權(quán) 寧

(徐州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州 221000)

引言

氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)以壓縮空氣為動(dòng)力源，系統(tǒng)具有清潔無(wú)污染、結(jié)構(gòu)安裝方便、操作方便易維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)，在裝備制造、自動(dòng)化、工業(yè)機(jī)器人等工業(yè)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[1-3]。但是受到氣缸摩擦力、氣體可壓縮性、氣體流量的非線性等諸多外界因素的干擾與影響，致使氣動(dòng)控制系統(tǒng)的連續(xù)性和控制精度存在很大問(wèn)題。基于上述氣動(dòng)控制系統(tǒng)的特點(diǎn)，針對(duì)氣體流量的非線性、氣缸的摩擦力等做了大量研究，并在工業(yè)機(jī)器人碼垛、氣動(dòng)機(jī)械手等領(lǐng)域得到應(yīng)用[4-5]。

1 系統(tǒng)組成與原理

氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)主要由氣缸、比例流量閥、位置傳感器、數(shù)據(jù)采集卡以及PC組成[8-9]，其主要參數(shù)詳見(jiàn)表1所示，氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)模型如圖1所示。

表1 主要元器件型號(hào)與參數(shù)

圖1 氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)模型

首先，氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)需要PC發(fā)出需要跟蹤的數(shù)字量控制信號(hào)，經(jīng)D/A 轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)后驅(qū)動(dòng)比例閥，其調(diào)整閥口開(kāi)合度以達(dá)到控制兩腔壓力，達(dá)到控制氣缸活塞左右移動(dòng)的目的。位置傳感器檢測(cè)到的活塞位移信號(hào)經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)反饋給PC；然后與給定的輸入控制信號(hào)進(jìn)行比較得出偏差控制量，再根據(jù)偏差控制量調(diào)節(jié)比例閥的開(kāi)合度，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)給定信號(hào)的追蹤。

2 數(shù)學(xué)建模

為便于氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模，其工作過(guò)程中，假設(shè)介質(zhì)為理想氣體、氣缸無(wú)泄漏、容腔內(nèi)氣體壓力與溫度處處相等、氣體流動(dòng)為等熵絕熱過(guò)程等。氣動(dòng)伺服系統(tǒng)如果以比例閥輸入為整個(gè)系統(tǒng)的輸入，以滑塊位置為系統(tǒng)的輸出，可以利用氣動(dòng)系統(tǒng)原理建立輸入輸出間的分析模型，建模包括流量連續(xù)方程、氣缸力平衡方程、比例閥口流量方程[10-12]。

2.1 流量連續(xù)性方程

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，氣缸的容腔單位時(shí)間里流入或流出的質(zhì)量流量等于其質(zhì)量變化率：

(1)

(2)

式中，qm1,qm2—— 氣體流入氣缸兩腔的質(zhì)量流量

m1,m2—— 氣缸兩腔的氣體質(zhì)量

ρ1,ρ2—— 氣缸兩腔的氣體密度

V1,V2—— 氣缸兩腔的氣體體積

2.2 氣缸力平衡方程

根據(jù)牛頓第二定律可得：

(3)

式中，m—— 活塞和負(fù)載的總質(zhì)量

BL—— 負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)

KL—— 負(fù)載的彈簧剛度

FL—— 外負(fù)載力

A—— 活塞截面面積

p1,p2—— 氣缸兩腔絕對(duì)壓力值

其中式(3)摩擦力模型已簡(jiǎn)化：

2.3 比例閥流量方程

當(dāng)比例閥的兩腔體內(nèi)氣壓不同時(shí)，必然會(huì)導(dǎo)致氣體由高壓腔向低壓腔體流動(dòng)。根據(jù)McCloy和BOBRO提出的閥孔質(zhì)量流動(dòng)理論[12-13]，建立以下方程：

(4)

式中，k—— 定壓比熱和定容比熱之比

λ—— 修正指數(shù)，一般取λ=0.25

Cf—— 臨界壓力比

R —— 氣體常數(shù)

Ts—— 環(huán)境溫度

ps—— 比例閥的進(jìn)口壓力

p—— 比例閥的出口壓力

A(u)—— 比例閥開(kāi)口面積，由控制信號(hào)u來(lái)控制將此信號(hào)做為二次函數(shù)A(u)=k1u2+

k2u

本系統(tǒng)所選用的比例閥兩腔開(kāi)口量相同，因此由比例閥口面積公式得氣缸的壓力流量方程：

(5)

C2=Cf2;f2(p2)=(ps-p)λ, 其中p一般為大氣壓。

通過(guò)上述方程可知該氣動(dòng)系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，為便于對(duì)系統(tǒng)做定性分析，需要對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化處理。

對(duì)式(5)比例閥流量方程可做線性處理得：

(6)

聯(lián)立式(1)～式(6)方程進(jìn)行拉氏變換，得到該系統(tǒng)的輸入u與輸出y的傳遞函數(shù)為：

(7)

