陳 峰

(江蘇省蘇州大學(xué)附屬中學(xué) 215006)

在蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-1》課本P74-P75中提出了一個(gè)很有意思的問(wèn)題：嘗試證明離心率相同的圓錐曲線(xiàn)“形狀都相同”.如果上述結(jié)論成立，這意味著圓錐曲線(xiàn)中也存在著相似關(guān)系，為了弄清這個(gè)問(wèn)題，首先必須引入位似的概念.

一、位似

兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且對(duì)應(yīng)邊互相平行或位于同一直線(xiàn)上，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形(homothetic figures)，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比.

兩個(gè)圖形位似，它們的相對(duì)位置關(guān)系有三種：位似中心在圖形的一側(cè)(如圖1)、兩個(gè)圖形分居位似中心的兩側(cè)(如圖2)、位似中心在兩個(gè)圖形的內(nèi)部(如圖3).

根據(jù)位似的定義不難得出：兩個(gè)圖形位似則它們一定相似，而兩個(gè)圖形相似則它們不一定位似.同時(shí)，當(dāng)兩個(gè)圖形位似時(shí)，除了滿(mǎn)足相似的一切性質(zhì)外，還滿(mǎn)足一些特有性質(zhì)，如“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)”、“對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線(xiàn)上”等.

二、圓錐曲線(xiàn)的位似關(guān)系

1.拋物線(xiàn)

結(jié)論1拋物線(xiàn)y=ax2(a>0)與y=Ax2(A>0,A≠a)是位似圖形，原點(diǎn)是位似中心.

結(jié)論2拋物線(xiàn)y=a1x2(a1>0),y=a2x2(a2>0),…,y=anx2(an>0)是位似圖形，原點(diǎn)是位似中心.

由結(jié)論3可知，拋物線(xiàn)的位似中心并不是唯一的，其頂點(diǎn)和焦點(diǎn)均可作為位似中心.

2.橢圓與雙曲線(xiàn)

3.圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一形式

當(dāng)01時(shí)，方程(*)表示雙曲線(xiàn).

結(jié)論6離心率相等的圓錐曲線(xiàn)C1,C2是位似圖形，反之，若圓錐曲線(xiàn)C1,C2是位似圖形，則它們的離心率相等.(證明略)