王志鵬 王秉中 劉金品 王任

(電子科技大學(xué)應(yīng)用物理研究所,成都 610054)

本文提出一種基于全介電微散射體的散射陣列結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計方法,用以實現(xiàn)散射電場強度整形.該方法基于空域傅里葉變換與角譜變換,從給定目標區(qū)域處期望實現(xiàn)的散射場強分布出發(fā),逆向求得所需的感應(yīng)源,再利用電磁感應(yīng)源理論,逆向設(shè)計微散射體陣列,且只需通過解析計算便能夠快速地求取出微散射體陣列的電磁參數(shù)值分布.基于提出的逆向設(shè)計方法,文中提供了三維情況下的具體算例,實現(xiàn)了給定方形面目標區(qū)域的散射場強整形.理論計算結(jié)果與全波仿真結(jié)果符合良好,表明本文提出的逆向設(shè)計方法具有可行性與有效性.

1 引 言

靈活控制物理場,使其在空間中聚焦或呈現(xiàn)某種形狀在諸多領(lǐng)域中具有重大意義以及潛在應(yīng)用價值,如無損檢測、通信、醫(yī)療、無線功率傳輸?shù)?最早在聲學(xué)領(lǐng)域中,利用時間反演(time-reversal,TR)技術(shù)[1]、聲學(xué)相控陣技術(shù)[2-5]等方法對空間中聲場進行聚焦及整形.近年來對電磁場在空間中的控制、整形引起了學(xué)者們的廣泛研究,并取得一系列的重要成果.

對電磁輻射場的控制可以分為近場和遠場兩類： 近場聚焦天線利用相位共軛原理將天線輻射的電磁場聚焦在天線近場區(qū)域中的某個點[6-8]； 采用相控陣及天線陣列技術(shù)可以對遠場進行調(diào)控整形[9,10].在最近的文獻報道中,TR場整形技術(shù)[11,12]、多目標最優(yōu)約束功率方法[13]和優(yōu)化的多目標TR技術(shù)[14]可以使天線陣列在遠場產(chǎn)生任意期望的電場強度形狀或圖案.然而,TR方法依賴于信道探測和優(yōu)化,需要不斷重復(fù)“探測-聚焦”過程,且依賴于大量的信號源或復(fù)雜多徑環(huán)境,優(yōu)化方法也需要長時間的優(yōu)化計算,不利于場整形的快速實現(xiàn).

電磁散射場的控制在電磁學(xué)領(lǐng)域中同樣具有重要意義,并且在許多功能上有著廣泛的應(yīng)用價值,如電磁隱身[15]、波前整形和波束形成等[16,17].其中,使散射場在目標區(qū)域呈現(xiàn)某種形態(tài),即散射場強整形的研究也有了一系列的進展.在近年的文獻報道中多采用近場聚焦板[18-20]和超表面[21-23]實現(xiàn)散射場的近場點聚焦,然而報道中的設(shè)計方法依賴于復(fù)雜的超表面陣列,難以通過理論計算快速設(shè)計整形結(jié)構(gòu).

本文提出了一種根據(jù)目標區(qū)域期望散射電場強度分布快速逆向設(shè)計電磁微散射體陣列的方法.首先,基于空間傅里葉變換與角譜變換,從目標區(qū)域期望的電場強度分布出發(fā)逆向求取各方向上所需的平面波.接下來,介紹了感應(yīng)源的概念并給出非磁性介電微散射體的感應(yīng)源模型,提出利用入射電磁場照射全介電微散射體陣列來產(chǎn)生所需平面波的方法.這些微散射體所產(chǎn)生的散射場將在目標區(qū)域疊加合成期望的場強分布.最后,根據(jù)提出的逆向設(shè)計理論模型進行了具體的案例設(shè)計,展示了三維(three-dimensions,3-D)情況下的設(shè)計案例.研究了方形面目標區(qū)域期望的點聚焦形狀的散射場強分布,展示了一種全介電微球分布設(shè)計,它的空間分布及介電常數(shù)分布都是通過目標區(qū)域處期望的散射場強形狀進行快速解析計算求得.最后基于線性疊加原理在目標區(qū)域產(chǎn)生了“I”,“T”,“X”形的復(fù)雜圖形.全波仿真結(jié)果與使用本文提出的逆向設(shè)計方法解析計算的結(jié)果符合良好,這表明該方法是有效且可行的.

