初始訪問(wèn)路線X0。

        步驟3在xdpi內(nèi)部選擇隨機(jī)初始站點(diǎn),依據(jù)基于距離的貪婪搜索算法生成xdpi內(nèi)部初始解x0i。

        步驟4根據(jù)式(14)計(jì)算解的適值函數(shù),判斷是否滿足終止條件,滿足則轉(zhuǎn)步驟8,否則轉(zhuǎn)步驟5。

        步驟5對(duì)每一個(gè)xdpi的初始解x0i采用本文所設(shè)計(jì)的TS算法進(jìn)行內(nèi)部?jī)?yōu)化使其達(dá)到內(nèi)部最優(yōu)解xBi。

        步驟7計(jì)算變異后的xdpi和xdpic,并對(duì)變異后的xdpi進(jìn)行求解,生成其改進(jìn)訪問(wèn)路線Xi,返回步驟4。

        步驟8算法結(jié)束。

        4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

        本文測(cè)試實(shí)例采用國(guó)外標(biāo)準(zhǔn)案例——法國(guó)巴黎的Vélib共享單車系統(tǒng)。本文選取了其中150個(gè)常用站點(diǎn),獲取其相對(duì)地理位置﹑站點(diǎn)容量以及平均供需量等必要信息。該標(biāo)準(zhǔn)案例為大規(guī)模BSRP實(shí)例,其調(diào)度貨車及車庫(kù)均不唯一,且該實(shí)例已經(jīng)過(guò)國(guó)外眾多學(xué)者測(cè)試,其中近五年來(lái)較為成功的有文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[9]等。

        在實(shí)驗(yàn)中,目標(biāo)函數(shù)下界采用分支定界獲得,在CPLEX 12.7軟件運(yùn)行;雙層禁忌搜索算法采用C++語(yǔ)言進(jìn)行編譯,在Microsoft Visual Studio 2013上運(yùn)行,計(jì)算機(jī)處理器Intel(R)Core(TM)i5-4200H CPU @2.80 GHz,RAM8.00 GB。本文測(cè)試的樣本分類如下:站點(diǎn)規(guī)模n:20/40/60/80/100/125/150;貨車載量Q:15/25/45;貨車數(shù)量K:1/2/3。

        雙層禁忌搜索算法參數(shù)設(shè)計(jì)如下:相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)依賴于具體問(wèn)題規(guī)模n0,在內(nèi)層搜索中n0為每個(gè)站點(diǎn)集內(nèi)所含站點(diǎn)的個(gè)數(shù);在外層搜索中,n0為站點(diǎn)集的總個(gè)數(shù)。根據(jù)本文具體問(wèn)題規(guī)模和貨車載量Q的實(shí)際情況,供需策略分組后生成的n0范圍均在30以內(nèi),因此設(shè)計(jì)最小禁忌步長(zhǎng)Lmin=3,最小迭代總次數(shù)Itermin=1000,無(wú)改進(jìn)最大迭代次數(shù)Iterno=100。動(dòng)態(tài)參數(shù)設(shè)計(jì),禁忌步長(zhǎng)L=Lmin+[n0/5],迭代總次數(shù)Iter=Itermin+100[n0/5],其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)。

        4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

        如表1~表3所示分別為單車實(shí)驗(yàn)測(cè)試、多車實(shí)驗(yàn)測(cè)試和綜合實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果,具體內(nèi)容包括分支定界算法獲得的目標(biāo)函數(shù)下界(LB)、DL-TS算法獲得的目標(biāo)函數(shù)值及其與LB之間的Gap值、DL-TS算法的Cpu平均計(jì)算時(shí)間,并且給出了對(duì)比算法GA-TS求解相同案例獲得結(jié)果的Gap值以及Cpu平均計(jì)算時(shí)間。其中目標(biāo)函數(shù)下界(LB)是通過(guò)分支定界算法在2 h內(nèi)給出的,當(dāng)站點(diǎn)規(guī)模n超過(guò)100時(shí),分支定界在2 h內(nèi)已無(wú)法給出最優(yōu)解,而提出DL-TS算法能在100 s以內(nèi)獲得較優(yōu)解。

        表1 單車實(shí)驗(yàn)求解結(jié)果(C1=0.001,C2=0.5,C3=10/15/20)

        續(xù)表1

        表2 多車實(shí)驗(yàn)求解結(jié)果(C1=0.001,C2=0.5,C3=10/15/20)

        表3 單車和多車實(shí)驗(yàn)結(jié)果綜合比較(C1=0.001,C2=0.5,C3=10/15/20)

        續(xù)表3

        表中參數(shù)說(shuō)明如下:

        n為站點(diǎn)規(guī)模即站點(diǎn)數(shù)量;

        Q為度作業(yè)貨車載量上限;

        K為調(diào)度作業(yè)貨車數(shù)量;

        LB為分支定界在CPLEX上運(yùn)行2 h內(nèi)獲得的目標(biāo)函數(shù)下界Lower Bound;

        W為目標(biāo)函數(shù)值;

