杜方鍵，張永峰，張志正，郭小飛

(1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十七研究所，河南鄭州 450047；2.鄭州市水下信息系統(tǒng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南鄭州 450047；3.鄭州宇通客車股份有限公司，河南鄭州 450047)

0 引 言

水下聲成像技術(shù)在水下探測(cè)尤其是海底測(cè)繪、海底物體探測(cè)與識(shí)別的應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，具有廣泛的應(yīng)用前景。早期的二維成像聲吶[1]僅能提供二維信息[2]，隨著地形勘探、結(jié)構(gòu)檢查、物體測(cè)量等水下業(yè)務(wù)的迅速拓展，對(duì)立體、精細(xì)的水下成像需求愈發(fā)迫切，推動(dòng)了水下三維成像技術(shù)[3]的發(fā)展進(jìn)步。水下三維成像技術(shù)可快速生成水下地形、結(jié)構(gòu)、物體的三維高分辨率圖像，提供直觀豐富的細(xì)節(jié)描述。三維成像分為近場(chǎng)與遠(yuǎn)場(chǎng)兩種情形。遠(yuǎn)場(chǎng)條件下，波束形成的時(shí)延參數(shù)容易準(zhǔn)確計(jì)算出來；而近場(chǎng)條件下，必須考慮波前彎曲程度，需要對(duì)波束形成進(jìn)行聚焦處理。近場(chǎng)條件下，我們一般使用一種近似時(shí)延方法，通常情況下采用菲涅耳近似(Fresnel approximation)[4-5]，但是 Lawrence J.Ziomek指出，使用菲涅耳近似必須滿足三個(gè)條件[6]，其中第一個(gè)條件就是限制成像聲吶的有效視野范圍：|θ|≤18°，這在很大程度上減小了聲吶成像的效率。隨著成像聲吶技術(shù)的迅速發(fā)展，Andrea Trucco在1997年提出了一種基于菲涅耳近似的最小二乘近似[7]。該方法的核心是將菲涅耳近似的時(shí)延表達(dá)式進(jìn)行加權(quán)，應(yīng)用在線列陣中的確擴(kuò)大了成像的有效視野范圍，但該方法是否同樣適用其它陣形的成像聲吶，還需進(jìn)一步研究。

本文針對(duì)平面陣近場(chǎng)聚焦波束形成[8-9]，研究并探討了一種時(shí)延優(yōu)化方法。該方法是在方位角和俯仰角的重新定義下，將準(zhǔn)確的時(shí)延表達(dá)式按泰勒公式展開，取前三項(xiàng)，并對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行加權(quán)；然后，通過求三個(gè)加權(quán)系數(shù)的偏導(dǎo)，再令其等于零，求出最優(yōu)加權(quán)系數(shù)，此時(shí)優(yōu)化的時(shí)延表達(dá)式與準(zhǔn)確時(shí)延表達(dá)式的誤差最小。優(yōu)化的時(shí)延表達(dá)式不僅擴(kuò)大了成像聲吶的有效視野范圍，而且更接近于準(zhǔn)確的時(shí)延表達(dá)式。最后，通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性。

1 平面陣的聚焦波束形成

平面陣的布放結(jié)構(gòu)如圖1所示。假設(shè)有M×N個(gè)陣元組成的平面陣放置于z=0的平面，第(m,n)號(hào)陣元的坐標(biāo)可以表示成v=(xm,yn,0)，其中m=1,2,…,M，n=1,2,…,N。

圖1 平面陣的布放結(jié)構(gòu)Fig.1 The layout of planar array

俯仰角θe與方位角θa的定義如圖1所示，波束信號(hào)的方向向量可以表示為

則平面陣接收信號(hào)進(jìn)行聚焦波束形成之后的輸出可表示為

其中：xm,n(t)是第(m,n)號(hào)陣元接收到的時(shí)域信號(hào)；wm,n是幅度加權(quán)值；τ(r0,u,m,n)表示第(m,n)號(hào)陣元接收的距離為r0、波束方向?yàn)閡的目標(biāo)回波信號(hào)的時(shí)延。目標(biāo)位于近場(chǎng)區(qū)域時(shí)，時(shí)延參數(shù)可以精確表示為