2 逆向設(shè)計原理

2.1 逆向設(shè)計場景

以面目標區(qū)域中心為原點,在空間中建立直角坐標系,面目標區(qū)域位于z= 0 平面上.考慮正入射情況,即波長為λ0的y極化單色平面波沿+z方向垂直目標區(qū)域入射,設(shè)計者期望在目標區(qū)域?qū)崿F(xiàn)y極化同相分布的E(x,y) 散射電場強(由于只關(guān)注E(x,y)的幅度分布,因此其為標量),如圖1所示.

圖1 逆向設(shè)計示意圖Fig.1.Schematic diagram of inverse design.

為了構(gòu)建期望的散射場強分布,在目標區(qū)域周圍放置介電微散射體陣列作為散射結(jié)構(gòu).陣列中微散射體在數(shù)學(xué)模型中可看作點散射體,其同原點的距離設(shè)為ri,j,在ri,j距離上微散射體同原點的連線與+z軸夾角編號為θi,其連線在xoy面上投影與+x軸夾角編號為φj,相對介電常數(shù)記作,其中i= 1,··,N；j= 1,··,M.逆向設(shè)計任務(wù)的核心在于將目標區(qū)域期望散射場強分布E(x,y) 作為已知信息,逆向求出介電微散射體的空間分布及其相對介電常數(shù)分布,從而快速完成微散射體陣列的設(shè)計.

2.2 設(shè)計理論模型

采用 e-jωt時諧變化慣例.在目標區(qū)域處,設(shè)計者期望的散射場強度分布E(x,y) 作為已知量.利用空間傅里葉變換,其空譜為

其中kx與ky分別是自由空間中波矢量k0的x與y分量的模.波數(shù)k02＜kx2+ky2時,凋落波無法傳播至遠區(qū),因此,在本研究中僅考慮利用kx2+ky2≤k02空間譜的情況.

將空間譜域變換到角譜域,可以得到角譜為

事實上,角譜的物理意義可理解為目標區(qū)域期望的散射場分布是由從不同方向入射而來的多束感應(yīng)平面波疊加而成的.設(shè)從 (θ,φ) 方向入射而來的感應(yīng)平面波的幅度和相位分別為則角譜可以表示為

在設(shè)計理論模型中,本文利用目標區(qū)域遠區(qū)的感應(yīng)源來近似產(chǎn)生感應(yīng)平面波.由于感應(yīng)源在遠區(qū)產(chǎn)生的場會隨著距離衰減,定義幅度衰減系數(shù)?(r) ,這樣感應(yīng)源激勵幅值和初始相位可以表示為：

接下來引入感應(yīng)源的概念.對于滿足瑞利散射條件的非磁性且介電常數(shù)各向同性的微散射體,入射波產(chǎn)生的振蕩電場作用于散射體內(nèi)部的電荷,可以使其感應(yīng)出一個小的輻射電偶極子[24]：

其中ξ代表電極化張量,它取決于微散射體的相對介電常數(shù)εr、大小、形狀.Ein代表入射電場.

因此,位于(ri,j,θi,φj)處的微散射體的散射場可以寫成電偶極子輻射場的形式,其在原點(原點位于微散射體的遠區(qū))的電場表達式為

這里不妨設(shè)照射微散射體的入射平面波幅度為1,因此微散射體處的入射場為

其中I3對應(yīng)的矩陣形式是3 × 3的單位對角矩陣,u0為真空磁導(dǎo)率,ω為角頻率.