        Gap為W與LB的百分差;

        Cpu為算法求解時(shí)間,單位:s。

        影響目標(biāo)函數(shù)以及Cpu耗時(shí)的自變量包括站點(diǎn)規(guī)模n、貨車載量Q、調(diào)度貨車數(shù)量K。站點(diǎn)規(guī)模對(duì)目標(biāo)函數(shù)以及Cpu的影響是顯而易見(jiàn)的,由表1~表3均可看出,n越大,W以及Cpu越大,且由于該問(wèn)題的超NP-hard特性,普通算法在解決該問(wèn)題上消耗的Cpu與n呈指數(shù)級(jí)別的增長(zhǎng)(如分支定界,線性規(guī)劃等)。本文在啟發(fā)式算法基礎(chǔ)上,進(jìn)一步利用供需關(guān)系將大規(guī)模問(wèn)題進(jìn)行分塊求解,使得Cpu隨問(wèn)題規(guī)模增加而急速上升的指數(shù)型增長(zhǎng)趨勢(shì)轉(zhuǎn)化為了線性型增長(zhǎng)趨勢(shì),大大提高了算法的效率。對(duì)于100以內(nèi)的站點(diǎn),能在較短的時(shí)間內(nèi)獲得解,并通過(guò)與分支定界下界的求解(LB)比較,能證明其為最優(yōu)解;當(dāng)n超過(guò)100時(shí),分支定界已無(wú)法在2 h內(nèi)給出結(jié)果,將其在2 h內(nèi)獲得的LB與DL-TS算法獲得結(jié)果進(jìn)行比較,Gap均小于5%,DL-TS算法消耗Cpu始終在100 s以內(nèi)。如圖10所示顯示了作業(yè)規(guī)模n對(duì)算法Cpu的影響。

        對(duì)于調(diào)度貨車載量上限Q,許多學(xué)者在該問(wèn)題的求解上并沒(méi)有過(guò)多考慮其對(duì)調(diào)度作業(yè)的影響,如Forma等[6]僅考慮一種標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)貨車,也是有一定道理的,畢竟同一地區(qū)的作業(yè)貨車一般為同一型號(hào)。本文將其作為一個(gè)重要自變量,并分為15/25/45三種載量上限,一是由于本文站點(diǎn)的分塊與Q關(guān)系緊密,二是調(diào)度所用貨車的載量上限Q對(duì)于調(diào)度作業(yè)確實(shí)具有較大影響,大致可概述為Q越大,成本目標(biāo)函數(shù)W越小,當(dāng)在大規(guī)模作業(yè)時(shí)(n>80)尤為明顯;但在小規(guī)模作業(yè)時(shí)(n<60)反而會(huì)出現(xiàn)Q越大,成本目標(biāo)函數(shù)W越大的情況,尤其是多車作業(yè)(如表2)。這是由于Q增大,貨車在調(diào)度過(guò)程中不易達(dá)到載量上限而不用返回車庫(kù),在本文的分塊算法中表現(xiàn)為“零需”站點(diǎn)集xdpi規(guī)模更大,個(gè)數(shù)更少,減少了貨車往返次數(shù)。但Q增大意味著調(diào)用成本C3更大,因此需要根據(jù)問(wèn)題的規(guī)模選擇適當(dāng)載量的貨車,能很好地降低作業(yè)成本。其次,在對(duì)算法性能的影響上,由于Q增大,導(dǎo)致xdpi個(gè)數(shù)減少,減少了計(jì)算量,使得Cpu降低。如圖10顯示了車載上限Q對(duì)算法Cpu的影響。

        對(duì)于調(diào)度貨車數(shù)量K,由于本文的分塊模式,一個(gè)xdpi僅由一輛調(diào)度貨車進(jìn)行作業(yè),不會(huì)出現(xiàn)像其他算法中對(duì)多車調(diào)度線路分配的問(wèn)題,因此調(diào)度貨車的數(shù)量K越多,調(diào)度作業(yè)時(shí)間越短。表3中,為了體現(xiàn)比較的客觀性,在目標(biāo)函數(shù)中沒(méi)有加入時(shí)間換算而來(lái)的成本,因?yàn)闀r(shí)間成本是一個(gè)較為主觀的成本,工期越緊迫,時(shí)間成本自然就越高。可以發(fā)現(xiàn),隨著調(diào)度貨車數(shù)量增多,W普遍減小,規(guī)模較大時(shí)較為明顯,但也會(huì)出現(xiàn)反例(n=80,Q=45;n=100,Q=15)。Cpu的情況則較為簡(jiǎn)單,隨著K增多,Cpu增加,如圖11所示。