其中：c為聲波傳播速度，表示歐幾里德范數(shù)。

由式(3)可知，在聚焦距離r0一定的情況下，第(m,n)號(hào)陣元接收目標(biāo)回波信號(hào)的時(shí)延參數(shù)就是關(guān)于掃描角的函數(shù)。而成像聲吶需要較寬的有效視野范圍，為此，設(shè)想構(gòu)造一種方法可以優(yōu)化時(shí)延參數(shù)，使掃描角得以展寬。

2 時(shí)延優(yōu)化算法

則精確的時(shí)延表達(dá)式可以展開為

在菲涅耳近似條件下，時(shí)延表達(dá)式可表示為

其中：下標(biāo)Fr表示該時(shí)延表達(dá)式為菲涅耳近似表達(dá)式。Ziomek給出了近場(chǎng)條件下，波束形成算法的菲涅耳近似時(shí)延表達(dá)式成立的三個(gè)必要條件，其中第一個(gè)條件是限制成像有效視野范圍|θ|≤18°[6]。為了增大菲涅耳近似限定三維成像聲吶的有效視野范圍，在準(zhǔn)確時(shí)延的泰勒展開表達(dá)式(6)和菲涅耳近似時(shí)延表達(dá)式(7)的基礎(chǔ)上，采用一種優(yōu)化的時(shí)延近似表達(dá)式[8-9]，如式(8)所示：

式(8)稱之為TF近似，其中TF是Taylor和Fresnel的縮寫，以區(qū)別于上述時(shí)延的準(zhǔn)確表達(dá)式和菲涅耳近似表達(dá)式，k1,k2,k3是用于擴(kuò)大成像聲吶有效視野范圍的加權(quán)系數(shù)。當(dāng)k1=1,k2=?0.5,k3=0時(shí)，式(8)就等同于時(shí)延參數(shù)的菲涅耳近似表達(dá)式；當(dāng)k1,k2為兩個(gè)常數(shù)，k3=0時(shí)，式(8)就是文獻(xiàn)[7]提出的時(shí)延參數(shù)近似表達(dá)式。

3 時(shí)延表達(dá)式的最優(yōu)化過程

首先，引入均方差(Mean Square Error, MSE)的概念。定義兩種時(shí)延的均方差為

對(duì)于τTF中的三個(gè)加權(quán)系數(shù)，若是能取到一組加權(quán)系數(shù)使得該時(shí)延更接近于準(zhǔn)確時(shí)延，則TF近似時(shí)延表達(dá)式就是最優(yōu)的時(shí)延表達(dá)式。對(duì)某一特定的成像聲吶而言，它的陣元個(gè)數(shù)和陣元間距都是一定的，因此上式定義的均方誤差就變成關(guān)于k1,k2,k3的函數(shù)。要使τTF最接近于準(zhǔn)確時(shí)延τex，即要使EMS-TF最小，則可以通過求偏導(dǎo)來獲得最優(yōu)TF近似時(shí)延下的k1,k2,k3的值：

將式(10)代入式(11)可以得到：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)有M×N個(gè)陣元組成的平面陣，M=N=48，接收信號(hào)中心頻率f=300kHz，陣元間距等于信號(hào)波長(zhǎng)，聲速為1 500 m·s-1。按圖1在xyz坐標(biāo)系內(nèi)放置平面陣。

通過求解式(3)、(7)、(9)獲得菲涅耳近似下的時(shí)延均方誤差。圖2為在聚焦距離r0=1m處菲涅耳近似均方差隨方位角φ和俯仰角θ的變化情況。圖2(a)是均方差隨方位角和俯仰角變化的三維圖，圖2(b)是圖2(a)在綜合方位角方向的側(cè)視圖，以下類同。從圖2(b)中可以看出，當(dāng)θ=18°時(shí)，均方差最大約6.8×10?14s2。

