歐陽(yáng)順湘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) 518055)

英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、政治社會(huì)學(xué)家白哲特(Walter Bagehot，1826-1877)曾說(shuō)“生活是概率的大學(xué)?！? 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在其《分析概率論》有句常被引用的名言：“生活中最重要的問(wèn)題，絕大部分其實(shí)只是概率問(wèn)題.”Leo Breiman在其概率論著作[1]的序言寫(xiě)道：“概率論有兩手，右手是嚴(yán)格地使用測(cè)度論的基礎(chǔ)工作，左手是‘概率地思考’，將問(wèn)題變成賭博，投骰子，粒子運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.”另一方面，不少成語(yǔ)、寓言是生活智慧的結(jié)晶. 所以，很自然地，一些成語(yǔ)和寓言蘊(yùn)含著概率思維. 我們可以通過(guò)成語(yǔ)與寓言來(lái)直觀地了解一些概率思想，也可以用概率思維來(lái)更好地理解一些成語(yǔ)與故事. 我們下面就按概率論中討論的一些內(nèi)容分類(lèi)介紹相關(guān)成語(yǔ).

1 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件

“天有不測(cè)風(fēng)云”反映了人們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象無(wú)處不在的認(rèn)識(shí).“守株待兔”故事中的農(nóng)夫錯(cuò)在將隨機(jī)現(xiàn)象將當(dāng)成確定性現(xiàn)象，或說(shuō)錯(cuò)在高估了兔子撞樹(shù)樁這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.“水中撈月”則是將不可能事件當(dāng)作了可能事件. 還有些成語(yǔ)說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小，如“穩(wěn)操勝券”“十拿九穩(wěn)”“百發(fā)百中”等.

“萬(wàn)事皆有因”“有果必有因”則反映了人們對(duì)包括隨機(jī)現(xiàn)象在內(nèi)的各種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因的探究. 如一些人曾認(rèn)為人的命運(yùn)由生辰八字決定，認(rèn)為一些結(jié)果是“命中注定”. 在婚配等問(wèn)題上要研究是否“八字不合”. 實(shí)際上，人的生辰充滿隨機(jī)性，所有八字組合也只有有限種可能結(jié)果，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能決定豐富多彩的人生.

很多人認(rèn)為隨機(jī)現(xiàn)象源于無(wú)知：古希臘哲學(xué)家德謨克利特認(rèn)為“一切都遵照必然而產(chǎn)生”，牛頓、拉普拉斯等提倡決定論，愛(ài)因斯坦也認(rèn)為“上帝不擲骰子”. 現(xiàn)在，一般認(rèn)為量子力學(xué)中出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象是真正的隨機(jī).

隨機(jī)現(xiàn)象的出現(xiàn)并不是壞事. 例如，許多人設(shè)定密碼時(shí)常利用手機(jī)號(hào)、生日、或門(mén)牌號(hào)等. 密碼破譯者可能會(huì)利用這個(gè)偏好來(lái)猜測(cè)密碼. 如果是隨機(jī)生成的密碼，就很難猜測(cè)了.又如，在剪刀-石頭-布游戲中，有的高手能計(jì)算出對(duì)方出招的模式，預(yù)測(cè)出對(duì)方的下一手.為與高手對(duì)抗，可以考慮隨機(jī)策略，即隨機(jī)出剪刀、石頭或布，這樣可以達(dá)到納什均衡. 類(lèi)似地，生物學(xué)中基因突變與重組的隨機(jī)性使得生物呈現(xiàn)出多樣性，從而保證了各種子代的產(chǎn)生以適應(yīng)自然選擇. 這三者的策略可謂“隨機(jī)應(yīng)變”——如果允許我們將它“曲解”為用“隨機(jī)”的辦法來(lái)對(duì)抗. “狡兔三窟”，也同樣是利用了隨機(jī)性來(lái)提高安全性，其做法異曲同工.

2 小概率事件

設(shè)某隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為p>0，則它不發(fā)生的概率為1-p，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，A不發(fā)生的概率為(1-p)n. 當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，A發(fā)生的概率1-(1-p)n趨于1.