根據(jù)不同角度入射的感應(yīng)平面波幅度及相位就可以計算出微散射體與原點距離ri,j以及需要的ξi,j.該理論模型從目標區(qū)域期望散射場出發(fā),進而推導(dǎo)出了所需散射結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)分布,是一種“由場到結(jié)構(gòu)”的設(shè)計方法,因此稱之為“逆向設(shè)計方法”.該方法可以指導(dǎo)設(shè)計者快速求取陣列中微散射體位置以及相對介電常數(shù)分布,在下一節(jié)設(shè)計案例中將具體詳細闡述.

3 設(shè)計案例及全波仿真結(jié)果

設(shè)計者期望在目標區(qū)域處獲得散射場為均勻激發(fā)產(chǎn)生的準貝塞爾光束的橫截面分布,該分布在目標區(qū)域表現(xiàn)為在中心原點處點聚焦的形式,其表達式為

將(11)式代入(2)式中,可得到其角譜為

因此可得各個角譜分量大小均為常數(shù)λ0/2 .

設(shè)計中選用半徑為a(a?λ)相對介電常數(shù)為εr的各向同性介電球,則(6)式中電極化張量ξ的解析表達為[25]

聯(lián)合(10)式和(12)式,即可求得微球的相對介電常數(shù)分布：

根據(jù)提出的理論模型,本文設(shè)計了一個如圖2(a)所示的121個介電微球組成的陣列來對目標區(qū)域進行散射場強整形.陣列中的介電微球分別以等Δsinθ與等 Δφ間隔放置,以保證在空間譜域中進行均勻采樣,從而使微散射體的散射場在目標區(qū)域合成均勻.由于陣列中介電微球產(chǎn)生的散射場須同相到達目標區(qū)域,即P? (θ) 為常數(shù),因此得ri,j(1+cosθi)為常數(shù),記為p(p? λ).令θ1=σ,φ1=0 且有θi＞θi+1,φj＜ φj+1,則介電微球的排布滿足以下規(guī)則：

算例中取N= 16,M= 8.以+z方向為觀察視角,圖2 (b)—圖2(d)分別展示了俯視、正視、側(cè)視圖.需說明的是,當i= 16 時,在坐標 (0,0,p/2)處僅有一個介電微球.此陣列中的介電微球半徑均為a=1/20λ0,取p=30λ0,σ=30°,入射平面波的工作頻率為2 GHz.

圖2 微球陣列設(shè)計示意圖 (a) 三維視角圖； (b)俯視圖； (c)正視圖； (d)側(cè)視圖Fig.2.Schematic of micro-sphere array design： (a) 3-D view； (b) top view； (c) front view； (d) side view.

根據(jù)(14)式以及期望場強分布,可以解析計算出陣列中介電微球的εr,其分布如圖3所示.可以看到實現(xiàn)目標區(qū)域點聚焦散射場的介電微球與j無關(guān),具有旋轉(zhuǎn)對稱性,這是因為同一φj上的介電微球與原點的距離ri,j相等.

圖3 微球相對介電常數(shù)分布Fig.3.Spheres relative permittivity of array distribution.

下面使用全波仿真軟件FDTD.Solution來驗證上述求解結(jié)果的可行性.圖4展示了面目標區(qū)域中期望形成的點聚焦散射場強分布,從3-D視角以及俯視視角可以看到,在設(shè)定的方向面目標區(qū)域中得到了需要的點聚焦散射場分布.

在y= 0,x= 0,y=x三條特殊線上比較期望的散射場分布與全波仿真的結(jié)果,結(jié)果如圖5所示.可以看到,目標區(qū)域中的點聚焦散射場強分布仿真結(jié)果與期望結(jié)果有些微失真,這是由于微散射體產(chǎn)生的散射波不是理想平面波導(dǎo)致的,并且散射體之間的微弱的多次散射效應(yīng)也會造成不良的影響.

