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        關(guān)于不變測(cè)度的維數(shù)分布的一點(diǎn)注記

        2021-01-09 06:53:16蔡恒超
        關(guān)鍵詞:維數(shù)復(fù)雜性測(cè)度

        蔡恒超

        (福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,福建福州350117)

        1 預(yù)備知識(shí)

        為了研究一般概率測(cè)度μ及其支撐集的結(jié)構(gòu)和復(fù)雜性,人們引進(jìn)了所謂的局部維數(shù):如果

        其中,Br(x)表示以x為球心,r為半徑的球,則稱α為μ在x處的局部維數(shù),稱

        為水平集.與此有關(guān)的一個(gè)由物理學(xué)家提出的著名公式是所謂的重分形公式:

        其中,dim代表豪斯多夫(Hausdorff)維數(shù),τ(μ,q)是Lq譜,定義為

        另一個(gè)考察概率測(cè)度μ及其支撐集的結(jié)構(gòu)和復(fù)雜性的方法是研究μ的支撐集的維數(shù)分布.Cutler[8]考慮了μ支撐于維數(shù)不超過(guò)α的集合上的質(zhì)量是怎樣隨著α的變化而變化的,定義了如下的維數(shù)分布:

        定義1設(shè)dim(E)表示集合E的豪斯多夫維數(shù),對(duì)于任意的α∈[0,N],定義集函數(shù)μα為

        其中,B和D都是Borel集合.Cutler[8]證明了如下的結(jié)果:

        這些測(cè)度μα實(shí)質(zhì)上構(gòu)成了概率測(cè)度μ的一個(gè)分解.利用這種分解,定義式

        決定了集合[0,N]上的一個(gè)概率測(cè)度.Cutler[8]把這個(gè)測(cè)度稱為測(cè)度μ的維數(shù)分布,并從 一種新的角度研究了概率測(cè)度的結(jié)構(gòu)與復(fù)雜性.

        一個(gè)自然的問(wèn)題就是:對(duì)于由迭代函數(shù)系定義的不變測(cè)度,這種分解是否有用.本研究的目的就是回答這一問(wèn)題,為此先給出迭代函數(shù)系及其不變集的定義如下:

        (1)

        稱為不變測(cè)度.

        2 定理及其證明

        定理設(shè)μ是(1)式定義的不變測(cè)度,μα見定義1.若Sj都是雙李普希茨壓縮映射(即存在大于零的實(shí)數(shù)c1

        定理說(shuō)明,對(duì)于由迭代函數(shù)系生成的不變測(cè)度,Cutler[8]所定義的維數(shù)分布是一個(gè)單點(diǎn)分布(退化分布).

        證明:設(shè)α∈[0,N],使得μα不是零測(cè)度.令

        其中,Sj1°Sj2°…°Sjn表示n個(gè)雙李普希茨壓縮映射的復(fù)合,則由豪斯多夫維數(shù)的性質(zhì)知道,Bα的維數(shù)不超過(guò)α.所以,由μα的定義知道

        μα(B)=μ(B∩Bα) (2)

        由于Sj都是雙李普希茨映射,所以存在常數(shù)c>0,使得

        所以,由豪斯多夫測(cè)度的性質(zhì)得知

        所以

        對(duì)一切Borel集合B和{1,2,…,m}中的j成立.

        利用概率測(cè)度μ的定義式(1)可知,對(duì)于任意的Borel集合B,由(2)式有

        μα(B)=μ(B∩Bα)

        由(3)式有

        (4)

        由于μα不是零測(cè)度.令ν=[μα(?N)]-1μα,則ν是一個(gè)概率測(cè)度.由(4)式可得,ν滿足

        由μ的唯一性得知,

        μ=ν=[μα(?N)]-1μα. (5)

        如果μα≠μ,則μα(?N)≠1,又因?yàn)棣苔??N)≤1,所以μα(?N)<1.此時(shí),μ-μα也是非零測(cè)度.令

        ν′=[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ-μα),

        則由(1)式和(4)式得

        由μ的唯一性得知,

        μ=ν′=[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ-μα). (6)

        所以,由(5)式和(6)式及(2)式得

        [μα(?N)]-1μα(Dα)=[μ(?N)-μα(?N)]-1[μ(Dα)-μα(Dα)]

        =[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ(Dα)-μ(Dα))=0,

        這與μα是非零測(cè)度矛盾,所以μα=μ.這說(shuō)明,當(dāng)μα≠0時(shí),必有μα=μ.令

        α0=inf{α≥0:μα=μ},

        則易知定理的結(jié)論(i)成立;而且α>α0時(shí),結(jié)論(ii)成立.最后,由(3)式知道,當(dāng)α=α0時(shí),結(jié)論(ii)也成立.證畢.

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