        4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

        本文提出的DL-TS算法與已有GA-TS算法詳細(xì)對(duì)比如表1﹑表2和表3。首先,單獨(dú)分析GA-TS算法結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)其與DL-TS在算法特性上極為相似,3大變量(n,Q,K)對(duì)其獲得的目標(biāo)函數(shù)值以及Cpu消耗影響幾乎與DL-TS算法一樣,在該條件下進(jìn)行兩種算法性能比較更為合理客觀。通過(guò)兩種算法獲得結(jié)果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),GA-TS算法無(wú)論在目標(biāo)函數(shù)求解結(jié)果還是在Cpu消耗上均不及本文所提出的DL-TS算法。GA-TS在n=60時(shí),部分案例已不能獲得最優(yōu)解,并且在求解大規(guī)模案例n=150時(shí),Gap值已達(dá)10%左右,為DL-TS算法的兩倍以上。分析其原因,在Cpu的消耗上,GA-TS算法在模型優(yōu)化上未能有效解決規(guī)模增大所帶來(lái)的計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)形式上升的問(wèn)題;在目標(biāo)函數(shù)值上,DL-TS是在結(jié)合了供需關(guān)系模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行算法設(shè)計(jì)的,模型與算法的有機(jī)結(jié)合,相互能較好地適應(yīng)與配合,達(dá)到目標(biāo)函數(shù)中庫(kù)存單項(xiàng)成本顯著降低的效果。以上對(duì)比均體現(xiàn)了本文算法與模型在針對(duì)該問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性。

        為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提模型與算法的有效性,選取兩位前人研究成果進(jìn)行對(duì)比分析。本文提出的DL-TS算法與Chemla等[2]提出的BC-TS(brunch-and-cut & tabu search)算法比較如表4所示,BC-TS算法未采用分塊訪問(wèn),直接通過(guò)分支定界結(jié)合禁忌搜索獲得的結(jié)果。顯然,本文的分塊策略在改善計(jì)算復(fù)雜度上具有顯著效果,大大縮短了相同規(guī)模問(wèn)題的計(jì)算時(shí)間,并且由于增添變異算子,使得目標(biāo)函數(shù)更接近函數(shù)下界,顯著提高了最優(yōu)解的獲得概率,充分體現(xiàn)了本文采用的供需分塊模型的有效性。

        本文提出的DL-TS算法與Forma等[6]提出的3-step算法比較如表5所示,3-step與本文所提出的分塊訪問(wèn)類似,其第一步是將站點(diǎn)進(jìn)行分塊,但分塊方式是基于距離主導(dǎo)的形式,需求次之,其結(jié)果同樣可以證明分塊訪問(wèn)對(duì)解決該類問(wèn)題的有效性,但其結(jié)果略遜于本文所提出的基于供需關(guān)系的分塊模式,他將各個(gè)站點(diǎn)的庫(kù)存水平分為3種:Light/Real/Heavy,3種情況下的求解結(jié)果平均Gap普遍大于本文所提算法,如圖12所示,充分體現(xiàn)了本文所提算法與供需分塊模型有機(jī)結(jié)合的效果顯著。

        表4 DL-TS算法與BC-TS算法結(jié)果對(duì)比

        表5 基于供需的分塊與基于距離的分塊結(jié)果對(duì)比

        5 結(jié)束語(yǔ)

        共享單車系統(tǒng)近幾年在國(guó)內(nèi)逐步興起,發(fā)展勢(shì)頭迅猛。然而,國(guó)內(nèi)期刊針對(duì)共享單車再平衡問(wèn)題進(jìn)行深入研究的論文甚少,并且求解算法陳舊,模型創(chuàng)新性嚴(yán)重不足。本文提出一種結(jié)合供需關(guān)系的站點(diǎn)分類策略模型,并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的雙層禁忌搜索算法解決大規(guī)模共享單車再平衡作業(yè)問(wèn)題。其中,供需關(guān)系的站點(diǎn)分類策略是通過(guò)過(guò)飽和站點(diǎn)和不足站點(diǎn)之間的配對(duì),形成能自給自足的站點(diǎn)集,對(duì)這樣的站點(diǎn)集進(jìn)行再平衡作業(yè),能有效避免一般模型中調(diào)度貨車在各個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行取走或放置單車數(shù)量的決策過(guò)程,同時(shí)由于站點(diǎn)間的自給自足,使單車的庫(kù)存成本降低了80%以上;在算法上,采用改進(jìn)的雙層禁忌搜索算法,分別基于分塊站點(diǎn)集合和站點(diǎn)集合內(nèi)部進(jìn)行禁忌搜索,并通過(guò)一個(gè)嵌套變異算子,增強(qiáng)兩層搜索間的信息交流,在提高算法搜索能力的同時(shí)增添了解的多樣性。經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)案例測(cè)試,能在Cpu消耗100 s內(nèi)獲得150站點(diǎn)以內(nèi)較優(yōu)解,同時(shí)保證了較低的作業(yè)成本,證實(shí)了該策略針對(duì)較大規(guī)模再平衡作業(yè)的有效性。未來(lái)考慮將LNS以及VNS結(jié)合的分治思想,使更大規(guī)模再平衡作業(yè)中所涉及的多個(gè)NP-Hard問(wèn)題能轉(zhuǎn)化為一個(gè)NP-Hard問(wèn)題,降低其計(jì)算復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度。

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