3 系統(tǒng)辨識(shí)

3.1 系統(tǒng)階次辨識(shí)

1)對(duì)于白噪聲SISO過(guò)程模型如下：

(8)

式中，u(k)，z(k)—— 過(guò)程的輸入輸出變量

根據(jù)極大似然估計(jì)可知AIC準(zhǔn)則：

(9)

參數(shù)的θn和噪聲v(k)方差的極大似然估計(jì)值為：

(10)

L—— 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度

2)對(duì)于有色噪聲SISO過(guò)程模型如下：

(11)

式中,u(k),z(k)—— 過(guò)程的輸入輸出變量

根據(jù)AIC準(zhǔn)則原理，可得其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)則函數(shù)為：

(12)

聯(lián)立上式(8)～式(12)，根據(jù)AIC定階原理，找到使得AIC(n,m)最小的n,m即為氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)模型階次的估計(jì)值。

3.2 增廣最小二乘法的系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)

在氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)參數(shù)測(cè)試數(shù)據(jù)包括了噪聲，采用最小二乘法可以有效對(duì)白噪聲實(shí)現(xiàn)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，但對(duì)有色噪聲無(wú)法實(shí)現(xiàn)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)。增廣最小二乘法擴(kuò)充了參數(shù)向量和數(shù)據(jù)向量的維數(shù)，在辨識(shí)過(guò)程中考慮了噪聲模型的參數(shù)，可有效實(shí)現(xiàn)對(duì)有色噪聲的無(wú)偏估計(jì)，通過(guò)D(z-1)可將噪聲集提到待觀測(cè)序列中，從而實(shí)現(xiàn)了有色噪聲到白噪聲的轉(zhuǎn)化，最終運(yùn)用最小二乘法來(lái)進(jìn)行求解。

增廣最小二乘法中的噪聲模型是平均滑動(dòng)模型：

A(z-1)z(k)=B(z-1)u(k)+D(z-1)v(k)

(13)

在v(k)未知的情況下，采用增廣最小二乘的遞推算法(RELS)如下：

(15)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，采樣時(shí)間過(guò)長(zhǎng)會(huì)直接影響模型的精度，采樣時(shí)間過(guò)短則會(huì)因出現(xiàn)硬件速度和數(shù)值計(jì)算病態(tài)，嚴(yán)重影響模型靜態(tài)增益的估計(jì)值。實(shí)驗(yàn)辨識(shí)中數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度會(huì)影響硬件的速度和數(shù)值計(jì)算以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性；數(shù)據(jù)較長(zhǎng)，對(duì)硬件的速度和數(shù)值計(jì)算要求較高；數(shù)據(jù)太短，則會(huì)因丟失信號(hào)信息，導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不健全。因此，本實(shí)驗(yàn)采樣時(shí)間設(shè)定為10 ms，辨識(shí)過(guò)程設(shè)定數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1000。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證當(dāng)對(duì)幅值為1000的7級(jí)逆M序列的數(shù)據(jù)系統(tǒng)辨識(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)于白噪聲模型階次為3；對(duì)于有色噪聲模型階次辨識(shí)，最小值為AIC(3,3)，因此該過(guò)程模型階次為3，噪聲模型階次為3。幅值L(ω)為1000的模型參數(shù)辨識(shí)詳見(jiàn)表2，辨識(shí)參數(shù)迭代過(guò)程如圖2所示。

表2 幅值為1000的模型參數(shù)辨識(shí)

圖2 幅值為1000的辨識(shí)參數(shù)迭代過(guò)程

通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證當(dāng)對(duì)幅值為1200的7級(jí)逆M序列的數(shù)據(jù)系統(tǒng)辨識(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)于白噪聲模型階次為3；對(duì)于有色噪聲模型階次辨識(shí)，最小值為AIC(5,3)，因此該過(guò)程模型階次為5，噪聲模型階次為3。幅值為1200的模型參數(shù)辨識(shí)詳見(jiàn)表3，辨識(shí)參數(shù)迭代過(guò)程如圖3所示。

表3 幅值為1000的模型參數(shù)辨識(shí)

圖3 幅值為1200的辨識(shí)參數(shù)迭代過(guò)程

首先，通過(guò)幅值1000長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)辨識(shí)系統(tǒng)，以得出該系統(tǒng)模型；然后，將剩余1000長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)作為系統(tǒng)的輸入加入到新的系統(tǒng)模型中；最后，將系統(tǒng)模型的估計(jì)值與系統(tǒng)的實(shí)際輸出數(shù)據(jù)做比較。由圖4可知辨識(shí)得到的系統(tǒng)加上輸入后，新的輸出估計(jì)值與系統(tǒng)實(shí)際的輸出曲線具有較好的一致性，說(shuō)明該模型穩(wěn)定性高。

圖4 系統(tǒng)模型驗(yàn)證

5 結(jié)論