袁蒙蒙

（西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室，四川 成都610031）

1 概述

隨著車輛運行速度的提高，車輛動力學(xué)研究得到了快速發(fā)展?？紤]到實際工作狀況下存在很多非線性的影響因素，以往對實際工作情況簡化的模型存在很多局限性。因此對車輛系統(tǒng)運行性能分析與優(yōu)化的過程中，就很有必要結(jié)合非線性動力學(xué)進行簡化分析。

國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對車輛系統(tǒng)的非線性動力學(xué)作了大量研究。曾京等人已經(jīng)對鐵路客車系統(tǒng)的橫向穩(wěn)定性進行了研究[1]。通過理論分析和滾動臺試驗，得到了車輛系統(tǒng)的蛇行運動的兩種主要分岔圖。又通過一系列數(shù)值模擬，仿真計算，得出線性臨界速度只能描述平衡位置小范圍內(nèi)的局部穩(wěn)定性，而只有非線性臨界速度才能描述系統(tǒng)大范圍內(nèi)的穩(wěn)定性問題。通常非線性臨界速度要低于線性臨界速度，又考慮到實際工況中存在很多非線性因素且不可忽略，故采用非線性臨界速度來作為衡量系統(tǒng)穩(wěn)定性的標(biāo)準(zhǔn)。尤其是對系統(tǒng)作定量分析時，以非線性臨界速度作為系統(tǒng)穩(wěn)定性的評判依據(jù)顯得十分重要。因為通過實例計算得出，客車系統(tǒng)蛇行失穩(wěn)后將分岔處極限環(huán)振動，且極限環(huán)的復(fù)制是隨車速的提高而增大的，直至出現(xiàn)輪對的脫軌。

2 車輛系統(tǒng)及零部件的蛇行運動及Hopf 分岔的研究

2.1 車輛系統(tǒng)零部件的Hopf 分岔研究

國內(nèi)外眾多學(xué)者從車輛系統(tǒng)的零部件包括輪對、轉(zhuǎn)向架等到整個車輛系統(tǒng)做了分析研究，對于車輛系統(tǒng)性能及其零部件的規(guī)格尺寸的優(yōu)化提供了大量可靠的依據(jù)。高國生、張雪峰、楊紹普等人對車輛系統(tǒng)的零部件作了分析研究[2～3]。這對不同車型的設(shè)計和優(yōu)化都有一定指導(dǎo)意義。而曾京、劉宏友、高學(xué)軍、丁旺財、王勇等人，分別針對整個車輛系統(tǒng)作了Hopf 分岔和蛇行運動研究，包括機車、高速客車、貨車等車輛系統(tǒng)，其結(jié)論的一致與相似性，都反映了非線性動力學(xué)在車輛系統(tǒng)性能分析優(yōu)化過程中具有很重要的作用。

國外的一些學(xué)者早在上世紀(jì)80 年代已通過數(shù)值模擬，得到了輪對的典型分岔圖，并且得出分岔圖的形狀與軌距和輪軌接觸參數(shù)有關(guān)[4～5]。高國生等人針對輪對在直線軌道上運行狀態(tài)，分析了速度與極限環(huán)幅值之間的關(guān)系。通過數(shù)值計算得出了該系統(tǒng)蛇形運動的臨界速度VC為40.15m/s。當(dāng)V＜VC時，機車橫向振動的平衡位置是漸進穩(wěn)定的，機車受到擾動后，機車振動逐漸衰減。當(dāng)V＞VC時，機車受到任意小的橫向擾動，機車橫向振動逐漸增大趨近于分岔解。

