云南省昆明市第三中學(xué)(650500) 太敬藝

2017年新課程標(biāo)準(zhǔn)提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考,引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、會(huì)用數(shù)學(xué),并將數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)納入“四基”范疇.教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握,還要深入挖掘題目蘊(yùn)含的思想方法,鼓勵(lì)學(xué)生基于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)從多種角度解讀、分析、處理數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而逐步樹(shù)立敢于創(chuàng)新、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

近年來(lái),一線(xiàn)教師愈加重視培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的能力,但如果針對(duì)題目本身僅強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)的某種思想方法則不免有失偏頗, 學(xué)生的思維不僅沒(méi)有得到充分的延展,也不利于對(duì)題目蘊(yùn)含的思想方法有更深入的認(rèn)識(shí).筆者以一道高考題為例,全面剖析其中涵蓋的數(shù)學(xué)思想方法以及在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用.

一、試題呈現(xiàn)

題目(2020年全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與y軸垂直.

(1)求b;

(2)若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1 的零點(diǎn),證明:f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

二、解法探究

問(wèn)題(1)較為簡(jiǎn)單,解答從略.下文著重探究問(wèn)題(2)的解法.

解法一(函數(shù)思想)分析:第(1)問(wèn)求得在b值已確定的情況下,c是f(x)唯一的參變量,啟發(fā)我們從兩種角度分析本題,其一是求導(dǎo)分析單調(diào)性和最值確定c的范圍,利用c的范圍解關(guān)于零點(diǎn)的不等式從而確定任意零點(diǎn)的取值范圍;其二是將f(x)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)取值問(wèn)題,采取數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想方法,以形助數(shù).一目了然.

角度一(求導(dǎo)確定范圍)設(shè)x0為f(x)的一個(gè)零點(diǎn)且|x0|≤1,f(x0)=+c=0,c(x0)=求導(dǎo)得c′(x0)=c(-1)=,c(1)==所以

設(shè)x1為f(x)的任一零點(diǎn),f(x1)=+c= 0, 由c=可得不等式組:解得-1 ≤x1≤1, 即|x1|≤1, 故f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1,命題得證.

角度二(初等函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題)令f(x)=x3-+c=0 即

①當(dāng)x= 0 時(shí),c= 0, 此時(shí)f(x)的零點(diǎn)分別為x1=0,x2=,x3=符合題意;②當(dāng)x ?= 0 時(shí)有x2-令g(x)=x2-c ＞0 時(shí)函數(shù)圖象如下圖所示(這里應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)在探究題目解法時(shí)利用函數(shù)圖象輔助分析,不能單獨(dú)作為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過(guò)程):

圖1

圖2

通過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性直觀看到, 若存在|x0|≤1,當(dāng)-1 ≤x0＜0 時(shí), 任意x1使得g(x1)=h(x1), 都有0＜ x1＜1(圖1); 當(dāng)0＜ x0≤ 1 時(shí), 任意x1使得g(x1)=h(x1), 都有-1 ≤x1＜0(圖2); 讀者可自行類(lèi)比分析c ＜0 的情況.

解法二(方程思想)分析:方程與函數(shù)關(guān)系密切,可將本例中函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根問(wèn)題進(jìn)行討論.原命題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為:若方程x3-+c= 0 有一個(gè)絕對(duì)值不大于1 的實(shí)根,證明該方程所有實(shí)根的絕對(duì)值都不大于1.下面提供兩種角度確定c的范圍.

角度一(配方變形)

(1)4x3-3x+4c=(x+1)(2x-1)2+4c-1=0,

(2)4x3-3x+4c=(x-1)(2x+1)2+4c+1=0.

若存在實(shí)數(shù)解x1且|x1|≤ 1, 由(1), (2)式解得后續(xù)過(guò)程見(jiàn)解法一.

角度二(卡爾達(dá)諾公式(Cardano formula))一元三次方程的根的分布問(wèn)題容易聯(lián)想到著名的卡爾達(dá)諾公式, 教師可以類(lèi)比一元二次方程根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn), 介紹一元三次方程的解法及卡爾達(dá)諾公式, 促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的改善.特殊型一元三次方程x3+px+q= 0(p,q ∈R)的判別式為Δ =當(dāng)Δ＞0 時(shí),有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根;當(dāng)Δ = 0 時(shí),有三個(gè)實(shí)根,其中一個(gè)為兩重根;當(dāng)Δ＜0 時(shí)有三個(gè)不等實(shí)根.由于本例只討論實(shí)數(shù)根的情況,故要求Δ ≤0, Δ =同樣可得

解法三(反證法)分析:邏輯推理能力是高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,中學(xué)數(shù)學(xué)的推理論證能力是根據(jù)已知事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題論證某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性的初步的推理能力.反證法是間接證明的一種重要方法,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.其原理是原命題和其逆否命題的真假性相同,基本證明過(guò)程為:反設(shè)(肯定題設(shè)而否定結(jié)論),歸謬(經(jīng)過(guò)推理導(dǎo)出矛盾),從而原命題得證.

①反設(shè):x3-+c=0 有一個(gè)絕對(duì)值不大于1 的實(shí)根x1,假設(shè)該方程存在實(shí)根x2且|x2|＞1

三、總結(jié)

本例中解法一的求導(dǎo)分析法比較常規(guī), 學(xué)生容易想到,但運(yùn)算過(guò)程冗長(zhǎng),思路固定化,不利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維;解法二對(duì)學(xué)生思維的靈活性要求較高,可以類(lèi)比一元二次方程,逐步深入,適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探究一元三次方程的相關(guān)解法;解法三利用反證法,正難則反,即間接證明的思路幫學(xué)生打破僵化思維,開(kāi)拓解題視野.

高中各章節(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著內(nèi)在聯(lián)系,呈現(xiàn)出很強(qiáng)的層次性和系統(tǒng)性,如函數(shù)與方程、零點(diǎn)與實(shí)根,直接證法和間接證法.為幫助學(xué)生將這些看似無(wú)關(guān)的知識(shí)整合起來(lái),教師在教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持問(wèn)題驅(qū)動(dòng)原則,提煉數(shù)學(xué)思想方法,有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從不同角度剖析問(wèn)題,進(jìn)行多解嘗試.此外,教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)“道而弗牽,強(qiáng)而弗抑,開(kāi)而弗達(dá)”,這樣學(xué)生有自主思考的空間才能舉一反三,事半功倍.