假設(shè)期望的散射場強分布分別沿著x軸y軸正方向平移兩個波長的點聚焦形狀,根據(jù)傅里葉變換的空間平移特性,即將散射體陣列分別沿著x軸y軸正方向方向平移 2λ0長度即可.圖6 (a)展示了全波仿真結(jié)果,其散射場強的分布與預(yù)期完全符合.在此基礎(chǔ)上結(jié)合線性疊加原理,可以在目標區(qū)域處便捷地實現(xiàn)復(fù)雜的期望散射場形狀.如圖6 (b)—圖6(d)所示,由基本的點聚焦形狀散射場疊加獲取了3種不同形狀的復(fù)雜散射場形狀.特別說明的是,在目標區(qū)域處實現(xiàn)復(fù)雜的期望散射場形狀需要將微球陣列平行于xoy面進行對應(yīng)的平移疊加.圖7以“I”形散射場形狀為例展示了其微散射體的空間分布情況.

圖4 目標區(qū)域歸一化點聚焦形狀散射場分布圖 (a) 三維視角圖； (b) 俯視圖Fig.4.Normalized scattering field distribution of focused shape in target area： (a) 3-D view； (b) top view.

圖5 目標區(qū)域三條線上的歸一化散射場分布圖 (a) y = 0 處場分布； (b) x = 0 處分布； (c) y = x 處場分布Fig.5.Normalized scattering field distribution on three special lines in target area： (a) A cut view in y = 0； (b) a cut view in x = 0；(c) a cut view in y = x.

圖6 目標區(qū)域歸一化復(fù)雜形狀散射場分布圖 (a) 相對原點沿向x方向右平移沿z方向上平移2 λ0 的點聚焦形狀散射場；(b) “I”形狀； (c) “T”形狀； (d) “X”-形狀Fig.6.Normalized scattering field intensity distribution of complex shape in target area： (a) focused shaped field moving 2 λ0 to the right and top relative to the origin； (b) “I”-shaped； (c) “T”-shaped； (d) “X”-shaped.

圖7 “I”形散射場分布的微散射體陣列示意圖 (a) 三維視角圖； (b)俯視圖； (c)正視圖； (d)側(cè)視圖Fig.7.Schematic of micro-sphere array design with “ I”-shaped： (a) 3-D view； (b) top view； (c) front view； (d) side view.

從圖6中良好的仿真結(jié)果可以看出,點聚焦形狀的散射場在目標區(qū)域組合形成復(fù)雜的期望散射場形狀是有效且可行的.

4 討 論

從各個方向上入射的感應(yīng)平面波合成了目標區(qū)域期望實現(xiàn)的散射場強形狀,而入射波照射到微散射體陣列后感應(yīng)的等效源產(chǎn)生的場只有傳播到遠區(qū)后才可近似看作平面波,這表明了目標區(qū)域必須處于微散射體陣列的遠區(qū).包含高譜域信息的凋落波無法傳播至遠區(qū),這也解釋了本文提出的逆向設(shè)計理論模型僅考慮利用空間譜的情況.由于高譜域信息的損失,這也使得本研究無法在目標區(qū)域?qū)崿F(xiàn)超空間分辨率的散射場整形,如設(shè)計案例中所展示的點聚焦場,即為提出的逆向設(shè)計方法可以獲得的面目標區(qū)域處最大空間分辨率的場,其中心線上的分布為sinc函數(shù)形狀.

5 結(jié) 論

研究中提出的逆向設(shè)計方法可以根據(jù)目標區(qū)域期望的散射場強快速解析計算微散射體陣列的空間分布及介電常數(shù)分布.根據(jù)該方法在3-D情況下進行了具體的逆向設(shè)計案例.在3-D算例中研究了方形面目標區(qū)域期望的點聚焦形狀的散射場強分布案例,展示了一種全介電微球陣列的設(shè)計過程,并且基于線性疊加原理快速簡便地在目標區(qū)域產(chǎn)生了“I”,“T”,“X”形的復(fù)雜圖形.良好的全波仿真結(jié)果表明,本文提出的逆向設(shè)計方法是有效且可行的.后續(xù)的研究中可以考慮利用優(yōu)化算法對微散射體空間位置與介電常數(shù)分布進行優(yōu)化,從而使目標區(qū)域散射場強分布更加精確,本文提出的逆向設(shè)計方法可以為優(yōu)化提供高質(zhì)量的初值.