車輛系統(tǒng)的亞臨界Hopf 分岔特性發(fā)現(xiàn)的較早[6]。張雪峰等人針對Cooperrider 簡單轉(zhuǎn)向架模型，通過數(shù)值模擬，仿真計算得出了轉(zhuǎn)向架亞臨界Hopf 分岔圖并且研究了轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)中一些重要非線性力對Hopf 分岔點的影響。通過分岔理論的數(shù)值方法結(jié)合變步長的四階龍格-庫塔法求解出轉(zhuǎn)向架的亞臨界Hopf 分岔圖，如圖1 所示。得出如下與前文相似的結(jié)論：轉(zhuǎn)向架以小于非線性臨界速度運行時是穩(wěn)定的，輪對、轉(zhuǎn)向架橫向機搖頭位移均趨于零，其相圖為一漸進穩(wěn)定的焦點，如圖2 所示。當(dāng)速度超過線性臨界速度VC時，任何微小的橫向擾動都將引起大振幅極限環(huán)振動。如圖3 所示，通過后續(xù)的數(shù)值模擬分析出輪軌蠕滑力及輪緣接觸的非線性是引起轉(zhuǎn)向架亞臨界Hopf 分岔的重要因素。二系縱向抗攝像阻尼減震器的阻尼，蠕滑力模型中斜率與非線性臨界速度成正相關(guān)。踏面斜率、摩擦系數(shù)與非線性臨界速度成負相關(guān)。該結(jié)論與Ahmadian 等用漸進法研究單個轉(zhuǎn)向架的穩(wěn)定性得出的結(jié)論高度一致。

圖1 亞臨界Hopf 分岔圖

圖2 漸近穩(wěn)定的焦點

圖3 極限環(huán)振動

2.2 對整體車輛系統(tǒng)作蛇行運動及Hopf 分岔研究

學(xué)者不僅僅從車輛系統(tǒng)的零部件作Hopf 分岔研究，也從整體車輛系統(tǒng)做了蛇行運動分岔研究。姚加?xùn)|和高學(xué)軍等人對于機車車輛系統(tǒng)做了研究，劉宏友和丁旺才等人對高速客車車輛系統(tǒng)做了研究。曾京，王勇等人對貨車車輛系統(tǒng)做了研究。不同的車輛系統(tǒng)對應(yīng)不同的臨界速度，但是其Hopf 分岔特性是一致的。這對沿街整列車的運動特性及速度選擇具有一定的指導(dǎo)意義。

在以前很多關(guān)于車輛橫向穩(wěn)定性分岔問題中，往往側(cè)重Hopf 分岔的參數(shù)條件，對Hopf 分岔后周期解的變化過程研究較少，學(xué)者高學(xué)軍運用延續(xù)算法對Hopf 分岔及分岔后極限環(huán)的解分支進行連續(xù)追蹤，討論Hopf 分岔的類型和分岔過程中出現(xiàn)的多種非線性動力學(xué)現(xiàn)象[7]。從中不但確定了系統(tǒng)的穩(wěn)定解曲線，同時也確定了系統(tǒng)的不穩(wěn)定解分支曲線。如圖4 和圖5 所示，通過分析得出車輛系統(tǒng)無論是在低速或高速的情況下，在某些速度區(qū)間內(nèi)，存在多種擺振形式共存現(xiàn)象。此時就應(yīng)該采取相應(yīng)措施控制其初始擾動。丁旺才等人針對某高速客車車輛系統(tǒng)的半車模型進行了數(shù)值模擬與仿真計算，得到了車輛系統(tǒng)發(fā)生蛇行運動時的臨界速度及分岔后各運動狀態(tài)的轉(zhuǎn)變過程[8]。結(jié)果表明系統(tǒng)超過臨界速度后會發(fā)生復(fù)雜的動力學(xué)行為，包括單周期、兩周期、混沌運動等。在輪軌碰撞方面，系統(tǒng)超過臨界速度以后，先由對稱碰撞轉(zhuǎn)變?yōu)椴粚ΨQ碰撞最后又轉(zhuǎn)變?yōu)閷ΨQ碰撞，運動形式十分復(fù)雜。有可能出現(xiàn)跳軌和脫軌情況，所以為保證行車安全，車輛行駛速度一定不能超過臨界速度。

