鄒秀 劉惠平 張小楠 邱明輝

(大連交通大學(xué)理學(xué)院,大連 116028)

很多關(guān)于等離子體鞘層的研究工作都是基于電子滿足經(jīng)典的麥克斯韋速度分布函數(shù),而等離子體中的粒子具有長程電磁相互作用,使用Tsallis提出的非廣延分布來描述電子更為恰當(dāng).本文建立一個具有非廣延分布電子的碰撞等離子體磁鞘模型,理論推導(dǎo)出受非廣延參數(shù)q影響的玻姆判據(jù),離子馬赫數(shù)的下限數(shù)值會隨著參數(shù)q的增大而減小.經(jīng)過數(shù)值模擬,發(fā)現(xiàn)與具有麥克斯韋分布(q = 1)電子的碰撞等離子體磁鞘對比,具有超廣延分布(q ＜ 1)和亞廣延分布(q ＞ 1)電子的碰撞等離子體磁鞘的結(jié)構(gòu)各有不同,包括空間電勢分布、離子電子密度分布、空間電荷密度分布.模擬結(jié)果顯示非廣延分布的參數(shù)q對碰撞等離子體磁鞘的結(jié)構(gòu)具有不可忽略的影響.希望這些結(jié)論對相關(guān)的天體物理、等離子體邊界問題的研究有參考價值.

1 引 言

實(shí)驗室里,在等離子體與其周圍器壁、電極或是工件之間會形成一個很窄的正空間電荷層,厚度相當(dāng)于幾個電子德拜長度,稱為等離子體鞘層.研究等離子體鞘層的結(jié)構(gòu)對等離子體刻蝕、材料表面改性等很多工藝具有極其重要的作用,所以相關(guān)的理論和實(shí)驗的研究工作也從未間斷[1-30].這些工作研究了很多具有不同物理條件的等離子體鞘層,例如： 離子與中性粒子的碰撞,離子溫度和外加磁場等.然而,很多情況下,對等離子體鞘層的研究工作是基于電子滿足經(jīng)典的麥克斯韋速度分布函數(shù)[1-13].等離子體中的粒子具有長程電磁相互作用,分布會偏離麥克斯韋分布.為了描述這種系統(tǒng),1988年Tsallis[31]提出非廣延熵的概念,表達(dá)為,其中：k為玻爾茲曼常數(shù),Pi是第i個微觀態(tài)出現(xiàn)的概率,q是無量綱化的描述系統(tǒng)非廣延性質(zhì)的參量.Tsallis以非廣延熵為基礎(chǔ)建立了非廣延統(tǒng)計力學(xué),已經(jīng)為長程相互作用系統(tǒng)找到了很好的描述框架.當(dāng)參數(shù)q=1 時,粒子分布又回到了廣延的 e 指數(shù)情形,所有的結(jié)果可以回到粒子滿足經(jīng)典的麥克斯韋分布時的結(jié)論.q＜1 和q＞1 分別對應(yīng)超廣延分布和亞廣延分布情況.非廣延統(tǒng)計是一種新的統(tǒng)計力學(xué),近年來得到了廣泛的應(yīng)用,尤其是成功地應(yīng)用于解決各種天體物理以及等離子體物理問題,包括等離子體不穩(wěn)定性、等離子體鞘層和非線性波等.研究具有非廣延分布的等離子體已成為國際上一個新的研究熱點(diǎn)[14-26].

