干鋒,戴煥云,羅光兵,楊震寰

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)*

鐵道車輛在軌道上運(yùn)行，依靠一定形狀的車輪踏面和軌道型面相互配合來(lái)完成直線行走和曲線通過等運(yùn)動(dòng)，如圖1所示.自由輪對(duì)在軌道上運(yùn)行，由于踏面是具有一定錐度的錐形，會(huì)產(chǎn)生一種特有的自激振動(dòng)(輪對(duì)橫向移動(dòng)同時(shí)繞其中心垂向轉(zhuǎn)動(dòng))，這種運(yùn)動(dòng)稱為輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng).

圖1 輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)及波長(zhǎng)

蛇行運(yùn)動(dòng)作為鐵道車輛的特有現(xiàn)象，其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性直接關(guān)乎車輛運(yùn)行品質(zhì)，近年來(lái)，我國(guó)的高速鐵路運(yùn)營(yíng)里程迅速增加，高速動(dòng)車組運(yùn)行過程中出現(xiàn)的蛇行失穩(wěn)問題日益凸顯.大量學(xué)者對(duì)高速動(dòng)車組的蛇行失穩(wěn)現(xiàn)象展開研究.Polach[1]指出等效錐度曲線的非線性會(huì)對(duì)車輛的臨界速度和分叉類型產(chǎn)生影響，提出了一種用來(lái)評(píng)估輪軌關(guān)系的非線性參數(shù).我國(guó)動(dòng)車組在運(yùn)營(yíng)中出現(xiàn)的二次蛇行失穩(wěn)現(xiàn)象與等效錐度的非線性密切相關(guān)，研究表明[2-5]，當(dāng)?shù)刃уF度偏大且出現(xiàn)負(fù)斜率非線性特性時(shí)，動(dòng)車組容易出現(xiàn)頻率一般為7～9Hz的二次蛇行失穩(wěn)現(xiàn)象，該蛇行運(yùn)動(dòng)模態(tài)易與車體一階菱形模態(tài)耦合，出現(xiàn)嚴(yán)重惡化車輛運(yùn)行平穩(wěn)性和舒適度的“抖車”現(xiàn)象.這種現(xiàn)象可通過車輪鏇修、鋼軌打磨和提升車體一階菱形模態(tài)頻率加以解決.何旭升等[6]通過動(dòng)車組振動(dòng)測(cè)試指出輪軌等效錐度偏小時(shí)，動(dòng)車組容易出現(xiàn)主頻為1.5Hz的一次蛇行運(yùn)動(dòng).池茂儒等[7]指出我國(guó)高速鐵路存在鋼軌打磨偏差，軌肩欠打磨時(shí)容易導(dǎo)致等效錐度變大，造成車輛二次蛇行失穩(wěn)；軌肩過打磨易導(dǎo)致等效錐度偏小，容易造成車輛一次蛇行失穩(wěn).

由以上研究成果可知，高速動(dòng)車組的蛇行運(yùn)動(dòng)頻率與波長(zhǎng)等參數(shù)對(duì)動(dòng)車組的運(yùn)行品質(zhì)有很大影響，為車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究重點(diǎn).1885年，德國(guó)學(xué)者Klingel[8]推導(dǎo)了計(jì)算自由輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)頻率和波長(zhǎng)的Klingel公式，EN15302[9]和UIC519[10]標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算等效錐度的過程中均使用了該公式.但實(shí)際運(yùn)行的動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架均為具有一系懸掛的柔性轉(zhuǎn)向架，其蛇行運(yùn)動(dòng)頻率與波長(zhǎng)介于自由輪對(duì)和剛性轉(zhuǎn)向架之間，需要通過理論推導(dǎo)或仿真計(jì)算來(lái)確定其蛇行運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)與頻率.日本學(xué)者ShiroKoyanagi[11-12]于1991年提出了柔性轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法并通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到了驗(yàn)證，但該蛇行運(yùn)動(dòng)方程將車輪簡(jiǎn)化為錐形踏面，未考慮實(shí)際車輪踏面的強(qiáng)非線性，不能反映不同輪對(duì)橫移量下輪對(duì)蛇行頻率的變化，因此該公式不能直接應(yīng)用于實(shí)際輪對(duì)和構(gòu)架蛇行波長(zhǎng)計(jì)算過程中.而蛇行運(yùn)動(dòng)對(duì)鐵道車輛穩(wěn)定性和平穩(wěn)性具有顯著影響，故有必要提出新的柔性轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)公式，以研究車輛在實(shí)際車輪踏面錐度下及不同輪對(duì)橫移量下的輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