由此可知，一個(gè)隨機(jī)事件單次發(fā)生的概率雖然可能很小，但在充分多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，它至少發(fā)生一次的概率將很大. 這就導(dǎo)致所謂的墨菲定律：一件事情發(fā)生的概率無(wú)論有多小，只要有可能發(fā)生，就幾乎一定會(huì)發(fā)生. 它可以解釋很多現(xiàn)象：為什么自然界中會(huì)出現(xiàn)一些巧奪天工的奇跡？為什么參加高考如此重要的事情，總有新聞報(bào)道說(shuō)有學(xué)生臨到考場(chǎng)才發(fā)現(xiàn)忘帶準(zhǔn)考證.

不少成語(yǔ)體現(xiàn)了小概率事件的作用([2]對(duì)部分此類(lèi)成語(yǔ)做了一些討論). 如有的成語(yǔ)總結(jié)人多力量大：“三人行，必有我?guī)熝伞薄叭齻€(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮”“一根筷子容易折，一把筷子難折斷”；有的成語(yǔ)勸人堅(jiān)持不懈：“水滴石穿”“鍥而不舍，金石可鏤”“只要功夫深，鐵杵磨成針”. 有的成語(yǔ)對(duì)人發(fā)出警戒，勸人謹(jǐn)慎：“常在河邊走，哪有不濕鞋”“不怕一萬(wàn)，就怕萬(wàn)一”“勿以善小而不為，勿以惡小而為之”“千里之堤，潰于蟻穴”.

法國(guó)數(shù)學(xué)家波萊爾在1909年出版的一本談概率的書(shū)籍中介紹了“打字的猴子”，設(shè)想猴子隨機(jī)敲擊鍵盤(pán). 于是就有了所謂的無(wú)限猴子定理：設(shè)有無(wú)限只猴子，且允許使用無(wú)限的時(shí)間，則一定會(huì)有一只猴子打出所要求的書(shū)籍或文章. 如打出大英圖書(shū)館的全部著作，或莎士比亞的著作等等. 但這里需要允許使用任意長(zhǎng)的時(shí)間. 農(nóng)夫“守株待兔”并非不可能事件，只要等待足夠長(zhǎng)時(shí)間，也可以期望再次不勞而獲. 但農(nóng)夫不事勞作，僅僅期待這個(gè)小概率事件多次發(fā)生以供生活所需，需要極大的耐心和時(shí)間成本，得不償失.

3 大數(shù)定律

大數(shù)定律說(shuō)一事件在多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻率穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率. 例如，投擲一枚均勻的硬幣多次，其中正面朝上的次數(shù)大約為一半. 這與成語(yǔ)“萬(wàn)變不離其宗”有類(lèi)似處.

在生活中，人們常會(huì)咨詢多位朋友或?qū)＜业囊庖?jiàn)再做決策，其目的就是通過(guò)聽(tīng)取各種意見(jiàn)，綜合考慮，盡力消除隨機(jī)因素的影響. 這就是“集思廣益”有作用的原理. 其思想與大數(shù)定律一樣.

伊索寓言“龜兔賽跑”講兔子因?yàn)樵诒荣愔兴笥X(jué)而輸?shù)墓适? 常見(jiàn)解讀是兔子不夠穩(wěn)重不值得學(xué)習(xí)，烏龜勤懇堪稱模范. 羅森塔爾認(rèn)為這是對(duì)隨機(jī)性的漠視[3]. 他建議用概率視角準(zhǔn)確理解這個(gè)故事. 按照大數(shù)定律，賽跑的關(guān)鍵不在于誰(shuí)更可靠、誰(shuí)更穩(wěn)重，而在于誰(shuí)的平均速度更快. 長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，誰(shuí)平均跑得快，誰(shuí)在比賽中就一定能贏.

