佟玉霞，楊雅琦，周艷霞

(華北理工大學(xué)理學(xué)院，河北 唐山063210)

1.引言

設(shè)Ω ?Rn(n ≥2)是一個(gè)有界正則區(qū)域，1 ＜p ＜n，這里正則域指的是具有有限測(cè)度并使得下文Hodge分解(引理2.1)成立的區(qū)域.例如，Lipschitz域和A型區(qū)域是正則的.

令ψ為Ω中任意取值于R ∪{-∞，+∞}的函數(shù)，θ ∈W1，r(Ω).令

其中函數(shù)ψ為障礙函數(shù)，θ為邊值函數(shù).

本文考慮非線性橢圓方程

并且B(x，ξ)滿足

現(xiàn)在介紹引理2.1中擾動(dòng)向量場(chǎng)的Hodge分解|?(v-u)|p-2?(v-u)∈Lr/(r-p+1)(Ω):

定義1.1稱為(1.1)的-障礙問(wèn)題的很弱解，max{1，p-1}＜r ＜p，如果

上面定義中“很弱”的含義是指解u的可積指數(shù)r可以小于自然指數(shù)p，這不同于通常的經(jīng)典弱解Ω)的假設(shè).

首先回顧很弱解的相關(guān)進(jìn)展.Iwaniec在文[1]中首次提出了很弱解的概念，對(duì)p-調(diào)和張量和弱擬正則映射，其弱導(dǎo)數(shù)的可積性低于自然指數(shù).此外，Iwaniec-Sbordone[2]和Iwaniec等[3]分別考慮了變分積分的弱極小和r充分接近p時(shí)的弱p-調(diào)和型方程的正則性; 通過(guò)對(duì)擾動(dòng)向量場(chǎng)的Hodge分解的方法，得到了變分積分的弱極小和弱p-調(diào)和方程的很弱解實(shí)際上是經(jīng)典意義下的弱解.另一方面，與Iwaniec使用的方法不同的是，Lewis[4]通過(guò)調(diào)和分析技術(shù)獲得了某些橢圓型方程很弱解的高階可積性.后來(lái)，Lewis的調(diào)和分析技術(shù)又?jǐn)U展到p-拉普拉斯算子[5-6]的拋物型方程組，以及各種非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)的橢圓和拋物型方程組[7-10].這從本質(zhì)上說(shuō)是使用了弱導(dǎo)數(shù)的逆Hlder不等式從而提高可積性來(lái)實(shí)現(xiàn)的[11].Greco等在文[12]中研究了非齊次p-調(diào)和方程

獲得了算子H的估計(jì).鄭神州和方愛農(nóng)[13]研究了非線性橢圓方程組

的很弱解，并且在擾動(dòng)向量場(chǎng)的Hodge 分解的基礎(chǔ)上，得到了其很弱解的微商具有自我提高的可積性.有關(guān)很弱解的更多結(jié)果，參見[1，4，12，14].

本文研究的可積性問(wèn)題在非線性橢圓偏微分方程的正則性理論和相應(yīng)的障礙問(wèn)題中占有重要地位.在文[15]中，GAO等研究解決在某些合適的強(qiáng)制性條件和控制增長(zhǎng)條件下，一類各項(xiàng)異性橢圓方程

令t ＞0，Ω ?Rn，弱Lt-空間或Marcinkiewicz空間[16]指的是包含所有滿足

的可測(cè)函數(shù)f構(gòu)成的空間，其中正常數(shù)k = k(f)，s ＞0，|E|是E的n維測(cè)度.記為弱Lt-空間或(Ω).注意到，對(duì)于某些t ＞1，|Ω| ＜∞，如果f ∈(Ω)，則對(duì)于任意的1 ≤τ ＜t，有f ∈Lτ(Ω).

本文主要結(jié)果如下.

定理1.1設(shè)θ*= max{θ，ψ}，θ*∈W1，q(Ω)，q ＞r.假設(shè)算子A(x，?u)和B(x，?u)滿足結(jié)構(gòu)性條件(1.2)和(1.3).那么存在一個(gè)常數(shù)ε0= ε0(n，p，Λ1，Λ2，λ) ＞0，使得對(duì)于(1.1)的(Ω)-障礙問(wèn)題的任意很弱解u ∈θ+(Ω)，max{1，p-1}＜r ＜p ＜n，有

本文證明受高紅亞和鄭神州等人的論文[13，16，19-20]的啟發(fā)，因?yàn)槎x式(1.5)中很弱解不能做為容許函數(shù)，因此通過(guò)Hodge分解構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)娜菰S函數(shù).也就是說(shuō)，本文的關(guān)鍵是通過(guò)Hodge分解選擇一個(gè)合適的容許函數(shù)[2，13]，然后根據(jù)Stampacchia引理[19]實(shí)現(xiàn)最終目標(biāo).需要說(shuō)明的是，文[21]也考慮了一類A-調(diào)和方程的障礙問(wèn)題的很弱解的全局可積性，但是其采用的方法主要是通過(guò)建立關(guān)于很弱解的梯度的弱逆Hlder不等式從而提高可積性來(lái)實(shí)現(xiàn)的.本文與其采用的方法是不同的.