在考慮非廣延分布電子的情況下,Hatami[14,15]在2015年研究了無碰撞和有碰撞的兩種鞘層模型,修正了鞘層判據(jù).研究結(jié)果表明： 鞘層邊緣離子的速度與非廣延參數(shù)q的數(shù)值成反比.之后,Hatami等[16]又在磁鞘模型中對德拜長度進(jìn)行了修正.Borgohain等[17]與 Borgohain和 Saharia[18]分別研究了包含兩種溫度的非廣延分布電子和熱離子的系統(tǒng)和考慮了正離子中性碰撞的電負(fù)性等離子體鞘,數(shù)值研究了鞘層中的粒子數(shù)密度、電位、凈空間電荷密度.結(jié)果是q值的增加會導(dǎo)致鞘層厚度降低.2019 年,趙曉云等[19]研究了電子的非廣延分布對等離子體鞘層中的二次電子發(fā)射的影響,結(jié)果顯示： 隨著非廣延參量的增大,鞘層厚度減小、鞘層中二次電子數(shù)密度增加.此外,還有Liu等[20,21]在含有非廣延分布電子的塵埃等離子體鞘層模型基礎(chǔ)上研究了德拜長度和玻姆判據(jù).Tantawy等[22]研究了存在非廣延分布的電子和正電子的等離子體系統(tǒng)的非線性結(jié)構(gòu).Emamuddin等[23]和Safa等[24]分別研究了含有非廣延分布電子的塵埃等離子體鞘層.Mehdipoor和 Mohsenpour[25]研究了具有非廣延分布的電負(fù)性等離子體磁鞘的雙層結(jié)構(gòu).

為了更好地了解電子滿足非廣延分布情況下的碰撞等離子體磁鞘的結(jié)構(gòu),本文采用流體力學(xué)方法和數(shù)值模擬模擬了具有非廣延分布電子的碰撞等離子體磁鞘模型,研究對比了麥克斯韋分布[12]與非廣延分布兩種碰撞磁鞘的玻姆判據(jù),以及由參數(shù)q引起的電子離子密度、電勢和空間電荷密度等物理量分布的變化.研究所得到的結(jié)果對相關(guān)的天體物理、等離子體邊界等問題的研究具有參考價值.

2 基本物理模型

根據(jù)研究的需要,并且考慮鞘層的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于器壁尺度的條件,我們建立一個一維坐標(biāo)空間,三維速度空間的碰撞等離子體磁鞘模型(圖1).外加的磁場在 (x,z) 平面內(nèi),磁場與x軸的夾角為θ.在等離子體鞘層和等離子體的分界處,即坐標(biāo)x=0處,空間靜電勢為φ=0.

在等離子體鞘層中假設(shè)電子的分布遵循非廣延分布,速率分布函數(shù)為

圖1 等離子體磁鞘模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of plasma magnetic sheath model.

為歸一化常數(shù)；me,ve和Te分別是電子的質(zhì)量、速度和溫度；ne0是電子在鞘邊的數(shù)密度； Γ 是標(biāo)準(zhǔn)伽馬函數(shù).對速率分布函數(shù)求導(dǎo)可得最概然速率,[18].對 速 率 分布函數(shù)積分,可得電子的密度為[14,15,18,19]

式中,ne是電子的數(shù)密度.

離子溫度較低,滿足流體的連續(xù)性方程和運(yùn)動方程[8,10,12]：

式中,ni,vi和mi分別是正離子的數(shù)密度、速度以及質(zhì)量；nn是中性氣體的數(shù)密度；μ=μs(vi/cis)β是離子與中性粒子間碰撞時動量傳遞的截面,μs是正離子聲速的測量截面,cis=(kTe/mi)1/2是離子聲速,β是無量綱化參數(shù),取值范圍為-1—0.這個取值范圍包含了兩種特殊情況：β=0 對應(yīng)恒定的離子平均自由程；β=-1 對應(yīng)恒定的離子碰撞頻率.

鞘層電勢滿足泊松方程：

在器壁處,懸浮電位為φw,離子和電子的電流守恒,ji=je,j是電流密度.

為了簡化,引入下列無量綱量：Φ=eφ/kTe,ξ=x/λD,ui=vi/cis,Ne=ne/ne0,Ni=ni/ni0,ν=λDnnμs.這 里λD=(?0kTe/ne0e2)1/2是 電 子 德拜長度,ωic=eB/mi是離子回旋頻率.ωic和λD分別是離子回旋頻率和電子德拜長度.令B0=cosθi+sinθk,如果取物理量只有x方向的空間變化,即?→?/?x?i,則由 (2)式—(7)/式,可以得到

(9)式中Mai=vix0/cis為離子馬赫數(shù).(10)式中γi=ωic/ωpi為離子回旋頻率ωic與離子等離子體頻率ωpi之 比 ,ωpi=(ni0e2/?0mi)1/2,(14) 式 中μ=(me/mi)1/2,Aq=Cq(kTe/me)1/2/ne0.

