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        非線性橢圓障礙問(wèn)題很弱解的全局可積性

        2021-01-07 01:23:48佟玉霞楊雅琦周艷霞
        應(yīng)用數(shù)學(xué) 2021年1期

        佟玉霞,楊雅琦,周艷霞

        (華北理工大學(xué)理學(xué)院,河北 唐山063210)

        1.引言

        設(shè)Ω ?Rn(n ≥2)是一個(gè)有界正則區(qū)域,1 <p <n,這里正則域指的是具有有限測(cè)度并使得下文Hodge分解(引理2.1)成立的區(qū)域.例如,Lipschitz域和A型區(qū)域是正則的.

        令ψ為Ω中任意取值于R ∪{-∞,+∞}的函數(shù),θ ∈W1,r(Ω).令

        其中函數(shù)ψ為障礙函數(shù),θ為邊值函數(shù).

        本文考慮非線性橢圓方程

        并且B(x,ξ)滿足

        現(xiàn)在介紹引理2.1中擾動(dòng)向量場(chǎng)的Hodge分解|?(v-u)|p-2?(v-u)∈Lr/(r-p+1)(Ω):

        定義1.1稱為(1.1)的-障礙問(wèn)題的很弱解,max{1,p-1}<r <p,如果

        上面定義中“很弱”的含義是指解u的可積指數(shù)r可以小于自然指數(shù)p,這不同于通常的經(jīng)典弱解Ω)的假設(shè).

        首先回顧很弱解的相關(guān)進(jìn)展.Iwaniec在文[1]中首次提出了很弱解的概念,對(duì)p-調(diào)和張量和弱擬正則映射,其弱導(dǎo)數(shù)的可積性低于自然指數(shù).此外,Iwaniec-Sbordone[2]和Iwaniec等[3]分別考慮了變分積分的弱極小和r充分接近p時(shí)的弱p-調(diào)和型方程的正則性; 通過(guò)對(duì)擾動(dòng)向量場(chǎng)的Hodge分解的方法,得到了變分積分的弱極小和弱p-調(diào)和方程的很弱解實(shí)際上是經(jīng)典意義下的弱解.另一方面,與Iwaniec使用的方法不同的是,Lewis[4]通過(guò)調(diào)和分析技術(shù)獲得了某些橢圓型方程很弱解的高階可積性.后來(lái),Lewis的調(diào)和分析技術(shù)又?jǐn)U展到p-拉普拉斯算子[5-6]的拋物型方程組,以及各種非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)的橢圓和拋物型方程組[7-10].這從本質(zhì)上說(shuō)是使用了弱導(dǎo)數(shù)的逆Hlder不等式從而提高可積性來(lái)實(shí)現(xiàn)的[11].Greco等在文[12]中研究了非齊次p-調(diào)和方程

        獲得了算子H的估計(jì).鄭神州和方愛農(nóng)[13]研究了非線性橢圓方程組

        的很弱解,并且在擾動(dòng)向量場(chǎng)的Hodge 分解的基礎(chǔ)上,得到了其很弱解的微商具有自我提高的可積性.有關(guān)很弱解的更多結(jié)果,參見[1,4,12,14].

        本文研究的可積性問(wèn)題在非線性橢圓偏微分方程的正則性理論和相應(yīng)的障礙問(wèn)題中占有重要地位.在文[15]中,GAO等研究解決在某些合適的強(qiáng)制性條件和控制增長(zhǎng)條件下,一類各項(xiàng)異性橢圓方程

        令t >0,Ω ?Rn,弱Lt-空間或Marcinkiewicz空間[16]指的是包含所有滿足

        的可測(cè)函數(shù)f構(gòu)成的空間,其中正常數(shù)k = k(f),s >0,|E|是E的n維測(cè)度.記為弱Lt-空間或(Ω).注意到,對(duì)于某些t >1,|Ω| <∞,如果f ∈(Ω),則對(duì)于任意的1 ≤τ <t,有f ∈Lτ(Ω).

        本文主要結(jié)果如下.

        定理1.1設(shè)θ*= max{θ,ψ},θ*∈W1,q(Ω),q >r.假設(shè)算子A(x,?u)和B(x,?u)滿足結(jié)構(gòu)性條件(1.2)和(1.3).那么存在一個(gè)常數(shù)ε0= ε0(n,p,Λ1,Λ2,λ) >0,使得對(duì)于(1.1)的(Ω)-障礙問(wèn)題的任意很弱解u ∈θ+(Ω),max{1,p-1}<r <p <n,有

        本文證明受高紅亞和鄭神州等人的論文[13,16,19-20]的啟發(fā),因?yàn)槎x式(1.5)中很弱解不能做為容許函數(shù),因此通過(guò)Hodge分解構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)娜菰S函數(shù).也就是說(shuō),本文的關(guān)鍵是通過(guò)Hodge分解選擇一個(gè)合適的容許函數(shù)[2,13],然后根據(jù)Stampacchia引理[19]實(shí)現(xiàn)最終目標(biāo).需要說(shuō)明的是,文[21]也考慮了一類A-調(diào)和方程的障礙問(wèn)題的很弱解的全局可積性,但是其采用的方法主要是通過(guò)建立關(guān)于很弱解的梯度的弱逆Hlder不等式從而提高可積性來(lái)實(shí)現(xiàn)的.本文與其采用的方法是不同的.