本文推導(dǎo)了自由輪對(duì)縱向、橫向和搖頭運(yùn)動(dòng)的三個(gè)一階微分方程，并將該方程作為蛇行運(yùn)動(dòng)的激勵(lì)代入考慮一系懸掛的柔性轉(zhuǎn)向架二階微分方程中.該二階微分方程考慮了轉(zhuǎn)向架的縱向、橫向和搖頭運(yùn)動(dòng)，結(jié)合蛇行運(yùn)動(dòng)特征，計(jì)算不同輪對(duì)橫移量下的構(gòu)架蛇行頻率.并將計(jì)算結(jié)果與國(guó)內(nèi)某型時(shí)速350 km動(dòng)車組的實(shí)測(cè)構(gòu)架加速度頻譜進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證該方程的準(zhǔn)確性和有效性.

1 自由輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)

1.1 自由輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)

結(jié)合圖1中的蛇行運(yùn)動(dòng)過程，以下從兩方面進(jìn)行分析：

(1)輪對(duì)有橫移無(wú)搖頭時(shí)

當(dāng)輪對(duì)有橫移無(wú)搖頭，即y≠0,θ=0°時(shí)，左輪接觸半徑為Rl，右輪為Rr，左輪接觸點(diǎn)距輪對(duì)中心距離為L(zhǎng)l，右輪為L(zhǎng)r(見圖2(a)).此時(shí)車輪以w的角速度向前滾動(dòng)時(shí)，左輪接觸點(diǎn)的滾動(dòng)速度為vl，右輪為vr.

(1)

當(dāng)vl>vr時(shí)，輪對(duì)的瞬時(shí)搖頭中心o′在軌面右側(cè)，反之vl

此時(shí)搖頭角速度φ可由下式得出：

(2)

由此搖頭中心o′距右側(cè)接觸點(diǎn)的距離Rφ和搖頭角速度φ分別為：

(3)

輪對(duì)前進(jìn)速度和左右側(cè)縱向蠕滑率公式如下：

(4)

此時(shí)輪對(duì)前進(jìn)速度v0與車輪沿軌道運(yùn)行速度v一致，即v=v0.

(2)輪對(duì)有橫移有搖頭時(shí)

當(dāng)輪對(duì)有橫移有搖頭時(shí)，輪對(duì)前進(jìn)速度與車輪

沿軌道運(yùn)行速度具有一定的搖頭角θ，此時(shí)車輪沿軌道運(yùn)行速度v=v0cosθ,輪對(duì)橫移速度vy=v0sinθ(見圖2(b)).

由此得到以下微分方程：

(5)

其中，Rl,Rr,Ll,Lr均為y和θ的函數(shù).

圖2 輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)分析

1.2 輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)對(duì)比分析

以S1002CN踏面和CHN60軌面為例(見圖3)，采用矢量法[3]實(shí)時(shí)計(jì)算輪軌接觸點(diǎn)并求解微分方程(5)，計(jì)算輪對(duì)初始橫移3 mm下的蛇行運(yùn)動(dòng)，如圖4所示.

(a) 踏面 (b) 軌面

圖4 輪對(duì)橫移量為3 mm時(shí)橫移和搖頭蛇行運(yùn)動(dòng)

圖4中可以看出，當(dāng)給定初始輪對(duì)橫移量為3 mm時(shí)，輪對(duì)將做±3 mm的蛇行運(yùn)動(dòng)，同時(shí)輪對(duì)的橫移和搖頭相位角相差90°.

由此得到橫移或搖頭波長(zhǎng)，可根據(jù)Klingel公式得到此時(shí)輪對(duì)橫移量下的等效錐度值.

計(jì)算0～12 mm輪對(duì)橫移量下蛇行運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)和等效錐度，并與UIC519標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比如圖5所示.

