艾青林 王國(guó)棟 徐巧寧

(浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 杭州 310023)

0 引 言

21世紀(jì)以來我國(guó)的經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，隨之而來的是各種基礎(chǔ)設(shè)施和高樓大廈拔地而起，其中包含許多復(fù)雜的大型鋼結(jié)構(gòu)建筑[1]。然而由于現(xiàn)今的鋼結(jié)構(gòu)建筑超負(fù)荷運(yùn)營(yíng)，檢測(cè)維護(hù)不力，再加之這些建筑設(shè)計(jì)之初存在的結(jié)構(gòu)缺陷和施工質(zhì)量差等問題，最終事故頻發(fā)，嚴(yán)重威脅人們的生命財(cái)產(chǎn)安全。因此，加強(qiáng)鋼結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)、及時(shí)進(jìn)行維修十分重要[2]。

目前鋼結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)中廣泛采用有線的數(shù)據(jù)采集方法，但是存在布線繁瑣，花費(fèi)大量人力成本的缺點(diǎn)；使用無線傳感網(wǎng)絡(luò)的建筑結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)技術(shù)需要解決系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間供電問題和信號(hào)傳輸可靠性問題。因此現(xiàn)期望使用一種具有自主運(yùn)動(dòng)、數(shù)據(jù)采集、無線通訊功能的柔性機(jī)器人作為一個(gè)智能移動(dòng)檢測(cè)單元[3]，解決目前檢測(cè)中存在的檢測(cè)盲區(qū)和檢測(cè)不全面問題。

由于鋼結(jié)構(gòu)建筑內(nèi)部存在各種內(nèi)外拐角、加強(qiáng)筋、空間異面等復(fù)雜結(jié)構(gòu)，檢測(cè)機(jī)器人需要越過或避開各種障礙，因此本文采用柔性結(jié)構(gòu)機(jī)器人進(jìn)行越障控制。為了使柔性機(jī)器人順利避障，首先需要實(shí)現(xiàn)機(jī)器人軌跡跟蹤[4-5]。與普通移動(dòng)機(jī)器人類似，柔性結(jié)構(gòu)機(jī)器人仍屬于一種具有非完整約束的多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)非線性系統(tǒng)[6]。但是由于機(jī)器人前后車體通過鋼帶連接，帶來了柔性被動(dòng)約束，給機(jī)器人建模和控制帶來了很大的難度。針對(duì)傳統(tǒng)的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤問題，文獻(xiàn)[7]提出了一種有限時(shí)間跟蹤控制算法，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有快速收斂性能，在有限時(shí)間內(nèi)跟上期望軌跡，但具有輸出變量抖動(dòng)大的問題。文獻(xiàn)[8]將基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂茟?yīng)用于機(jī)械臂中，有效地實(shí)施了控制，并且削弱了系統(tǒng)的抖振。文獻(xiàn)[9]提出基于粒子濾波的移動(dòng)機(jī)器人控制器，在實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制的同時(shí)提高了運(yùn)動(dòng)過程中姿態(tài)的穩(wěn)定性，但是其運(yùn)算量龐大，實(shí)時(shí)性差。

柔性機(jī)器人在軌跡跟蹤中存在控制模型復(fù)雜，跟蹤速度不夠快，軌跡跟蹤精度不足的問題。針對(duì)這些問題本文提出了一種基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂品椒?，在滑模控制中引入新型的滑模面趨近律，提高收斂速度和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。由于目前對(duì)傳統(tǒng)輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模[10]不能夠直接應(yīng)用于此柔性機(jī)器人，本文對(duì)柔性機(jī)器人結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行分析，通過對(duì)連接前后車體的柔性鋼帶進(jìn)行彈性梁的靜力學(xué)分析[11-12]，提出一種簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制提供基礎(chǔ)?；谠撊嵝詸C(jī)器人系統(tǒng)模型，采用反演方法設(shè)計(jì)滑模切換函數(shù)[13]，改進(jìn)了滑模趨近律，并削弱了抖振。在此基礎(chǔ)上針對(duì)柔性機(jī)器人的軌跡跟蹤問題，設(shè)計(jì)了一種基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂破鳌Ｗ詈?，通過仿真驗(yàn)證了所提方法對(duì)柔性機(jī)器人控制的有效性和優(yōu)越性。