(1)建立制造業(yè)企業(yè)分類目錄，推動勞動密集型制造業(yè)轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)型或退出。政府應(yīng)順應(yīng)勞動力成本上升的形勢，科學(xué)地建立制造業(yè)企業(yè)分類目錄，依據(jù)所建立的目錄推動勞動密集型制造業(yè)轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)型或退出，改變制造業(yè)企業(yè)的“粗放型”發(fā)展方式，引導(dǎo)制造業(yè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

由(8)式,(9)式和(13)式可得賽格捷夫勢：

賽格捷夫勢滿足的邊界條件：V(Φ=0)=0 ,.

由(8)式可得

由(9)式和(10)式,再考慮鞘層的邊界條件：x=0,Φ→0 ,Ni→1 ,?Φ/?ξ=-E0/=0 ,可得

再考慮離子在等離子體預(yù)鞘區(qū)的E×B漂移運(yùn)動[13,27-30],離子進(jìn)入鞘層初始速度的y軸和z軸分量分別為uiy0=-E0sinθ/γi和uiz0=Maitanθ,則：

代入 (16)和 (17)式,可得

這是離子馬赫數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的下限條件,顯示出離子馬赫數(shù)與磁場角度、碰撞參數(shù)、鞘邊電場以及非廣延分布參數(shù)四個量有關(guān).當(dāng)q=1 時,(18) 式與電子滿足麥克斯韋分布時的等離子體磁鞘的下限條件[12]一致.由 Tsallis的非廣延分布理論,當(dāng)q=1時,所有的結(jié)果可以回到經(jīng)典的麥克斯韋分布對應(yīng)的結(jié)論.由(18)式代入條件參數(shù)(q=1,θ=0,ν=0)可得到Ma2≥1,這是我們非常熟悉的無外加磁場且不考慮碰撞效應(yīng)的電子離子鞘層的玻姆判據(jù).當(dāng)不考慮碰撞效應(yīng)時,離子馬赫數(shù)與鞘邊電場沒有關(guān)系.從(18)式可以得到當(dāng)電子采用麥克斯韋分布來描述時(q=1 ),就可以得到 Chodura[1]研究工作的結(jié)果Mai≥ cosθ.很多研究鞘層判據(jù)的工作[13,27-30]在考慮離子的E×B漂移運(yùn)動之后都得到了類似的結(jié)果： 磁場的角度對離子馬赫數(shù)是有影響.等離子體預(yù)鞘區(qū)存在一個微弱的電場加速離子,在考慮碰撞的情況下,鞘邊電場對離子馬赫數(shù)是有影響的,有限邊界電場是克服碰撞摩擦的必要條件.沒有碰撞和電離時,邊界電場可以設(shè)置為無窮小,采用無碰撞情況下的鞘判據(jù),可以利用ji=je的條件來確定鞘層電勢,而鞘邊電場也不是一個獨(dú)立的變量.本文研究的是碰撞磁鞘,對離子進(jìn)入鞘層的判據(jù)進(jìn)行了修正,在數(shù)值模擬中鞘邊電場需要給出一個初始值.

再由(15)式,V(Φ)≤ 0 可得離子馬赫數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的上限條件：

可見離子馬赫數(shù)的上限與參數(shù) 有關(guān).q

3 數(shù)值結(jié)果與討論

在圖2—圖7的數(shù)值模擬中,采用氬等離子體實(shí)驗中常用的數(shù)據(jù),例如： 碰撞參數(shù)ν=0.134 ,相應(yīng)的氣體壓強(qiáng)為 1 3 Pa ,溫度為 2 9 0K.取等離子體密度為 5×1014/m3,電子溫度為 3.48×104K.

