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        教材分析從理解走向探究:尋找均值不等式鏈中的主線

        2021-01-12 09:03:44葛慧敏徐章韜
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2020年12期
        關(guān)鍵詞:教材探究數(shù)學(xué)

        葛慧敏 徐章韜

        (華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 430079)

        1 引言

        下面是在教材深度分析中,通過探究來理解教材的一個(gè)案例.這個(gè)案例的作用不只是從另外一個(gè)角度理解均值不等式,而是為了闡明一種一線串通的思考路徑.

        2 各種平均數(shù)的得來

        2.1 算術(shù)平均數(shù)

        2.2 調(diào)和平均數(shù)

        (1)變常數(shù)

        (2)分式變換

        進(jìn)行倒數(shù)變換.倒數(shù)變換是代數(shù)變形中的一種常見技法.

        2.3 幾何平均數(shù)

        (1)常數(shù)變易

        (2)變常數(shù)為未知數(shù)

        (3)分式變換

        2.4 平方平均數(shù)

        (1)常數(shù)變易

        (2)分式變換

        3 各種平均數(shù)的統(tǒng)一

        3.1 引出凸、凹函數(shù)的概念

        3.2 得到大小關(guān)系鏈

        再由比例的性質(zhì)有

        故有Q>A>G>H.

        3.3 從幾何上說明

        古希臘人為了克服無理數(shù)的困擾,對(duì)線段比十分熱衷.平行線分線段成比例定理更是相似三角形的基礎(chǔ).由此,可以得到上述不等式鏈的幾何說明.

        如圖1,四邊形ABCD為梯形,其中AB=a,DC=b(不妨設(shè)a

        圖1

        (1)分別計(jì)算線段EF,GH,KL,IJ的長度.

        ② 因?yàn)樘菪蜛BLK∽梯形KLCD,

        ④ 如圖2計(jì)算IJ的長度,延長CB與DA交于點(diǎn)M.

        圖2

        (2)研究線段EF,GH,KL,IJ在梯形ABCD中的位置.

        圖3

        如圖3,設(shè)線段KL與線段BD交于點(diǎn)O1,線段GH與線段BD交于點(diǎn)O2,線段IJ與線段BD交于點(diǎn)O3.

        4 分析與討論

        在上述過程中能夠看到,采取的主體思路是:以定比分點(diǎn)公式為主線串通均值不等式鏈.通過算術(shù)平均數(shù)的定義引入定比分點(diǎn)公式的表示,猜想定比分點(diǎn)公式可以推導(dǎo)出調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)和平方平均數(shù);把握三種平均數(shù)的特點(diǎn),利用常數(shù)變易和分式變換兩條變換路線進(jìn)行推導(dǎo);說明均值不等式鏈中的各種平均數(shù)都可以通過定比分點(diǎn)公式而得到.最后從函數(shù)、幾何的角度再次認(rèn)識(shí)均值不等式鏈.

        在這個(gè)過程中,體現(xiàn)了以“一線串通”的方式,多方向多維度對(duì)均值不等式進(jìn)行探索.在探索的過程中,從定比分點(diǎn)的角度,深刻理解四種平均數(shù)的概念以及平均數(shù)之間的不等關(guān)系,將定比分點(diǎn)與平均數(shù)的來源與概念融合,進(jìn)行層次性的變換;將不等關(guān)系從數(shù)過渡到線段中的定比分點(diǎn),進(jìn)行維度的升華,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的漸變性與統(tǒng)一性;同時(shí)也建構(gòu)了幾何與代數(shù)、函數(shù)與不等式之間的橋梁,增添了課程的趣味性與深度.

        對(duì)教材進(jìn)行深度分析是教師的基本功之一.有兩條基本路徑.其中一條是對(duì)已有的文本進(jìn)行多角度的理解,或者是從高觀點(diǎn)解讀、或者是從多角度解讀、或者是從橫向關(guān)聯(lián)的角度進(jìn)行解讀.其目的在于“理解數(shù)學(xué)”,把已有文本后面的數(shù)學(xué)的精神、思想、方法揭示出來,讓學(xué)生獲得不一樣的體會(huì).第二種路徑是就通過探究來理解教材,就如進(jìn)攻是最好的防御一樣,做數(shù)學(xué)探究也是一種理解教材的好方式.

        數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由,數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的舞臺(tái),在大學(xué)課堂教學(xué)中更應(yīng)如此.本課例是在課堂教學(xué)中,通過教基本知識(shí),以一線串通相關(guān)知識(shí),舉一反三思考問題而產(chǎn)生的一個(gè)思考結(jié)果.通過研究深化了學(xué)生對(duì)均值不等式鏈的理解,更為重要的是培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性的思維,導(dǎo)引了他們的思考.

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