1 柔性機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析及建模

如圖1所示，本文針對(duì)具有柔性鋼帶結(jié)構(gòu)的探傷機(jī)器人進(jìn)行研究。 具有柔性鋼帶的機(jī)器人整體運(yùn)動(dòng)學(xué)模型非常復(fù)雜，難以直接描述并應(yīng)用于控制環(huán)節(jié)。一方面柔性鋼帶使得前后車體可以發(fā)生相對(duì)偏轉(zhuǎn)、扭轉(zhuǎn)甚至錯(cuò)位，另一方面也帶來了更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并且在柔性機(jī)器人控制中必須協(xié)調(diào)前后車體運(yùn)動(dòng)。因此這里利用前后車體的相對(duì)位置與鋼帶的長(zhǎng)度變化來簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

圖1 柔性機(jī)器人三維模型

為正確描述鋼帶連接的機(jī)器人整體運(yùn)動(dòng)學(xué)，得到有助于機(jī)器人控制的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，需要給出鋼帶變形帶來的前后車體約束。圖2顯示了機(jī)器人在以點(diǎn)I為旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)向過程中，某一時(shí)刻前后車體與鋼帶的位姿和形態(tài)，其中C1與C2分別是前后車體的幾何中心。假設(shè)在該時(shí)刻前后車體具有確定的位姿，就能夠基本確定鋼帶前后邊界，于是鋼帶在這個(gè)機(jī)器人中起到的作用相當(dāng)于一個(gè)梁。因?yàn)榇虽搸Щ痉蠙M截面的最大尺度寬度h遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度L(h<

圖2 柔性機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型

同時(shí)，鋼帶的橫截面是一個(gè)狹長(zhǎng)的矩形，滿足了平面應(yīng)變問題的一個(gè)基本假設(shè)，即厚度b與寬度h相比很小。在平面運(yùn)動(dòng)中，只研究鋼帶的彎曲變形問題。于是利用歐拉-伯努利梁方程[14]，可以得到鋼帶的撓度與兩端邊界的關(guān)系，并進(jìn)一步分析得出前后車體位姿的關(guān)系。

圖3是將鋼帶作為簡(jiǎn)支梁處理的模型，C1與C2分別對(duì)應(yīng)于圖2柔性機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型中的前后車體的幾何中心。

歐拉-伯努利梁方程表述如下。

(1)

圖3 鋼帶梁模型

如圖3所示鋼帶兩端的偏轉(zhuǎn)角度為ψ，在梁模型所示的坐標(biāo)系下可以得出其邊界關(guān)系：

(2)

(3)

其中，L是鋼帶的長(zhǎng)度，Lf是C1與C2之間的距離。上述得到的鋼帶橫向變形用來計(jì)算其兩端的直線距離的縮短，對(duì)應(yīng)于C1與C2之間距離的變化dLf，令k=EI，則：

(4)

于是Lf表示為

(5)

為得到速度限制，將Lf對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：

(6)

根據(jù)圖2，得到C1與C2的速度關(guān)系：

(7)

(8)

將ψ=|ψ1|=|ψ2|帶入到式(7)中，并結(jié)合式(8)可以得到每個(gè)車體的線速度：

(9)

若柔性機(jī)器人車體及鋼帶轉(zhuǎn)向角很小，對(duì)鋼帶的撓度變形影響可以忽略，因此可得簡(jiǎn)化的速度約束為

(10)

在旋轉(zhuǎn)過程中，I為旋轉(zhuǎn)中心，ro為點(diǎn)O繞旋轉(zhuǎn)中心I的旋轉(zhuǎn)半徑。根據(jù)幾何關(guān)系有：

(11)

同時(shí)ro可以由下式給出：

(12)