4 Poisson聚集

生活中不乏見(jiàn)到“屋漏偏遭連夜雨”這樣接二連三倒霉的事情，也可能遇到“雙喜臨門(mén)”這樣好運(yùn)不斷的好事. 如某地突然連續(xù)出現(xiàn)多起刑事案件，又如近期與一個(gè)平常難得一見(jiàn)的朋友多次偶遇. 這樣的巧合為什么并不乏見(jiàn)？隨機(jī)地發(fā)生的事情，為什么會(huì)“碰巧”聚集在一起？“無(wú)巧不成書(shū)”的背后其實(shí)也有概率解釋. 數(shù)學(xué)上，人們稱之為Poisson聚集(Poisson Clumping). 下面的例子可以說(shuō)明這種現(xiàn)象.

我們可以用參數(shù)λ=np=1為Poisson分布近似這個(gè)二項(xiàng)分布，即對(duì)任意k=0,1,2,…,n，

由此可得在一個(gè)小正方形區(qū)域中有不少于5個(gè)落點(diǎn)的概率約為0.004. 因此，平均而言，每250個(gè)小正方形區(qū)域中就有1個(gè)小區(qū)域中的落點(diǎn)數(shù)不少于5. 在上述隨機(jī)落點(diǎn)中，平均有10個(gè)小區(qū)域中的落點(diǎn)數(shù)不少于5. 所以，在一些小區(qū)域中有點(diǎn)的聚集并不是意外.

在第二次世界大戰(zhàn)中，倫敦受到德軍飛彈的打擊，一些地區(qū)似乎更常被打擊. 英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.D. Clark用類(lèi)似于上述例子中的方法，推斷出德軍的襲擊是隨機(jī)的.

5 貝葉斯定理

貝葉斯學(xué)派認(rèn)為概率是人們對(duì)某件事情發(fā)生可能性大小的主觀判斷，隨著所知信息的改變而改變，即所有的概率都是條件概率. 信息可以消除不確定性.

《韓非子》中的寓言故事“智子疑鄰”以及《列子》中的寓言故事“疑鄰盜斧”說(shuō)的是人們的主觀判斷受到一些因素的影響. 對(duì)這兩個(gè)故事的常見(jiàn)解釋是“應(yīng)該實(shí)事求是,尊重客觀事實(shí),不要主觀臆斷”. 事實(shí)上，雖然無(wú)根據(jù)的“臆斷”要盡量避免，但主觀判斷無(wú)處不在. 概率的頻率解釋要求試驗(yàn)可多次重復(fù)，但有很多事件是難以重復(fù)的，如某地發(fā)生地震，其發(fā)生的概率就沒(méi)法用頻率解釋?zhuān)荒苡弥饔^判斷.

貝葉斯提出的貝葉斯定理可以幫助人們推理.下面是貝葉斯定理的簡(jiǎn)單版本.

設(shè)事件A或Ac導(dǎo)致事件B發(fā)生，且A,Ac發(fā)生的概率P(A),P(Ac)已知，不為零，在A或Ac發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率P(B|A),P(B|Ac)也已知. 如果事件B發(fā)生了，概率不為零，我們可以用貝葉斯公式確定A發(fā)生的概率

其中B發(fā)生的概率可以全概率公式計(jì)算如下

P(B)=P(B∩A)+P(B∩Ac)

=P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac).

我們稱P(A)為A的先驗(yàn)概率，在B發(fā)生后，A發(fā)生的概率更新為P(A|B)，稱之為A的后驗(yàn)概率. 如果還有別的信息，我們可以將P(A|B)當(dāng)作A發(fā)生的先驗(yàn)概率，重復(fù)上述過(guò)程再次更新我們對(duì)A發(fā)生的概率的認(rèn)識(shí).

《戰(zhàn)國(guó)策》中記載有寓言故事“三人成虎”：

龐蔥與太子質(zhì)于邯鄲，謂魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”龐蔥曰：“夫市之無(wú)虎明矣，然而三人言而成虎.今邯鄲去大梁也遠(yuǎn)于市，而議臣者過(guò)于三人，愿王察之.”王曰：“寡人自為知.”于是辭行，而讒言先至.后太子罷質(zhì)，果不得見(jiàn).