圖4 1 位輪對最大橫向位移分岔

圖5 1 位輪對橫向位移

根據(jù)過去的研究，非線性車輛系統(tǒng)的蛇行運動一般會出現(xiàn)如圖6 所示的分岔情況[9-10]。圖6 中，A 點為Hopf分岔點，這時系統(tǒng)有一對純虛根存在，而其余特征根均具有負實部，A 點的車速值則定義為線性臨界速度。拐點C為系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔點，是極限環(huán)出現(xiàn)和消失的分界點，其車速值定義為非線性臨界速度。但是從以往對車輛系統(tǒng)的穩(wěn)定性的數(shù)值計算來看，極限環(huán)和非線性臨界速度的計算耗費時間長，不宜進行參數(shù)變化的研究。還有某些因素導(dǎo)致車輛系統(tǒng)中存在一些強非線性環(huán)節(jié)，很難進行線性化處理，從而無法計算Hopf 分岔點來確定線性臨界速度。因此，鄔平波等人針對車輛系統(tǒng)普遍具有磁滯現(xiàn)象這一特點，提出了一種快速計算線性和非線性臨界速度的新方法。曾京等利用該方法針對以高速客車進行了懸掛參數(shù)對車輛系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的研究，驗證了該方法的可行性，并得知抗蛇形減振器阻力、二系橫向減震器阻尼值均與非線性臨界速度成正相關(guān)。

在實際運行的狀況下，由于車輛的輪軌關(guān)系，車輛會關(guān)于軌道中心線存在對稱和不對稱的兩種狀態(tài)。高學(xué)軍等人定義了對稱系統(tǒng)對稱性分岔概念，并且提出了“合成分岔圖”的構(gòu)造方法[11]。由數(shù)值積分得到系統(tǒng)的時間相應(yīng)并建立對稱輪軌系統(tǒng)的離散動態(tài)Poincare 映射截面及其對稱截面，然后將通過Poincare 截面和其對稱界面構(gòu)造的分插圖通過一定的方式疊合在一起。利用該方法構(gòu)造的分插圖不僅可全面分析對稱輪軌系統(tǒng)的實際運動形式及其演化過程，而且也可確定系統(tǒng)運動關(guān)于軌道中心線的對稱/不對稱運動狀態(tài)。然后又針對某一具體的轉(zhuǎn)向架，利用該方法進行了大范圍內(nèi)的對稱/不對稱分岔行為和混沌運動進行了分析研究。研究表明，對稱的非線性輪軌接觸關(guān)系下轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)會存在不對稱的運動狀態(tài)，包括周期運動、混沌運動以及夾雜其間的若干多周期運動。這種多運動狀態(tài)共存的情況會引起系統(tǒng)振動幅值的突然變化，增加旅客的不舒適度，因此要盡量避免。

圖6 車輛系統(tǒng)的分岔與極限環(huán)圖

3 展望

過去研究者們對運行在直線軌道上的車輛系統(tǒng)進行了數(shù)值模擬與仿真計算，而對曲線軌道上運行的車輛很少涉足。這是因為較小玩到往往出現(xiàn)輪緣貼靠現(xiàn)象，車輛系統(tǒng)不會發(fā)生蛇行失穩(wěn)。但隨著車速的提高，軌道的最小曲率半徑也在不斷提高。線路的最小曲率半徑也隨之提高，但是在大半徑曲線上，車輛系統(tǒng)在各種因素的組合下仍有可能發(fā)生蛇行失穩(wěn)。因此研究車輛系統(tǒng)的蛇行失穩(wěn)情況不僅僅局限于直線軌道，也應(yīng)該考慮到實際運營情況，研究車輛系統(tǒng)在大半徑曲線上的失穩(wěn)也是有必要的。后續(xù)應(yīng)該再對這兩種不同道路上蛇行失穩(wěn)進行對比分析，探究具體的失穩(wěn)機理是否一致。

在日常的運行中，車輛運行速度通常不會高于車輛臨界速度，然而因多種因素嚴(yán)重磨損的車輪胎可能導(dǎo)致車輛實際的臨界速度低于車輛運行速度的情況，因此不能僅僅側(cè)重研究Hopf 分岔的參數(shù)條件，同時也要注重Hopf 分岔后周期解的變化過程，充分了解車輛運行速度高于臨界速度是車輛系統(tǒng)的相關(guān)動力學(xué)行為。