廣東省廣州市黃埔區(qū)廣州科學城中學(510530) 鐘鳳齊

1 問題的提出

一份關于數(shù)學興趣的調查顯示:“非常愛數(shù)學”和“愛數(shù)學”的兩項相加不足15%,而“語文、數(shù)學、英語等學科中最不愛數(shù)學”的超過60%. 究其原因,主要集中在數(shù)學太抽象了,沒有興趣. 縱觀我們的課堂,教師過分注重結論和解題的方法與技巧,注重數(shù)學的嚴謹性、邏輯性,導致學生看不到數(shù)學被發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的過程;以教師講授為主,學生只是簡單的記憶和被動的模仿,不易達到對知識的真正理解,主體性得不到體驗;過度關注“知識”卻忽視知識背后的“思維”,使學生長期處于“淺思考”甚至“不思考”狀態(tài),從而導致學生思維能力發(fā)展受阻.

為了改變這種現(xiàn)狀,筆者嘗試把教學的關注點從“知識”轉移到“思維”,運用思維可視化的手段來提高學生的學習興趣,著力發(fā)展學生的思維,幫助學生深層思考.

2 思維可視化在初中數(shù)學教學中的初步實踐

事實上,將任何抽象的事物、過程變成圖形圖像等形象化的表示都可以稱為可視化. 可視化可分為知識可視化和思維可視化. 知識可視化強調對知識表征的可視化呈現(xiàn);思維可視化側重知識表征背后的思維規(guī)律、思考方法、思考路徑.本文主要闡述思維可視化. 下面筆者就常見四種課型談談如何利用思維可視化手段幫助學生促進對知識的理解,讓學生展示思維過程,培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.

2.1 概念課

概念課是以“符號表征學習”和“概念學習”為主的課型.數(shù)學概念因客觀現(xiàn)實或數(shù)學自身發(fā)展的需要而產生,不能簡單地給某個數(shù)學對象給個名字或下個定義,它是一個知識形成和運用的過程,這個過程一般包括: 概念的引入、概念的明確與理解、概念的鞏固和運用三個階段.

2.1.1 七年級上冊第一章”絕對值的概念”

書本對絕對值這么定義: 數(shù)軸上表示點a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值.

一個具體數(shù)字的絕對值相信學生都能掌握, 但一個字母的絕對值很多學生就不會. 特別像: 如果x ＞2, 則|x-2|=____,|2-x|=____這樣的題目, 學生錯誤率就很高了. 如何突破難點? 我們的做法是——畫出來.

第一步: 先畫一條數(shù)軸,在原點處畫一個大旗幟. 給出兩個具體數(shù)字2 和-3,它們到原點的距離是2 和3,在數(shù)軸上寫|2|=2,|-3|=3.

第二步: 給出兩個字母a和b,a ＞0,b ＜0,根據(jù)剛才具體數(shù)字的經(jīng)驗,它們到原點的距離就是|a|和|b|

第三步: 由前兩步的經(jīng)驗所得,a ＞0, 所以|a|=a,b ＜0,所以|b|=-b,而|0|=0

由此推導出絕對值的三條性質.

第四步: 給出三道辨析性較強的題目,學生只有理解好概念才能正確解答.

圖1

完成以下題目: 求出x的值

(1)|x|=3 (2)|-x|=3 (3)|x|=|-3|

老師借助上面這個圖,由數(shù)字類比到字母,繼而總結概括絕對值的性質, 老師始終把握住“與原點的距離”這個關鍵詞,所以學生比較容易理解這個概念,面對如果x ＞2,則|x-2|=|2-x|=____這樣的題目,也能正確解答了.

2.2 命題課

表達數(shù)學判斷的陳述句或用數(shù)學符號聯(lián)結數(shù)和表示數(shù)的關系的句子稱為數(shù)學命題. 數(shù)學中的命題包括公理、定理、公式、法則、性質等.

2.2.1 七年級上冊第4 章第3.3 節(jié),余角和補角的性質

(1)同角(等角)的余角相等.

(2)同角(等角)的補角相等.