因此，利用式(11)、(12)可以得到ψ來求解出式(10)的前后車體速度約束。

柔性機(jī)器人的每一個(gè)獨(dú)立的車體都是一個(gè)兩輪差速驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)機(jī)器人。每個(gè)車體的前進(jìn)速度vi和偏航角速度wi與車輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系可由下式表示[16]：

(13)

式中，rw為車輪半徑，d為左右輪的間距，ωil和ωir分別表示每個(gè)車體左右輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，式中i=1, 2 分別代表柔性機(jī)器人前后車體。

鋼結(jié)構(gòu)探傷機(jī)器人的每個(gè)車輪表面都貼有強(qiáng)力的弧形磁鐵，增強(qiáng)了車輪與吸附面間的摩擦，可以假設(shè)輪子與接觸面之間只發(fā)生純滾動(dòng)而沒有滑動(dòng)。因此每個(gè)機(jī)器人車體都滿足非完整性約束：

(14)

柔性機(jī)器人每個(gè)車體都是關(guān)于中心軸幾何對(duì)稱的，假定每個(gè)車體的幾何中心與質(zhì)心重合,在這一理想狀況下，結(jié)合普通兩輪差速移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型得到：

(15)

(16)

其中T是由全局笛卡爾坐標(biāo)到局部機(jī)器人坐標(biāo)的變換矩陣，具體形式為

(17)

將機(jī)器人單個(gè)車體的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型式(15)帶入式(16)并結(jié)合式(17)得到車體的誤差微分方程為

(18)

基于前面得到的柔性機(jī)器人參考點(diǎn)O和前后車體之間的速度約束式(10)，可以得到前后車體期望線速度vir和期望角速度wir，因此本文研究的軌跡跟蹤控制目標(biāo)就轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ疫m當(dāng)?shù)目刂戚斎雟i和wi，通過設(shè)計(jì)合理的控制律控制柔性機(jī)器人跟蹤期望軌跡。

2 柔性機(jī)器人改進(jìn)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

輪式移動(dòng)機(jī)器人屬于多輸入多輸出的高耦合非線性系統(tǒng)，控制結(jié)構(gòu)存在欠驅(qū)動(dòng)，在軌跡跟蹤控制上如果要應(yīng)用比例積分微分(proportion integral differential,PID)控制等傳統(tǒng)方法[18]，必須先解耦處理，而且這樣的方法精度不高，抵抗不確定干擾的能力差?；？刂凭哂性O(shè)計(jì)本身與參數(shù)變化及擾動(dòng)無關(guān)的特點(diǎn)，因而系統(tǒng)響應(yīng)快且魯棒性好，已經(jīng)應(yīng)用于多種非線性系統(tǒng)[19，20]。

柔性機(jī)器人不但具有輪式機(jī)器人系統(tǒng)固有的特點(diǎn)，而且加入了柔性鋼帶的約束，參數(shù)變化維度更多，是一個(gè)更復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。本文使用滑?？刂品椒▉韺?duì)柔性機(jī)器人進(jìn)行軌跡跟蹤控制。首先依據(jù)建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型軌跡跟蹤方程，基于反演設(shè)計(jì)方法結(jié)合李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)滑?？刂频那袚Q函數(shù)能夠使跟蹤誤差趨于0，然后設(shè)計(jì)滑?？刂破鱽韺?shí)現(xiàn)機(jī)器人對(duì)參考軌跡的跟蹤。由于一般的滑模控制在趨近滑模面時(shí)會(huì)有劇烈的抖振，并且收斂速度較慢，所以設(shè)計(jì)了趨近律來抑制抖振，并改善控制品質(zhì)，提高收斂速度。

2.1 設(shè)計(jì)滑模面

引理1對(duì)于任意x∈R并且|x|<∞，有f(x)=xsin(arctan(x))≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。

證明分以下3種情況討論。

(1) 當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0；

假定柔性機(jī)器人的軌跡跟蹤的位置誤差xie=0，定義y方向位置誤差的李雅普諾夫函數(shù)Vy：

(19)

將上式兩邊分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得：

(20)

假設(shè)，選取虛擬控制量為φie：

φie=-arctan(viryie)

(21)