這個(gè)故事生動(dòng)地刻畫(huà)了魏王不斷修正自己對(duì)“市有虎”這件事發(fā)生的概率的大小的過(guò)程. 我們用貝葉斯定理量化說(shuō)明這個(gè)過(guò)程如下:

用T表示“市有虎”這件事. 一般而言，鬧市難得有虎，可假設(shè)有虎的先驗(yàn)概率較小，為0.03，即

P(T)=0.03,P(Tc)=0.97.

用R1,R2,R3分別表示第一、二、三人向魏王報(bào)告市有虎. 設(shè)三人的行為獨(dú)立且相同，在市有虎的條件下，報(bào)告有虎的概率為0.7，沒(méi)虎卻有意生謠或看錯(cuò)了(如把玩具虎當(dāng)作真虎)的概率為0.1，即對(duì)i=1,2,3,有

P(Ri|T)=0.7,P(Ri|Tc)=0.1.

由貝葉斯公式，一人言市有虎的條件下，魏王相信市有虎的概率被修正為：

這個(gè)概率比先驗(yàn)概率稍微有所增加；但不足以使魏王相信，所以魏王說(shuō)“否”. 現(xiàn)在第二人言市有虎，我們把有虎的后驗(yàn)概率P(T|R1)≈0.178當(dāng)作T的先驗(yàn)概率，重復(fù)前面的計(jì)算，可得后驗(yàn)概率

這個(gè)概率也不大不小，所以魏王“疑之”. 再次重復(fù)，可得在第三人言市有虎的條件下，魏王認(rèn)為市有虎的后驗(yàn)概率為

P(T|R3)≈0.914.

至此，魏王“信之矣”.

《戰(zhàn)國(guó)策》中記載“曾參殺人”與“三人成虎”類(lèi)似. 伊索寓言“狼來(lái)了”，也是一個(gè)不斷修訂概率的過(guò)程. 但“狼來(lái)了”與“三人成虎”“曾參殺人”有所區(qū)別(1)《貝葉斯版的“三人成虎”》(王志祥，宋 濤，數(shù)學(xué)文化，8(4):111-112, 2017；或同作者所著《數(shù)學(xué)雜談》，天津大學(xué)出版社，2017)一文用貝葉斯公式討論了三人成虎. 我們認(rèn)為該文的邏輯適合于分析“狼來(lái)了”，不適合于分析“三人成虎”. 請(qǐng)讀者留意.. 一是三人依次欺騙同一人(魏王、曾母)；一是同一人(放羊娃)三次欺騙同一批農(nóng)夫.

從“三人成虎”等故事可見(jiàn)“眾口鑠金”的危害, 需要警惕謠言. 奉行“事不過(guò)三”準(zhǔn)則的人也要警惕，明辨是非. 在現(xiàn)代信息交流便利的情況下，網(wǎng)絡(luò)謠言盛行，其原因可以用貝葉斯推理解釋?zhuān)覀円部梢杂秘惾~斯推理來(lái)幫助我們甄別謠言. 其應(yīng)用原理與上述三人成虎的概率推理類(lèi)似. 垃圾郵件過(guò)濾，語(yǔ)音識(shí)別，拼寫(xiě)檢測(cè)，搜索引擎和輸入法智能糾誤等都與此類(lèi)似.

6 結(jié)語(yǔ)

我們從概率視角解釋了“水滴石穿”“集思廣益”“無(wú)巧不成書(shū)”等成語(yǔ)以及“狡兔三窟”“龜兔賽跑”“疑鄰盜斧”“三人成虎”等寓言故事. 這樣做，一方面可以使人們對(duì)一些成語(yǔ)與寓言故事有新的認(rèn)識(shí)，了解到其中所蘊(yùn)含的概率智慧. 另一方面，通過(guò)人們熟知的成語(yǔ)和寓言故事來(lái)闡述概率思維可以激發(fā)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)習(xí)者對(duì)概率的理解.