對于這兩個命題,學生的難點在于很難分出題設和結論,因為有同角、等角、余角、補角,太多角了,學生較難理解. 雖然學生會背這兩條性質,但沒有真正理解,一遇到計算或證明時,就錯漏百出. 怎樣突破這個難點? 答案是——畫出來.

我們可以教學生從三個方面考慮:

第一步: 提煉要素,追問本質

同角(等角)的余角相等,這個命題中有三個關鍵詞: 同角,等角,余角

第二步: 區(qū)分概念,理清關系

同角和等角都是相對兩個角而言, 他們的余角怎么表示? 他們的聯(lián)系又怎樣表示出來?

第三步: 分析特征,繪制圖示

如何把以上要素在一張圖中表示清楚呢? 首先要抓住主要特征,互余是相對兩個直角而言,我們可以利用平角畫出兩個直角,旋轉其中一個直角得到同一個角. 其次是等角如何表示得更清楚? 可以利用剛才旋轉后的兩個直角,分開它們就得到兩個相等的角. 接下來,如何表示兩角之間的互余?用帶箭頭的線來表示比較好. 最后,還要加上幾何語言的描述和文字語言的表達. 這些都理清楚之后,按照合理的結構把他們畫出來就可以了. (圖2)

圖2

這幅圖看似簡單,但在畫圖過程中用了提煉、區(qū)分、分析及綜合等多種邏輯思考方法. 運用同樣的方法,也可以把命題2 畫出來. 圖畫完了,不但相關的知識理清了,而且學生也經(jīng)歷了一次有趣的思維之旅,體驗到思考的收獲和樂趣,樂趣有了,學習積極性自然就有了.

2.3 解題課

解題是數(shù)學學習不可缺少的活動. 數(shù)學解題課是以“概念和命題的運用、問題解決和創(chuàng)造”為主的課型. 數(shù)學解題課包括例題(習題)教學及問題解決教學兩大類. 學生會背公式,會背定理,但不一定會解題,解題成了學生心中的痛. 如何幫助學生解痛,可視化手段可以!

2.3.1 人教版七年級第三章“3.4 實際問題與一元一次方程”

例2: 整理一批圖書,由一個人做要40h 完成. 現(xiàn)在計劃由一部分人先做4h,再增加2 人和他們一起做8h,完成這項工作. 假設這些人的工作效率相同,具體應先安排多少人工作?

這種類型的應用題,涉及單人和多人實際工作量,而且全部工作量要分階段完成,所以很多學生理解不了題意,不知道題目知道什么,求什么,更不知道相等關系是什么. 這時,借助思維可視化手段——表格或線段圖就可以幫助學生對題目的條件進行歸類分析,理清數(shù)理關系. 筆者教學生畫表格或畫線段圖,表格一般豎著寫對象,橫著寫元素;畫線段圖可以分階段來畫,也可以分對象來畫. (圖略)

2.3.2 八年級下冊第十八章“平行四邊形的判定”

如圖,E、F分別是四邊形ABCD的邊AB、CD的中點,四邊形BFDE是平行四邊形,

求證: 四邊形ABCD是平行四邊形.

這是書本一道比較簡單的幾何證明題,但由于八年級學生的思維還處于由具體形象向抽象邏輯思維過渡的階段, 而且以經(jīng)驗型邏輯思維為主, 他們還沒有足夠的能力進行符號推理, 這時, 我們可以用一種可視化手段——流程推理圖,幫助學生整理條件,由問題反推回已知條件,或由已知條件推到問題. (圖略)

2.3.3 2018年廣州市中考題第23 題

如圖, 在四邊形ABCD中,∠B= ∠C= 90°,AB ＞ CD,AD=AB+CD,

(1) 利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE,交BC與點E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)在(1)的條件下,

①證明:AE ⊥DE

②若CD=2,AB=4,點M、N分別是AE、AB上的動點,

求BM+MN的最小值.

這種幾何題怎么教? 綜合性很強, 涉及動點, 求最值問題,學生基本無從下手. 這時,我們可以用可視化的手段——魚骨圖,來把復雜的問題轉化為一個個簡單問題,把大問題分解成一個個小問題, 把難題回歸為一個個熟悉的問題里,這種圖稱為魚骨圖.