(a) 等效錐度 (b)蛇行運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)

圖5可以看出由自由輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)公式得到的等效錐度和蛇行運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)變化與UIC519標(biāo)準(zhǔn)得到的結(jié)果一致，從而驗(yàn)證了公式(5)的正確性.

2 柔性轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)方程

我國(guó)高速動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架均由一個(gè)構(gòu)架和兩條輪對(duì)組成，中間采用一系懸掛進(jìn)行連接，通過安裝在構(gòu)架上的電機(jī)驅(qū)動(dòng)安裝在車軸上的齒輪箱，帶動(dòng)輪對(duì)向前滾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)列車的牽引和制動(dòng).由于車輪型面近似錐形，左右車輪通過車軸連接后轉(zhuǎn)速相同，當(dāng)輪對(duì)橫向偏移后會(huì)產(chǎn)生類似于蛇行的自激振動(dòng).因此柔性轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)方程必須體現(xiàn)輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)的特性和一系懸掛對(duì)前后輪對(duì)運(yùn)動(dòng)的約束.

2.1 柔性轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化計(jì)算方法

令轉(zhuǎn)向架軸距之半為L(zhǎng)b，同一輪對(duì)一系簧橫向間距之半為L(zhǎng)s，左右輪接觸點(diǎn)橫向間距之半為L(zhǎng)s1，r為車輪半徑，γ為等效錐度，則自由輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)λw為：

(6)

剛性構(gòu)架蛇行波長(zhǎng)λbg為：

(7)

柔性構(gòu)架蛇行波長(zhǎng)λbf為：

(8)

f為縱向和橫向蠕滑系數(shù)的平均值.

2.2 柔性轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)精確計(jì)算方法

建立如圖6所示的柔性轉(zhuǎn)向架計(jì)算模型.令A(yù)1,A2,A3,A4分別為一系簧和前后輪對(duì)的四個(gè)連接點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A1(-Lb,Ls),A2(-Lb,-Ls),A3(Lb,Ls),A4(Lb,-Ls)，kx,ky分別為一系簧的縱向和橫向剛度，yb,φb分別為構(gòu)架的橫移和搖頭角，xs1,ys1,φs1分別為后輪對(duì)的縱向、橫向位移和搖頭角，xs2,ys2,φs2分別為前輪對(duì)的縱向、橫向位移和搖頭角，xb,yb分別為

(a) 構(gòu)架和輪對(duì)無(wú)搖頭運(yùn)動(dòng)

(b) 構(gòu)架和輪對(duì)有搖頭運(yùn)動(dòng)

構(gòu)架的縱向和橫向位移，x1,y1分別為后輪對(duì)左側(cè)一系簧的縱向和橫向位移，x2,y2分別為后輪對(duì)右側(cè)一系簧的縱向和橫向位移，x3,y3分別為前輪對(duì)左側(cè)一系簧的縱向和橫向位移，x4,y4分別為前輪對(duì)右側(cè)一系簧的縱向和橫向位移.

則根據(jù)二維旋轉(zhuǎn)矩陣可得一系鋼簧位移表達(dá)式為：

(9)

令輪對(duì)質(zhì)量為ms，搖頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Isz，構(gòu)架質(zhì)量為mb，搖頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ibz，則構(gòu)架動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

(10)

結(jié)合輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)方程，前后輪對(duì)的縱向、橫向和搖頭速度可表示為：

(11)

式中,前后輪對(duì)的縱向、橫向和搖頭速度方程由自由輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)方程和加速度積分方程兩部分組成.自由輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)方程作為輪對(duì)自激振動(dòng)的激勵(lì)作用于構(gòu)架，而構(gòu)架通過一系懸掛的約束來(lái)限制輪對(duì)的運(yùn)動(dòng).

3 不同車型柔性轉(zhuǎn)向架蛇行頻率分析

以CRH2、CRH3和CRH5型車為例，采用上述建模方法分別計(jì)算在輪對(duì)橫移量為3 mm時(shí)前輪對(duì)、后輪對(duì)和構(gòu)架的蛇行運(yùn)動(dòng)，計(jì)算參數(shù)如表1所示，計(jì)算結(jié)果如圖7所示.