圖2 離 子 馬 赫 數(shù) 的 下 限 隨 參 數(shù) q 的 變 化 ( B =0.3T ,E0=0.1)Fig.2.Ion Mach number versus non-extensive parameterq( B =0.3T ,E 0=0.1 ).

圖2顯示了β=0 和β=-1 時離子馬赫數(shù)下限的數(shù)值隨q值的變化關(guān)系,并且對比了磁場角度對離子馬赫數(shù)的影響.如圖2所示,外加磁場角度增大會使離子馬赫數(shù)下限的數(shù)值減小.因為在磁場強(qiáng)度不變的前提下,磁場角度增大也就是磁場z軸分量增強(qiáng),這個方向的磁場分量對離子的洛倫茲力會明顯影響離子x軸的速度分量,從而影響離子的密度分布,關(guān)于磁場角度對鞘層結(jié)構(gòu)(q=1 )的影響,可以參考文獻(xiàn)[10]的相關(guān)結(jié)論.無論磁場角度取何值,離子馬赫數(shù)的下限的數(shù)值都會隨著非廣延分布參數(shù)q值增大而減小,相比β=-1 情形,β=0時這個減小的趨勢更加明顯,這個結(jié)論與Hatami[14]的研究結(jié)果相似.當(dāng)非廣延分布參數(shù)q＜1 時離子馬赫數(shù)的下限值會增大； 而當(dāng)q＞1 時,離子馬赫數(shù)的下限值會減小.隨著q值增加,離子馬赫數(shù)下限會降低,意味著當(dāng)?shù)退龠\(yùn)動的電子數(shù)目增多時,離子進(jìn)入鞘層需要具有較少的動能,更容易進(jìn)入鞘層.

圖3—圖5顯示了非廣延分布對碰撞磁鞘的影響.圖3顯示了非廣延分布參數(shù)q值對碰撞磁鞘電勢的影響.與麥克斯韋分布的磁鞘(q=1 )相比,當(dāng)q＜1 時,非廣延分布磁鞘的空間電勢下降得慢些,而當(dāng)q＞1 時,對應(yīng)的電勢下降得更快些.與麥克斯韋分布相比,超廣延分布(q＜1 )的電子平均速度相對較快,高速運(yùn)動的電子數(shù)量增加； 亞廣延分布(q＞1 )的電子平均速度相對較慢,低速運(yùn)動的電子數(shù)量增加.電子的速度影響空間電勢分布,也影響到達(dá)器壁的電子數(shù)量.器壁懸浮電勢與參數(shù)q的關(guān)系與文獻(xiàn)[19]類似,這里不做贅述.

圖3 具 有 不 同 參 數(shù) q 值 的 鞘 層 空 間 電 勢 ( B =0.3T ,θ=15°,E 0=0.1 ,β =0 )Fig.3.Sheath potential for different values of non-extensive parameter q ( B =0.3T ,θ =15° ,E 0=0.1 ,β =0 ).

圖4顯示了非廣延分布的碰撞等離子體磁鞘的電子離子密度分布跟麥克斯韋分布碰撞磁鞘的對比.由圖4(a)可知,當(dāng)q＜1 時,電子數(shù)密度降落得也相對較慢,而且q值越小,高速運(yùn)動的電子數(shù)量越多,密度分布曲線下降得越慢.由圖4(b)可知,當(dāng)q＞1 時,隨著q值的增大,高速運(yùn)動的電子數(shù)量越少,電子數(shù)密度更快地降為零,離子的密度分布也下降得更快.

圖5顯示了q取不同值時非廣延分布的碰撞等離子體磁鞘的空間電荷密度分布.與麥克斯韋分布(q=1 )的碰撞磁鞘的對比,當(dāng)q＜1 時,由于電子的密度分布降落得較慢,所以空間電荷曲線的峰值更小而且更加靠近器壁或是工件.也就是在這種情況下,更多更高能量的電子進(jìn)入鞘層區(qū)域,結(jié)果凈空間電荷密度降低.當(dāng)q＞1 時,對應(yīng)的電子數(shù)密度下降得較快,這也導(dǎo)致空間凈電荷曲線的峰值較大,而且遠(yuǎn)離器壁或是工件.