2.預(yù)備知識(shí)

本節(jié)將介紹一些有用的引理.這些引理將在證明主要結(jié)論時(shí)起重要作用.用C(n，p，Λ1，···)表示僅依賴于規(guī)定數(shù)量的常數(shù)，各行中的常數(shù)C可能有不同.

首先，給出向量場(chǎng)的Hodge分解，見文[13]中的引理2.2.

引理2.1設(shè)v ∈(Ω，Rm)，max{1，p-1}＜r ＜p.則一定存在和散度自由的矩陣場(chǎng)h ∈(Ω，Rn×m)，使得

并且有估計(jì)式

其中C =C(n，p，Ω).

下面一個(gè)有效的工具就是著名的Stampacchia引理，參見文[22]中的引理4.1.

引理2.2令α，β為正常數(shù)，遞減函數(shù)φ:[s0，+∞)→[0，+∞)，滿足

其中常數(shù)C ＞0，r ＞s ≥s0.于是

(i) 若β ＞1，則φ(s0+d)=0，這里

(ii) 若β =1，則當(dāng)s ≥s0時(shí)，有

(iii) 若β ＜1，則當(dāng)s ≥s0＞0時(shí)，有

3.定理1.1的證明

證令θ*=max{θ，ψ}.對(duì)于任意的L ＞0，令

其中1{|u-θ*|＞L}是集合E的特征函數(shù)，即當(dāng)x ∈E時(shí)，1E=1.否則1E=0.

令

1) 顯然v ∈W1，r(Ω);

因此(ψ-θ)+屬于因此θ*∈θ+于是在?Ω上θ*= max{θ，ψ} = θ = u，于是在?Ω上M =0，從而v ∈θ+(Ω);

3) 第一種情況，當(dāng)u-θ*＜-L時(shí)，v = u-(u-θ*+L) = θ*-L ＞u ≥ψ; 第二種情況，有v =u ≥ψ; 第三種情況，v =u-(u-θ*-L)=θ*+L ≥θ*≥ψ.

因此，有

現(xiàn)在引入擾動(dòng)向量場(chǎng)|?(v-u)|p-2?(v-u) ∈Lr/(r-p+1)(E)的Hodge分解，如引理2.1所示.于是，

且

上式左側(cè)利用(1.2)，得到

這表明

使 用(1.2)，(1.3)，(3.7)，(3.6)，Hlder不等式，Young不等式 和Sobolev-Poincar′e不等式，I1，I2，I3可估計(jì)如下:

這里ε ＞0足夠小.

這里限制0 ＜p-r ＜ε0，其中ε0為待定常數(shù).

并且

將J1和J2的估計(jì)值放在一起，得到

因此，結(jié)合(3.8)，(3.9)，(3.10)和(3.11)，可得

其中0 ＜p-r ＜ε0，取正常數(shù)ε，ε0足夠小，使得于是(3.12)右邊的第一項(xiàng)可以被左邊吸收，于是得到

由于θ*∈W1，q(Ω)，q ＞r，使用Hlder不等式可得

和

于是

和

于是有

將K1，K2，K3，K4和K5的估計(jì)值代入(3.13)，得到

其中C =C(n，p，q，λ，Λ1，Λ2，δ，|Ω|).

通過(guò)整理(3.19)，(3.20)，(3.21) 和E ={|u-θ*|＞L}，得到

其中C*=C*(n，p，q，λ，Λ1，Λ2，δ，|Ω|).于是有

情形(i) 如果1 ≤q ＜n，有β ＜1.在這種情況下，如果s ≥1，由引理2.2可以得到

其中

如果0 ＜s ＜1，有

綜上，得到

情形(ii) 如果q =n，有β =1.任意的1 ≤τ ＜∞，由(3.23)知

綜上，根據(jù)Stampacchia引理得到u ∈θ*+Lτ(Ω).

情形(iii) 如果q ＞n，有β ＞1.引理2.2意味著對(duì)某些

有φ(d)=0.因此|{|u-θ*|＞d}|=0，這里u-θ*≤d在Ω中幾乎處處成立.于是

證明完畢.