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        關于不變測度的維數(shù)分布的一點注記

        2021-01-09 06:53:16蔡恒超
        遼寧師專學報(自然科學版) 2020年3期
        關鍵詞:維數(shù)復雜性測度

        蔡恒超

        (福建師范大學 數(shù)學與信息學院,福建福州350117)

        1 預備知識

        為了研究一般概率測度μ及其支撐集的結構和復雜性,人們引進了所謂的局部維數(shù):如果

        其中,Br(x)表示以x為球心,r為半徑的球,則稱α為μ在x處的局部維數(shù),稱

        為水平集.與此有關的一個由物理學家提出的著名公式是所謂的重分形公式:

        其中,dim代表豪斯多夫(Hausdorff)維數(shù),τ(μ,q)是Lq譜,定義為

        另一個考察概率測度μ及其支撐集的結構和復雜性的方法是研究μ的支撐集的維數(shù)分布.Cutler[8]考慮了μ支撐于維數(shù)不超過α的集合上的質量是怎樣隨著α的變化而變化的,定義了如下的維數(shù)分布:

        定義1設dim(E)表示集合E的豪斯多夫維數(shù),對于任意的α∈[0,N],定義集函數(shù)μα為

        其中,B和D都是Borel集合.Cutler[8]證明了如下的結果:

        這些測度μα實質上構成了概率測度μ的一個分解.利用這種分解,定義式

        決定了集合[0,N]上的一個概率測度.Cutler[8]把這個測度稱為測度μ的維數(shù)分布,并從 一種新的角度研究了概率測度的結構與復雜性.

        一個自然的問題就是:對于由迭代函數(shù)系定義的不變測度,這種分解是否有用.本研究的目的就是回答這一問題,為此先給出迭代函數(shù)系及其不變集的定義如下:

        (1)

        稱為不變測度.

        2 定理及其證明

        定理設μ是(1)式定義的不變測度,μα見定義1.若Sj都是雙李普希茨壓縮映射(即存在大于零的實數(shù)c1

        定理說明,對于由迭代函數(shù)系生成的不變測度,Cutler[8]所定義的維數(shù)分布是一個單點分布(退化分布).

        證明:設α∈[0,N],使得μα不是零測度.令

        其中,Sj1°Sj2°…°Sjn表示n個雙李普希茨壓縮映射的復合,則由豪斯多夫維數(shù)的性質知道,Bα的維數(shù)不超過α.所以,由μα的定義知道

        μα(B)=μ(B∩Bα) (2)

        由于Sj都是雙李普希茨映射,所以存在常數(shù)c>0,使得

        所以,由豪斯多夫測度的性質得知

        所以

        對一切Borel集合B和{1,2,…,m}中的j成立.

        利用概率測度μ的定義式(1)可知,對于任意的Borel集合B,由(2)式有

        μα(B)=μ(B∩Bα)

        由(3)式有

        (4)

        由于μα不是零測度.令ν=[μα(?N)]-1μα,則ν是一個概率測度.由(4)式可得,ν滿足

        由μ的唯一性得知,

        μ=ν=[μα(?N)]-1μα. (5)

        如果μα≠μ,則μα(?N)≠1,又因為μα(?N)≤1,所以μα(?N)<1.此時,μ-μα也是非零測度.令

        ν′=[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ-μα),

        則由(1)式和(4)式得

        由μ的唯一性得知,

        μ=ν′=[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ-μα). (6)

        所以,由(5)式和(6)式及(2)式得

        [μα(?N)]-1μα(Dα)=[μ(?N)-μα(?N)]-1[μ(Dα)-μα(Dα)]

        =[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ(Dα)-μ(Dα))=0,

        這與μα是非零測度矛盾,所以μα=μ.這說明,當μα≠0時,必有μα=μ.令

        α0=inf{α≥0:μα=μ},

        則易知定理的結論(i)成立;而且α>α0時,結論(ii)成立.最后,由(3)式知道,當α=α0時,結論(ii)也成立.證畢.

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