圖3 AE ⊥DE 的推理過程

圖4 BM +MN 的最小值的推理過程

AE ⊥DE 的圖

BM +MN 的最小值的圖

我們可以看到,解題魚骨圖主要用來呈現(xiàn)和梳理復雜問題的思考過程,由三部分組成,中間“脊骨”為解題的關鍵節(jié)點,通過這些關鍵節(jié)點可把一個抽象或復雜的大問題分解成若干簡單而具體的小問題.“脊骨”下方為策略分析過程,針對解題的關鍵點進行層層追問,制定解題策略.“脊骨”上方為條件轉化過程,根據(jù)策略指引,利用已知條件推導出未知條件.

表格、線段圖、推理流程圖和解題魚骨圖的應用改變了傳統(tǒng)教學策略不見的弊端,讓學生在解題過程中,掌握清晰的思考程序,形成有效解題策略. 同時,學生在繪圖過程中經(jīng)歷了“設疑——追問——沖突(碰撞)——頓悟”的思考之旅,體會到思考的收獲和樂趣,同時發(fā)展了學生的策略化、程序化的思考能力. 腦子活了,知識也活了,學起來也就不再枯燥乏味了.

2.4 復習課

復習課是學生以“內化學習”為主的課型,目的在于對過去的某一階段內所學的知識進行梳理,形成較為完善的知識結構和有序的認知結構的過程.

在教學實踐中,學完一個單元,因為知識比較零散,大部分學生不會把零散的知識串起來,自主建立知識結構. 知識點百千個,章節(jié)之間、知識之間如何連起來,建構成系統(tǒng)的網(wǎng)狀知識結構? 思維導圖就是一個有效的解決策略. 思維導圖就像我們大腦的神經(jīng)元一樣互相連接,一個思考中心,由中心向外發(fā)散出成千上萬的關節(jié)點,每一個關節(jié)點代表與中心主題的一個連結,而每一個連結又可以成為另一個中心主題,再向外發(fā)散出成千上萬的關節(jié)點, 呈現(xiàn)出放射性立體結構.學生在制作思維導圖的過程中自然就把零散的知識建構到相應的網(wǎng)絡中去.

思維導圖除了歸納單元章節(jié)知識外,還可以歸納某一種題型或一種方法模型. 如相似三角形的判定,初三經(jīng)過第一輪的復習,學生知道證明三角形相似的模型有A 字型、X 字型、雙垂直模型、三垂直模型等等,圖5 是學生自己整理的三角形相似的模型,感覺有點亂. 圖6 是老師指導學生用思維導圖把它歸納整理,兩幅圖一對比,是不是感覺后者更清晰明了多了,而知識也就更容易被理解和內化?

圖5

圖6

3 使用思維可視化教學策略的反思

在一年的教學實踐中,我嘗試以“可視化”的手段來組織我的課堂,所以出現(xiàn)有一系列讓學生畫圖的形式. 我一直在反思,這樣的學習模式,真的有效嗎? 如果從好的方面來看,還真的可以總結以下幾點:

3.1 思維可視化教學策略有利于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)

近幾年,新的課程標準提出要培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng),包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、運算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.

數(shù)學思維是數(shù)學核心素養(yǎng)最重要的部分,也是發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的根基所在. 課堂教學的著力點應由表層深入到內核,必須關注過程而不僅僅是結果. 運用思維可視化教學策略,在知識建構方面,它可以將零散的知識點串成邏輯清晰、層級分明的知識網(wǎng)絡,如思維導圖. 在解題分析方面,運用思維可視化圖示,如魚骨圖、推理流程圖、表格、線段圖,可以將解題步驟背后的思考過程清晰地呈現(xiàn)出來,使學生更加清晰地掌握有效的思考策略. 在學習體驗方面,運用思維可視化教學策略,可以變知識灌輸為自主探究,變死記硬背為可視化及結構化思考. 這樣,不但可以提高教與學的效能,還能使學習體驗由枯燥乏味變得興趣盎然.

