廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

高考考查球的常見方式有三種：以“截面”為載體進(jìn)行考查、以“相接”為載體進(jìn)行考查和以“相切”為載體進(jìn)行考查.題型多為選擇題或填空題，難度基礎(chǔ)或中等.主要考查球的概念、球的截面的性質(zhì)、球的體積和表面積的計(jì)算、球的切接問(wèn)題等.以近幾年高考試題為例闡述如下.

一、以“截面”為載體進(jìn)行考查

用一個(gè)平面去截球面，當(dāng)平面過(guò)球心時(shí)，截面是球的大圓；當(dāng)平面不過(guò)球心時(shí)，截面是球的小圓.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于抓住球的截面的性質(zhì)：(1)球心與截面小圓圓心的連線垂直于截面；(2)球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面的距離d滿足R2=r2+d2.

例1 (2013年新課標(biāo)Ⅰ文)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為____．

分析由截面圓的面積可求出截面圓的半徑，再根據(jù)球的截面性質(zhì)，列出關(guān)于球半徑的方程，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

圖1

∵α截球O所得截面的面積為π，∴截面圓的半徑r=1.

點(diǎn)評(píng)本題考查球的截面性質(zhì)和球的表面積的計(jì)算等，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

分析正確作出圖形，根據(jù)球的截面性質(zhì)可得OK⊥⊙K所在的平面，在Rt△OCK中求出OC，再在等邊△OAB中求出球的半徑OA，問(wèn)題得解．

解答如圖2，設(shè)C是兩圓公共弦AB的中點(diǎn)，則AB⊥OC，AB⊥CK，從而∠OCK是二面角O-AB-K的平面角，∠OCK=60°.

圖2

∴球O的表面積等于S=4π·OA2=16π.故答案為16π.

點(diǎn)評(píng)本題考查二面角、球的截面的性質(zhì)和球的表面積的計(jì)算等，正確作出圖形，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．

二、以“相接”為載體進(jìn)行考查

若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.類似地，若一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的頂點(diǎn)和底面圓周上各點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是這個(gè)球的內(nèi)接旋轉(zhuǎn)體，這個(gè)球是這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的外接球.這類問(wèn)題統(tǒng)稱為相接問(wèn)題，球面與幾何體的公共點(diǎn)就是接點(diǎn).解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于抓住相接的特點(diǎn)，即球心到接點(diǎn)的距離等于球的半徑.

1.球與柱體

例3 (2017年新課標(biāo)Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為( ).

分析由于圓柱內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì)知，連結(jié)圓柱上下底面圓心的線段O1O2的中點(diǎn)即為球心O，如圖，在Rt△OO2A中，求出圓柱底面半徑O2A，就能求出圓柱的體積．

圖3

解答如圖3，∵圓柱O1O2內(nèi)接于球O，

∴O為線段O1O2的中點(diǎn)，且O1O2⊥⊙O2所在的平面，∴O1O2⊥O2A.

點(diǎn)評(píng)本題考查球與圓柱相接的特點(diǎn)，球的截面的性質(zhì)和圓柱的體積的計(jì)算等，確定球心的位置，求出底面圓的半徑是解題的關(guān)鍵.

例4 (2009年全國(guó)卷Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于____．

圖4

解答如圖4，設(shè)O1、O2為直三棱柱上下底面外接圓的圓心.

∵直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于球O，

∴O為線段O1O2的中點(diǎn)，且O1O2⊥平面ABC，∴O1O2⊥O2A.

故此球的表面積為4πOA2=20π，故答案為：20π.

點(diǎn)評(píng)本題考查球與棱柱相接的特點(diǎn)，球的截面的性質(zhì)和球的表面積的計(jì)算等，確定球心的位置，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

2.球與錐體

圖5

∵圓錐AO1和圓錐BO1內(nèi)接于球，

∴O∈AB且AB⊥⊙O1所在的平面，∴AB⊥O1C.

點(diǎn)評(píng)本題考查球和圓錐相接的特點(diǎn)，球的截面的性質(zhì)以及圓錐高的計(jì)算等，確定球心的位置，得出OC=2O1O是解題的關(guān)鍵.

例6 (2014年大綱版)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為( ).

分析由于正四棱錐內(nèi)接于球，根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì)，球心O必在正四棱錐的高PO1所在的直線上 且OA=OP.如圖，在Rt△OO1A中，根據(jù)勾股定理求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．

解答設(shè)球O的半徑為R，PO1⊥平面ABCD.

圖6

∵正四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球O，∴O∈PO1，OA=OP.

點(diǎn)評(píng)本題考查球和棱錐相接的特點(diǎn)，球的截面的性質(zhì)以及球的表面積的計(jì)算等，確定球心的位置，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．

三、以“相切”為載體進(jìn)行考查

若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.類似地，若一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的底面和各母線都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是這個(gè)球的外切旋轉(zhuǎn)體，這個(gè)球是這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球.這類問(wèn)題統(tǒng)稱為相切問(wèn)題，球面與幾何體的公共點(diǎn)就是切點(diǎn).解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于抓住相切的特點(diǎn)，即球心到切面(或切線)的距離等于球的半徑.

例7 (2016年新課標(biāo)Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是( ).

解答∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．

點(diǎn)評(píng)本題考查球與棱柱相切的特點(diǎn)和球的體積的計(jì)算等，根據(jù)已知條件求出球的半徑是解答的關(guān)鍵．

圖7

例8 (2006年江西)如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切的球)球心O，且與BC,DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S1、S2，則必有( ).

A．S1S2

C．S1=S2D．S1,S2的大小關(guān)系不能確定

分析由于球內(nèi)切于四面體，所以球心到四面體各面的距離都等于球的半徑.利用割補(bǔ)法可以把四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC體積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為表面積之間的關(guān)系，問(wèn)題得解.

解答連結(jié)OA,OB,OC,OD,OE,OF，則VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD，

VA-EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC.

∵VA-BEFD=VA-EFC，∴VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC

又∵每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，

∴SABD+SABE+SBEFD+SAFD=SAFC+SAEC+SEFC，∴S1=S2.故選C.

點(diǎn)評(píng)本題考查球與多面體相切的特點(diǎn)以及多面體表面積的計(jì)算等，抓住相切的特點(diǎn)，找出表面積和體積之間的共有特征是解題的關(guān)鍵.

綜上可見，理解球的概念，掌握球的截面的性質(zhì)、球的體積和表面積的計(jì)算公式以及球的切接問(wèn)題的特點(diǎn)是解題的基礎(chǔ)；正確畫出圖形，選擇恰當(dāng)?shù)钠矫?，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解題的關(guān)鍵；如能掌握化歸思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想方法就等于拿到了開啟數(shù)學(xué)解題大門的金鑰匙.