于是式(20)變?yōu)?/p>

=-yievirsin(arctan(viryie))-wixieyie

(22)

定義滑模切換函數(shù)，其具體形式如下：

(23)

2.2 基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的冪次函數(shù)趨近律如下所示：

(24)

其中sgn(·)為符號(hào)函數(shù)，定義為

(25)

雖然傳統(tǒng)的冪次趨近律能夠在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程中很好地抑制抖振，但是仍存在收斂速度慢的問題。因此在這里使用一種改進(jìn)的趨近律，其表達(dá)式為

(26)

式中，增益參數(shù)α>0；arsinh(·)為反雙曲正弦函數(shù)。在趨近運(yùn)動(dòng)階段由于反雙曲正切函數(shù)的值在系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離零點(diǎn)時(shí)較大，αarsinh(s)能夠使系統(tǒng)狀態(tài)以較大的速度趨近于滑模面；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近零點(diǎn)時(shí)反雙曲正切函數(shù)的值快速接近于0，αarsinh(s)幾乎不起作用，式(26)退化成冪次趨近律在滑模面附近削弱抖振。因此，改進(jìn)趨近律可使得系統(tǒng)提高收斂速度，并且在接近滑模面時(shí)保證較小的抖振。

滑?？蛇_(dá)性的成立是滑動(dòng)模態(tài)控制的前提，對(duì)基于改進(jìn)趨近律的滑模控制可達(dá)性進(jìn)行驗(yàn)證：

(27)

結(jié)合式(23)、(26)以及軌跡誤差方程式(18)得到：

(28)

其中ξ=arctan(viryie)，整理上式可以得到柔性機(jī)器人的滑?？刂坡桑?/p>

(29)

2.3 穩(wěn)定性證明

為證明上述控制律用于柔性機(jī)器人系統(tǒng)時(shí)的穩(wěn)定性，定義李雅普諾夫函數(shù)為

(30)

對(duì)上式求導(dǎo)可得：

=-ki1(pi1|si1|qi1sgn(si1)si1+ai1arsinh(si1)si1)

-ki2(pi2|si2|qi2sgn(si2)si2+ai2arsinh(si2)si2)

(31)

利用改進(jìn)趨近律滑?？刂频目蛇_(dá)性可以得出Vi≤0,則當(dāng)t→∞時(shí)si→0。于是，據(jù)之前的分析，系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差將漸進(jìn)收斂到0，因此可證明柔性機(jī)器人控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制方法的有效性，在Matlab/Simulink上對(duì)該柔性機(jī)器人使用該方法進(jìn)行軌跡跟蹤控制仿真研究。柔性機(jī)器人系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)為rw=0.036 m,d=0.137 m,L=0.14 m?；诟倪M(jìn)趨近律的滑?？刂破鲄?shù)為p11=p21=1.5，p12=p22=1.2，q11=q21=0.8，a11=a21=1.5，a12=a22=1.2，q12=q22=0.8。

3.1 直線軌跡跟蹤

圖4所示為在期望軌跡是直線的情況下，由基于改進(jìn)趨近律的滑模軌跡跟蹤控制器得到的前后車體速度控制輸入。從圖4中可以看出，系統(tǒng)的控制輸入平滑，有效抑制了抖振。

將基于改進(jìn)趨近律的滑模控制器與傳統(tǒng)的基于冪次趨近律的滑?？刂破鬟M(jìn)行直線軌跡跟蹤的仿真比較。圖5是使用兩種方法進(jìn)行柔性機(jī)器人軌跡跟蹤得到的軌跡曲線。從圖5中可以看出，兩種方法都能夠使機(jī)器人跟蹤期望的直線軌跡，但是對(duì)比可以看出，基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂品椒軌蚋焖俚馗櫰谕壽E。