圖4 具有不同參數(shù) q 值的離子電子密度分布 (B=0.3T,θ =15° ,E 0=0.1 ,β =0 ) (a) q ＜1 ； (b)q＞1Fig.4.Normalized density of ions and electrons for different values of non-extensive parameter q ( B =0.3T ,θ=15°,E 0=0.1 ,β =0 )： (a) q ＜1 ； (b) q ＞1.

圖5 具有不同參數(shù) q 值的鞘層空間電荷密度分布 (B=0.3T ,θ =15° ,E 0=0.1 ,β =0 )Fig.5.Normalized space charge density for different values of non-extensive parameter q ( B =0.3T ,θ =15° ,E0=0.1,β =0 ).

圖6和圖7顯示了碰撞對非廣延分布等離子體磁鞘的影響,取參數(shù)q=0.9.本文討論的碰撞是發(fā)生在離子與中性粒子間的碰撞.由于碰撞,離子損失了動能.與無碰撞時相比較,離子向極板運(yùn)動的速度會降低,相應(yīng)的密度分布的降落會減緩,如圖6所示.離子密度分布的變化會影響鞘層的電勢分布和電子密度分布,也會影響鞘層空間電荷密度分布(如圖7所示).由于離子的密度分布降落得較慢,所以空間電荷曲線的峰值更高.通過以上結(jié)果可見碰撞對非廣延分布磁鞘的影響同在麥克斯韋分布磁鞘得到結(jié)論[11]類似.

圖6 具有不同碰撞參數(shù) ν 值的離子電子密度分布 (B=0.3T ,θ =15° ,E 0=0.5 ,β =0 ,q =0.9 )Fig.6.Normalized density of ions and electrons for different values of collision parameter ν ( B =0.3T ,θ =15° ,E0=0.5,β=0,q =0.9 ).

圖7 具有不同碰撞參數(shù) ν 值的鞘層空間電荷密度分布 (B=0.3T ,θ =15° ,E 0=0.5 ,β =0 ,q =0.9 )Fig.7.Normalized space charge density for different values of collision parameter ν ( B =0.3T ,θ =15° ,E 0=0.5 ,β=0,q =0.9 ).

4 結(jié) 論

本文建立一個具有非廣延分布電子的碰撞等離子體磁鞘模型,理論推導(dǎo)出與非廣延參數(shù)q有關(guān)的玻姆判據(jù),離子馬赫數(shù)下限的數(shù)值隨參數(shù)q的增大而減小.與具有麥克斯韋分布(q=1) 電子的碰撞等離子體磁鞘對比,當(dāng)q＜1 時,離子馬赫數(shù)的下限的數(shù)值會增加； 當(dāng)q＞1 時,離子馬赫數(shù)的下限的數(shù)值會降低.經(jīng)過數(shù)值模擬,得出結(jié)論： 與具有麥克斯韋分布(q=1) 的碰撞等離子體磁鞘對比,當(dāng)q＜1時,非廣延分布的碰撞等離子體磁鞘的空間電勢降落得更慢,離子電子密度降落得更慢,空間電荷密度曲線的峰值更加靠近器壁； 當(dāng)q＞1 時,非廣延分布的等離子體磁鞘的空間電勢降落得更快,離子電子密度降落得更快,尤其是電子密度更快地降為零,空間電荷密度曲線的峰值遠(yuǎn)離器壁.以上模擬結(jié)果顯示出非廣延分布的參數(shù)q對等離子體磁鞘的結(jié)構(gòu)具有不可忽略的影響,而碰撞對非廣延分布磁鞘的影響同在麥克斯韋分布磁鞘得到的結(jié)論類似,這些結(jié)論對相關(guān)的等離子體邊界問題或者等離子體工藝的研究具有參考價值.