在300 km/h運(yùn)行速度下，令構(gòu)架和前后輪對(duì)初始橫移量均為3 mm，搖頭角為0 mm，即ys1=ys2=yb=3，φs1=φs2=φb=0，計(jì)算構(gòu)架和前后輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)方程如圖7～圖9.

表1 不同車型計(jì)算參數(shù)表

(a) 橫移量

(b)搖頭角

(a) 橫移量

(b)搖頭角

(a) 橫移量

(b)搖頭角

由圖7～圖9知，各車型的輪對(duì)與構(gòu)架蛇行波長(zhǎng)較為接近.前后輪對(duì)同相運(yùn)動(dòng)，搖頭角幅值相近，略大于構(gòu)架搖頭角幅值.三種車型中，CRH3型車蛇行頻率最高，可達(dá)3.13 Hz，CRH2型車蛇行頻率為1.38 Hz , CRH5型車蛇行頻率為1.36 Hz.

在300 km/h運(yùn)行速度下，計(jì)算CRH2、CRH3和CRH5型車構(gòu)架在不同構(gòu)架橫移量下構(gòu)架蛇行波長(zhǎng)和頻率如圖10所示.

(a) 構(gòu)架蛇行波長(zhǎng)

(b) 構(gòu)架蛇行頻率

由圖10知，構(gòu)架橫移量在1～8 mm時(shí)，CRH3型車的蛇行頻率最高，CRH2型車和CRH5型車的蛇行頻率較為接近.CRH3型車在構(gòu)架橫移1～5 mm時(shí)，蛇行頻率會(huì)小幅降低，大于5 mm后蛇行頻率會(huì)較快增長(zhǎng)；CRH2型和CRH5型車的蛇行頻率會(huì)隨構(gòu)架橫移量的增加而逐漸增長(zhǎng).

4 柔性構(gòu)架蛇行運(yùn)動(dòng)分析驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

實(shí)測(cè)國(guó)內(nèi)以350 km/h高速運(yùn)行的某型動(dòng)車組車輪踏面鏇修后運(yùn)行13萬(wàn)公里時(shí)軸箱、構(gòu)架端部和車體枕梁振動(dòng)加速度如圖11所示.由于構(gòu)架蛇行運(yùn)動(dòng)頻率較低，因此對(duì)振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行了低通50 Hz濾波處理.

(a) 軸箱橫向和垂向振動(dòng)加速度

(b) 構(gòu)架端部橫向和垂向振動(dòng)加速度

(c) 車體枕梁橫向和垂向振動(dòng)加速度

在圖11數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上截取勻速350k m/h運(yùn)行時(shí)軸箱、構(gòu)架和車體枕梁振動(dòng)加速度信號(hào)如圖12所示.

(a) 軸箱橫向和垂向振動(dòng)加速度

(b) 構(gòu)架端部橫向和垂向振動(dòng)加速度

(c) 車體枕梁橫向和垂向振動(dòng)加速度

從圖12中可以看出，經(jīng)50 Hz低通濾波后，軸箱垂向和橫向加速度振動(dòng)幅值接近，而構(gòu)架端部和車體枕梁垂向振動(dòng)加速度均比橫向大，且出現(xiàn)明顯的低頻振動(dòng).

4.2 振動(dòng)頻譜分析

分析圖12中軸箱、構(gòu)架和車體枕梁振動(dòng)加速度頻譜和加速區(qū)段短時(shí)FFT頻譜，分別如圖13所示.

從圖13中可以看出構(gòu)架端部出現(xiàn)明顯的2.9、14.9和33.6 Hz振動(dòng)頻率，其中33.6 Hz在軸箱垂向、構(gòu)架端部橫向與垂向振動(dòng)加速度頻譜中有體現(xiàn)；14.9 Hz在枕梁垂向、構(gòu)架端部橫向和垂向振動(dòng)加速度頻譜中有體現(xiàn)；2.9 Hz在構(gòu)架端部橫向和垂向、車體枕梁橫向振動(dòng)加速度頻譜中有體現(xiàn).并且這些主頻在車輛加速區(qū)段形成明顯的振動(dòng)能量集中帶，且隨著速度的變化而變化.