        2.預(yù)備知識(shí)

        本節(jié)將介紹一些有用的引理.這些引理將在證明主要結(jié)論時(shí)起重要作用.用C(n,p,Λ1,···)表示僅依賴于規(guī)定數(shù)量的常數(shù),各行中的常數(shù)C可能有不同.

        首先,給出向量場(chǎng)的Hodge分解,見文[13]中的引理2.2.

        引理2.1設(shè)v ∈(Ω,Rm),max{1,p-1}<r <p.則一定存在和散度自由的矩陣場(chǎng)h ∈(Ω,Rn×m),使得

        并且有估計(jì)式

        其中C =C(n,p,Ω).

        下面一個(gè)有效的工具就是著名的Stampacchia引理,參見文[22]中的引理4.1.

        引理2.2令α,β為正常數(shù),遞減函數(shù)φ:[s0,+∞)→[0,+∞),滿足

        其中常數(shù)C >0,r >s ≥s0.于是

        (i) 若β >1,則φ(s0+d)=0,這里

        (ii) 若β =1,則當(dāng)s ≥s0時(shí),有

        (iii) 若β <1,則當(dāng)s ≥s0>0時(shí),有

        3.定理1.1的證明

        證令θ*=max{θ,ψ}.對(duì)于任意的L >0,令

        其中1{|u-θ*|>L}是集合E的特征函數(shù),即當(dāng)x ∈E時(shí),1E=1.否則1E=0.

        1) 顯然v ∈W1,r(Ω);

        因此(ψ-θ)+屬于因此θ*∈θ+于是在?Ω上θ*= max{θ,ψ} = θ = u,于是在?Ω上M =0,從而v ∈θ+(Ω);

        3) 第一種情況,當(dāng)u-θ*<-L時(shí),v = u-(u-θ*+L) = θ*-L >u ≥ψ; 第二種情況,有v =u ≥ψ; 第三種情況,v =u-(u-θ*-L)=θ*+L ≥θ*≥ψ.

        因此,有

        現(xiàn)在引入擾動(dòng)向量場(chǎng)|?(v-u)|p-2?(v-u) ∈Lr/(r-p+1)(E)的Hodge分解,如引理2.1所示.于是,

        上式左側(cè)利用(1.2),得到

        這表明

        使 用(1.2),(1.3),(3.7),(3.6),Hlder不等式,Young不等式 和Sobolev-Poincar′e不等式,I1,I2,I3可估計(jì)如下:

        這里ε >0足夠小.

        這里限制0 <p-r <ε0,其中ε0為待定常數(shù).

        并且

        將J1和J2的估計(jì)值放在一起,得到

        因此,結(jié)合(3.8),(3.9),(3.10)和(3.11),可得

        其中0 <p-r <ε0,取正常數(shù)ε,ε0足夠小,使得于是(3.12)右邊的第一項(xiàng)可以被左邊吸收,于是得到

        由于θ*∈W1,q(Ω),q >r,使用Hlder不等式可得

        于是

        于是有

        將K1,K2,K3,K4和K5的估計(jì)值代入(3.13),得到

        其中C =C(n,p,q,λ,Λ1,Λ2,δ,|Ω|).

        通過(guò)整理(3.19),(3.20),(3.21) 和E ={|u-θ*|>L},得到

        其中C*=C*(n,p,q,λ,Λ1,Λ2,δ,|Ω|).于是有

        情形(i) 如果1 ≤q <n,有β <1.在這種情況下,如果s ≥1,由引理2.2可以得到

        其中

        如果0 <s <1,有

        綜上,得到

        情形(ii) 如果q =n,有β =1.任意的1 ≤τ <∞,由(3.23)知

        綜上,根據(jù)Stampacchia引理得到u ∈θ*+Lτ(Ω).

        情形(iii) 如果q >n,有β >1.引理2.2意味著對(duì)某些

        有φ(d)=0.因此|{|u-θ*|>d}|=0,這里u-θ*≤d在Ω中幾乎處處成立.于是

        證明完畢.

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