初中生的思維正從形象思維向抽象思維發(fā)展,對圖示語言更加敏感,因此,思維可視化教學策略的運用符合他們的認知特點,也有利于培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng).

3.2 思維可視化教學策略有利于學生學會學習

課堂上,數(shù)學的抽象性和概括性成了壓垮學生的兩座大山,不少學生已經(jīng)被數(shù)學深深地傷害了. 但思維可視化教學策略能夠改變這種狀況,它能較快地讓學生學會學習. 究其原因,一是直觀,它借助圖示或圖示組合來提高思維信息傳遞和加工的效能,大腦對“圖”非常敏感,所以被畫出來的思維更容易被理解、被評價、被遷移. 二是思維可視化在教學過程中始終堅持思維發(fā)展重于知識獲取. 當圖示的直觀性與思維的結構性、嚴密性、概括性結合起來,就可以讓學生喚醒學習某類知識的關鍵策略. 長此以往,學生自然就會學了.

經(jīng)過一個學年的實踐,大部分學生反映數(shù)學“好玩了”,不再是“機械重復、死記硬背、題海戰(zhàn)術”,老師也發(fā)現(xiàn)學生變聰明了,會做題了.

3.3 思維可視化教學策略有利于學習成績的提升

在實踐思維可視化教學策略的一年里,我除了觀察學生思維品質的變化外,還一直觀察學生的數(shù)學成績. 任何課改,若沒有成績的提升,一切都是白說.

2018 學年我任教初一(3)(4)班,兩個班均實行思維可視化教學策略,第一學期末黃埔區(qū)統(tǒng)考,成績和年級對比如下:

3 班4 班年級平均分68.86 分68.35 分68.21 分優(yōu)分率40%38.24%36.76%合格率74.29%73.53%74.02%

翻閱試卷后,我發(fā)現(xiàn)后面兩道大題(23 題是復雜角的計算和證明,24 題是動點在數(shù)軸上的分類討論問題),這兩個班的部分學生做得比較好,得分優(yōu)于其他班級這兩道大題的得分. 90 分以上的人數(shù)對比如下:

班別1 班2 班3 班4 班5 班6 班人數(shù)0 1 3 6 0 1

這些成績給予我進一步實踐的信心,也堅定了我繼續(xù)實行思維可視化的勇氣.

3.4 同時,我也在反思,為什么只有優(yōu)秀的學生成績能進步,基礎差的學生為什么成績沒提升上來呢? 在一年的實踐中,我發(fā)現(xiàn)有以下問題存在

3.4.1 學生問題

有學生認為畫圖浪費時間,還不如多做幾道題,所以隨便應付畫圖;有學生不知道怎樣畫圖,畫錯或過于簡單,只為了完成任務;有學生過分關注圖畫好看——可視,卻忽略了畫圖的最終目的——思維.

3.4.2 教師問題

筆者在操作過程中發(fā)現(xiàn)在課堂上讓學生畫圖,占用較多的課堂時間;學生的圖畫出來后,沒時間展示學生的圖,學生沒有改進的機會;有時為了趕時間,老師會直接展示現(xiàn)成的圖;這些可視化工具的正確使用需要長時間的訓練,需要老師手把手指導學生創(chuàng)作及修正,花大量時間.

筆者認識到: 運用思維可視化技術進行教學,可視化只是手段,思維才是內核,要把圖用出效果來,教師必須遵循三個原則: ①必須讓學生去畫; ②必須給學生展示及改進的機會; ③必須使圖與數(shù)學內容深度結合.

4 結語

圖形是人們認識、理解和表達最好的工具. 一圖勝千字,圖是最直觀的語言,易讀、易懂、易記而且記得牢. 思維可視化就是利用圖形化、形象化的形式來表達人們頭腦中形成的概念、知識、思想等,把隱性知識顯性化、可視化,方便人們思考、表達、理解并能促進交流. 思維可視化教學策略為提升教學效能提供了一種新的手段,需要教師改變教學觀念,認真學習可視化工具與教學內容的深度整合,并讓學生體驗到愛思考、會思考、享受思考的樂趣,讓學生不僅學會,還會學,甚至慧學,最終全面提高教學成績.