圖13 實(shí)測(cè)車輛350 km/h時(shí)軸箱、構(gòu)架和車體枕梁振動(dòng)頻譜

對(duì)上述頻率進(jìn)行分析：車輛運(yùn)行在該區(qū)段時(shí)線路使用的軌道板類型為CRTSⅡ型軌道板，其單塊長(zhǎng)度為6 450 mm，相鄰軌道板板縫約為50 mm，相鄰軌道板間總長(zhǎng)LT≈6 500 mm，則車輛勻速349 km/h的軌道板通過頻率為14.9 Hz；車輪半徑為0.46 m，則車輪轉(zhuǎn)頻為33.5 Hz，與圖13中實(shí)測(cè)頻率基本一致.因此確定14.9 Hz頻率來(lái)源為車輛通過CRTSⅡ型軌道板時(shí)頻率，33.6 Hz頻率來(lái)源為車輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率.

4.3 構(gòu)架蛇行頻率分析

實(shí)測(cè)高速動(dòng)車組車輪鏇修后運(yùn)行13萬(wàn)公里左右時(shí)車輪踏面廓形如圖14所示，與標(biāo)準(zhǔn)CHN60軌面匹配時(shí)輪軌接觸關(guān)系如圖15所示.

(a) 左輪踏面

(b) 右輪踏面

實(shí)測(cè)車輪踏面與標(biāo)準(zhǔn)CHN60軌面匹配的輪徑差、等效錐度和輪軌接觸幾何關(guān)系如圖15所示.

(c) 輪軌接觸幾何關(guān)系

從圖14和圖15可以看出，左右車輪踏面在名義滾動(dòng)圓附近出現(xiàn)凹型磨耗，左右車輪踏面磨耗外形不對(duì)稱，左右踏面上接觸點(diǎn)分布和輪徑差曲線也不對(duì)稱.輪對(duì)橫移3 mm時(shí)UIC519等效錐度為0.14.

高速動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架動(dòng)力學(xué)參數(shù)如下：輪對(duì)質(zhì)量為 1901.8 kg；輪對(duì)慣量Z為684.65 kg·m2；構(gòu)架質(zhì)量為2 280kg；構(gòu)架慣量Z為2280 kg·m2；軸距之半為1.25 m；一系橫向距離為1 m；一系縱向剛度為14.7 MN/m；一系橫向剛度為6.5 MN/m.

根據(jù)式(10)和高速動(dòng)車組轉(zhuǎn)向架動(dòng)力學(xué)參數(shù)，以及實(shí)測(cè)車輪踏面輪軌接觸關(guān)系，仿真計(jì)算得到轉(zhuǎn)向架在不同運(yùn)行速度下輪對(duì)橫移量和蛇行頻率的關(guān)系，如圖16所示.由圖知，輪對(duì)橫移3 mm，運(yùn)行速度為350 km/h時(shí)的構(gòu)架蛇行頻率為3.0 Hz，與圖13中實(shí)測(cè)頻率基本一致，因此確定頻率3來(lái)源為構(gòu)架蛇行頻率，從而也驗(yàn)證了式(11)的正確性.

圖16 不同運(yùn)行速度下輪對(duì)橫移量和蛇行頻率關(guān)系

5 結(jié)論

(1)本文推導(dǎo)的與輪對(duì)橫移和搖頭相關(guān)的三個(gè)一階蛇行運(yùn)動(dòng)微分方程與基于輪對(duì)橫移的蛇行運(yùn)動(dòng)二階微分方程計(jì)算結(jié)果一致，可得到與 Klingel公式計(jì)算結(jié)果一致的等效錐度曲線;

(2)CRH2和CRH5型車的蛇行頻率較為接近且低于CRH3型車的蛇行頻率.CRH3型車在構(gòu)架橫移1～5 mm時(shí)，蛇行頻率會(huì)小幅降低，大于5mm后蛇行頻率會(huì)較快增長(zhǎng)；CRH2型和CRH5型車的蛇行頻率會(huì)隨構(gòu)架橫移量的增加而逐漸增長(zhǎng);

(3)通過求解本文推導(dǎo)的柔性轉(zhuǎn)向架的二階微分方程得到與實(shí)測(cè)時(shí)速350km動(dòng)車組的構(gòu)架蛇行頻率基本一致的結(jié)果，驗(yàn)證了該二階微分方程的正確性和有效性.