圖4 直線軌跡前后車體速度曲線

圖5 直線軌跡跟蹤曲線

圖6顯示了在基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂葡?，機(jī)器人跟蹤直線軌跡位姿誤差的變化。柔性機(jī)器人參考點(diǎn)O在x方向的初始誤差為0，并且在軌跡跟蹤過程中x方向的誤差幾乎沒有變化。在y方向的誤差剛開始較大，之后逐漸減小，最終穩(wěn)定在零點(diǎn)附近。這表明基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂颇軌蚴箈、y方向的跟蹤誤差快速收斂，并能保持穩(wěn)定。柔性機(jī)器人的偏航角誤差在軌跡跟蹤過程中先快速減小后增大，直到達(dá)到一定的超調(diào)后又快速趨向于0，最終穩(wěn)定在零點(diǎn)附近，這是由于柔性機(jī)器人的非完整性約束使偏航角誤差無法直接減小到0。

圖6 直線軌跡跟蹤誤差曲線

圖7是兩種滑?？刂破髯饔孟?，柔性機(jī)器人軌跡跟蹤誤差的比較結(jié)果。如圖7(a)所示，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，在x方向，傳統(tǒng)滑模的跟蹤誤差約為0.5 mm，而改進(jìn)滑?？梢允垢櫿`差遠(yuǎn)小于0.5 mm，說明了基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂品椒ň哂懈叩目刂凭?。如圖7(a)、(b)所示，在x與y方向，改進(jìn)滑?？刂普`差比傳統(tǒng)滑?？刂普`差的超調(diào)量小很多。如圖7(b)、(c)所示，對(duì)于y方向和偏航角φ誤差，改進(jìn)滑模控制誤差比傳統(tǒng)滑?？刂普`差的調(diào)節(jié)時(shí)間更短，加快了誤差收斂速度。將機(jī)器人的3個(gè)位姿誤差變量動(dòng)態(tài)控制過程中最大的調(diào)節(jié)時(shí)間作為機(jī)器人位姿達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間，從圖7中可以看出，y方向的誤差調(diào)節(jié)時(shí)間最大。從圖7(b)中可知，采用傳統(tǒng)滑?？刂频臋C(jī)器人在6.89 s左右達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而改進(jìn)滑?？刂频臋C(jī)器人在5.41 s左右達(dá)到穩(wěn)態(tài)，改進(jìn)滑?？刂票葌鹘y(tǒng)滑?？刂七_(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間縮短了27.78%。

3.2 圓形軌跡跟蹤

圖8是期望軌跡為圓形的情況下，基于改進(jìn)趨近律的滑模軌跡跟蹤控制器得到的輸入，從圖中可以看出系統(tǒng)的控制輸入平滑，有效抑制了抖振。

基于改進(jìn)趨近律的滑模控制器與傳統(tǒng)的基于冪次趨近律的滑?？刂破鬟M(jìn)行圓形軌跡跟蹤仿真比較。圖9是使用兩種方法進(jìn)行柔性機(jī)器人圓形軌跡跟蹤得到的軌跡曲線。從圖9可以看出，基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂品椒ㄅc傳統(tǒng)滑?？刂品椒ň芨櫰谕壽E，但是基于改進(jìn)趨近律的方法能更快地跟蹤圓形軌跡，具有更好的動(dòng)態(tài)性能。

(a) x方向誤差比較圖

圖8 圓形軌跡前后車體速度曲線

圖9 圓形軌跡跟蹤曲線

圖10顯示了在基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂葡拢嵝詸C(jī)器人軌跡跟蹤誤差的變化。柔性機(jī)器人在x、y方向的誤差由較大的初始誤差快速減小到零點(diǎn)附近，并能保持穩(wěn)定。根據(jù)式(26)可知，在系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離零點(diǎn)時(shí)滑模趨近速度較大。因此x、y方向較大的初始誤差能夠快速減小。而柔性機(jī)器人的偏航角誤差一開始從初始的零誤差逐漸變大，但經(jīng)過基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂破髯饔煤笞詈竽軌蚧氐搅泓c(diǎn)附近。由式(21)可知，虛擬控制量φie與y方向誤差有關(guān)，當(dāng)y方向誤差收斂后，偏航角誤差也將收斂。

