◇ 福建 吳明庭

“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的常見(jiàn)現(xiàn)象,為了避免出現(xiàn)這種情況,最有效的方法就是弄清錯(cuò)誤的根源．解三角形問(wèn)題在高考中難度不大,是同學(xué)們易得分的點(diǎn),但解題時(shí)不可大意,造成無(wú)謂失分．本文對(duì)解三角形問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行舉例分析．

1 利用余弦定理出現(xiàn)增解

在解三角形問(wèn)題中,如果已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,利用余弦定理求第三邊時(shí),會(huì)得到以第三邊為變量的一元二次方程,若解方程得到的兩根一正一負(fù),同學(xué)們都知道將負(fù)根舍去,但兩根均為正根時(shí),往往就會(huì)忽視對(duì)結(jié)論的檢驗(yàn)．

例1在銳角△ABC 中,角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

(1)求角A;

(2)求△ABC 的面積．

錯(cuò)解(1)在△ABC 中,利用正弦定理又因?yàn)橐驗(yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以

剖析本題出錯(cuò)之處在第(2)問(wèn),利用余弦定理得出c 的兩個(gè)值后,沒(méi)有進(jìn)行檢驗(yàn)．檢驗(yàn)的方法主要是利用題目所給條件及三角形的邊或角的性質(zhì)．

條件中給定△ABC 是銳角三角形,當(dāng)c＝1時(shí),最大邊b＝3,故只判斷B 是否為銳角即可．

2 利用正弦定理出現(xiàn)漏解

因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為π,每個(gè)內(nèi)角均在(0,π)內(nèi),若sinA＝m,則角A 的值可能有兩個(gè),且這兩個(gè)值互補(bǔ)．同學(xué)們?cè)谔幚泶祟?lèi)問(wèn)題時(shí),容易產(chǎn)生漏解．

例2在△ABC 中,若

(1)求角B;

(2)求△ABC 的面積．

錯(cuò)解(1)由正弦定理

剖析在利用正弦定理得出后,角C的值可能是也可能是所以進(jìn)而可得△ABC 的面積也有兩種結(jié)果,另一種為S△ABC＝

3 忽視角范圍的限制條件造成錯(cuò)解

解三角形問(wèn)題中涉及的角的范圍,除了三角形的內(nèi)角和條件外,還包括由三角形的形狀所確定的角的范圍,如在銳角三角形中,若,為使得B 也為銳角,則C 的范圍是而部分同學(xué)認(rèn)為C 的范圍是從而造成錯(cuò)解．

例3(2019年全國(guó)卷Ⅲ理18)在△ABC 中,其內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

(1)求B;

(2)若△ABC 為銳角三角形,且c＝1,求△ABC面積的范圍．

錯(cuò)解(1)由及

剖析△ABC 為銳角三角形,從表面上看0＜但已求得為保證A 也為銳角,所以所以△ABC 面積的取值范圍為

除了上述幾類(lèi)典型的易錯(cuò)問(wèn)題以外,還有因忽視三角形的性質(zhì)造成的失分現(xiàn)象,如忽視三角形兩邊之和大于第三邊、大邊對(duì)大角等．錯(cuò)誤并不可怕,只要我們認(rèn)真歸納錯(cuò)題類(lèi)型,探究錯(cuò)誤根源,就能有效避免同類(lèi)錯(cuò)誤再次發(fā)生．