取初始K值K0=[1?0.5 0.5]，通過求解式(3)、(8)、(10)獲得TF近似下的時(shí)延均方差。圖3為TF近似均方差隨方位角和俯仰角的變化情況。

圖2 菲涅耳近似的均方差Fig.2 MSE of Fresnel approximation

圖3 TF近似的均方差Fig.3 MSE of TF approximation

對(duì)比圖 3(b)與圖 2(b)可知，當(dāng)均方差6.8× 10?14s2時(shí)，成像聲吶有效視野范圍的俯仰角從±18°至少擴(kuò)大到約±23°，當(dāng)且僅當(dāng)φ=?180°,?90°,0°,90°,180°時(shí)，有效視野范圍可以從±18°擴(kuò)大到±90°，說明TF近似方法可以擴(kuò)大成像聲吶有效視野范圍。

通過Matlab計(jì)算式(13)、(15)、(16)可獲得最優(yōu)加權(quán)系數(shù)Kbest=[0.994 2?0.4980 0.4889]，從圖4最優(yōu)化后的均方差結(jié)果可以看出，均方差為6.8× 10?14s2時(shí)，成像聲吶有效視野范圍擴(kuò)大到約±24°。相對(duì)于文獻(xiàn)[7]提出的時(shí)延參數(shù)近似表達(dá)式，本文方法在計(jì)算時(shí)延時(shí)增加了1項(xiàng)多項(xiàng)式計(jì)算的復(fù)雜度，時(shí)延均方誤差計(jì)算用時(shí)增加約 28%(2.5 s)，在實(shí)際應(yīng)用過程中需要綜合考慮系統(tǒng)資源，結(jié)合實(shí)際需求選擇更為合適的時(shí)延參數(shù)近似表達(dá)式。

圖4 最優(yōu)化TF近似的均方差Fig.4 MSE of optimal TF approximation

從上述仿真結(jié)果可知，在傳統(tǒng)方位角與俯仰角的定義下，當(dāng)|θ|=18°時(shí)，菲涅耳近似與準(zhǔn)確時(shí)延的均方誤差最大為6.8× 10?14s2。本文另在新方位角與俯仰角定義下，以均方差為基準(zhǔn)討論菲涅耳近似與TF近似在該均方差值下的有效視野范圍大小。圖5視野范圍圖，圖5(a)為三維顯示圖，圖 5(b)為俯視圖，以下類同。圖5(b)中非深紅色區(qū)域的均方差都小于6.8× 10?14s2，說明這些區(qū)域是成像的有效視野范圍。

圖6是TF近似在新方位角與俯仰角定義下的有效視野范圍圖。圖6(b)中非深紅色區(qū)域的均方差都小于6.8× 10?14s2，從圖中可以看出該區(qū)域面積較圖5(b)中大很多，說明TF近似的確擴(kuò)大了三維成像的有效視野范圍。

圖7是當(dāng)K值最優(yōu)時(shí)的TF近似在新方位角與俯仰角定義下的有效視野范圍圖。

圖7(b)與圖6(b)的最大不同之處就是藍(lán)色區(qū)域面積增大，總體非深紅色區(qū)域面積也有所擴(kuò)大。說明K值最優(yōu)時(shí)，能夠擴(kuò)大三維成像的有效視野范圍，并明顯減小原有區(qū)域的均方差，對(duì)于提升圖像分辨率、減小圖像畸變具有重要作用。

圖5 菲涅耳近似下平面陣的有效視野范圍Fig.5 Effective visual field of planar array under Fresnel approximation

圖6 TF近似下平面陣的有效視野范圍Fig.6 Effective visual field of planar array under TF approximation

圖7 K最優(yōu)時(shí)的TF近似下平面陣的有效視野范圍Fig.7 Effective visual field of planar array under TF approximation with optimal K values

5 結(jié) 論

針對(duì)平面陣，本文研究并探討了一種時(shí)延參數(shù)的優(yōu)化方法，推導(dǎo)了其數(shù)學(xué)表達(dá)式。通過求解平面陣在聚焦波束形成中的時(shí)延參數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行Matlab仿真，得出以下結(jié)論：

(1) 與菲涅耳近似時(shí)延相比較，本文研究的TF近似時(shí)延的確可以擴(kuò)大成像的有效視野范圍。

(2) 當(dāng)K值最優(yōu)時(shí)，TF近似時(shí)延能進(jìn)一步擴(kuò)大有效視野范圍并明顯減小原有效視野范圍內(nèi)的均方差。