在兩種控制器作用下，柔性機(jī)器人圓形軌跡跟蹤誤差變化比較如圖11所示。如圖11(a)、(c)所示，對(duì)于x方向和偏航角φ誤差，改進(jìn)滑?？刂普`差比傳統(tǒng)滑?？刂普`差的調(diào)節(jié)時(shí)間更短。在圖11(c)中可以看到，傳統(tǒng)滑模的航向角誤差變化在1 s左右出現(xiàn)了波動(dòng)，而改進(jìn)滑模的誤差曲線則比較平滑，說明改進(jìn)滑模對(duì)機(jī)器人的位姿控制更加平穩(wěn)。將機(jī)器人的3個(gè)位姿誤差變量動(dòng)態(tài)控制過程中最大的調(diào)節(jié)時(shí)間作為機(jī)器人位姿達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間，從圖11中可以看出，偏航角φ的誤差調(diào)節(jié)時(shí)間最大。由圖11(c)可知，采用傳統(tǒng)滑?？刂频臋C(jī)器人在6.01 s左右達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而改進(jìn)滑?？刂频臋C(jī)器人在4.59 s左右達(dá)到穩(wěn)態(tài)，相比傳統(tǒng)滑模達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間縮短了30.43%。

圖10 機(jī)器人參考點(diǎn)圓形軌跡跟蹤誤差曲線

從上述結(jié)果可知，本文所提出的基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂品椒梢詫?shí)現(xiàn)鋼結(jié)構(gòu)柔性探傷機(jī)器人的軌跡跟蹤控制，相比于傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ǎ櫿`差收斂速度有明顯的提升，跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差更小，并且控制過程更平穩(wěn)。

4 結(jié)論與展望

本文針對(duì)鋼結(jié)構(gòu)柔性探傷機(jī)器人的滑模控制軌跡跟蹤問題，進(jìn)行了如下研究。

(1)針對(duì)柔性機(jī)器人的前后車體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)特性，分別建立運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，并且通過對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中前后車體的幾何關(guān)系與鋼帶形變的研究，利用歐拉-伯努利梁方程建立了前后車體之間的柔性被動(dòng)運(yùn)動(dòng)約束，最終得到了柔性機(jī)器人整體的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

(a) x方向誤差比較圖

(2)基于柔性機(jī)器人整體的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)換為全局坐標(biāo)下的位姿誤差模型，針對(duì)柔性機(jī)器人的軌跡跟蹤提出了一種基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂品椒?，通過在滑模趨近律中加入反雙曲正弦函數(shù)項(xiàng)，在滿足滑模函數(shù)可達(dá)性的同時(shí)，加快了滑?？刂频氖諗克俣龋⑾魅趿讼到y(tǒng)抖振。

(3)基于改進(jìn)趨近律滑?？刂茖?duì)柔性機(jī)器人小車軌跡跟蹤進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，該控制方法可以使機(jī)器人快速、精確地跟蹤參考軌跡，并且具有良好的全局穩(wěn)定性。在直線軌跡跟蹤的情況下改進(jìn)的趨近律滑?？刂颇軌蛴行У丶涌鞕C(jī)器人跟蹤上參考軌跡的速度，穩(wěn)態(tài)誤差收斂時(shí)間相比于傳統(tǒng)滑?？刂瓶s短了27%以上。在圓形軌跡跟蹤的情況下，改進(jìn)的趨近律滑?？刂品椒ㄍ瑯邮箼C(jī)器人更快跟蹤上參考軌跡，誤差收斂時(shí)間相比于傳統(tǒng)滑?？刂瓶s短了30.43%。同時(shí)無論在直線軌跡或是圓形軌跡跟蹤的情況下，改進(jìn)的趨近律滑?？刂品椒ㄏ啾扔趥鹘y(tǒng)滑?？刂凭哂懈〉母櫿`差。

在后續(xù)的研究工作中將建立柔性機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，并將其引入到控制系統(tǒng)中，提高機(jī)器人跨越空間障礙以及抵抗外部干擾的能力，使控制系統(tǒng)輸出力矩更平滑，動(dòng)態(tài)魯棒性更好，軌跡跟蹤能力更強(qiáng)。