江璐瑤，鄧 雪

（華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510640）

0 引言

1952年，Markowitz的《Portfolio Selection》［1］一文的發(fā)表，標(biāo)志著證券投資組合理論（也稱投資分散理論）的產(chǎn)生，它主要是研究人們?cè)陬A(yù)期收入受到多種不確定因素影響的情況下，如何進(jìn)行分散化投資來(lái)規(guī)避投資中的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)投資收益的最大化。半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，人們?cè)贛arkowitz研究的基礎(chǔ)上不斷進(jìn)行深入探索，使得這一理論的發(fā)展日益趨于完善。證券投資組合理論主要有以下幾家主流觀點(diǎn)：Markowitz的“均值-方差”投資組合理論［1］，Sharp的“資本資產(chǎn)定價(jià)”投資組合理論；Jansen的“非常規(guī)收益率”投資組合理論和Ross的“套利定價(jià)”投資組合理論等等。

隨著學(xué)者們深入的研究，大量有關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)的成果［2，3］被應(yīng)用到投資組合研究中。其中，經(jīng)典的均值-方差模型是采用組合收益的方差來(lái)度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，用收益的均值表示投資者的期望效益，通過(guò)約束收益均值下極小化收益方差，或約束收益方差下極大化收益均值來(lái)選擇最優(yōu)投資組合，最終得到最優(yōu)投資權(quán)重系數(shù)。但由于這種經(jīng)典的均值-方差模型要依賴于收益率方差的存在，以及求解需要進(jìn)行方差、協(xié)方差矩陣等復(fù)雜計(jì)算。因此，本文提出用均值-熵原理構(gòu)建證券投資組合模型。同時(shí)為了構(gòu)建的投資組合模型更加的貼合經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)，我們還引入了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，其中Consigli［4］對(duì)含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的均值-方差投資組合模型也進(jìn)行了一定的研究。

熵的度量在信息理論中起著極其重要的作用，是度量隨機(jī)事件取值的不確定性程度，其應(yīng)用范圍也逐漸擴(kuò)展到各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中。在信息論中，熵的測(cè)度是指對(duì)具有多個(gè)結(jié)果的離散隨機(jī)變量取值的不確定性程度的度量，其中我們知道不確定性會(huì)隨著熵值的增大而增大，同時(shí)掌握的信息也會(huì)增多，反之亦然。因此，熵作為一種新的風(fēng)險(xiǎn)度量工具開始廣泛應(yīng)用到金融等領(lǐng)域中，且通過(guò)與其他風(fēng)險(xiǎn)度量工具的比較，發(fā)現(xiàn)熵能夠更加全面而準(zhǔn)確的反映事件的不確定性信息。一方面，考慮到方差度量風(fēng)險(xiǎn)的局限性，曹靜［5］基于熵的概念，在研究均值-方差模型的基礎(chǔ)上，提出用最大熵原理建立證券投資組合模型；李華等［6］建立了幾種關(guān)于熵的證券投資組合優(yōu)化模型。隨著對(duì)熵進(jìn)一步的探討，有關(guān)的學(xué)術(shù)成果也越來(lái)越多，諸如文獻(xiàn)［7～9］；Aksarayl［10］研究了一種基于均值-方差-偏度的多項(xiàng)式目標(biāo)規(guī)劃新方法，并提出了峰度熵模型。Jadhao［11］研究了熵在投資組合輪換策略中的應(yīng)用。Brandtner［12］對(duì)最佳投資組合選擇進(jìn)行決策理論分析，特別是對(duì)比分析兩種熵風(fēng)險(xiǎn)度量下的靜態(tài)熵，相關(guān)熵風(fēng)險(xiǎn)度量（CERM）和C-均值凸熵風(fēng)險(xiǎn)度量（ERM）。Mehlawat［13］研究了基于均值-熵的多期投資組合模型。另一方面，在以往多數(shù)文獻(xiàn)中，研究者往往假設(shè)收益率服從正態(tài)分布，用簡(jiǎn)單平均法計(jì)算的收益率均值衡量期望，但是在實(shí)際市場(chǎng)中，往往沒(méi)有這么好的假設(shè)，導(dǎo)致用收益率均值衡量期望有一定的缺陷。李江濤等［14］提出用收益權(quán)重θt計(jì)算期望收益率，且基于熵的概念和國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的情況，建立了幾種關(guān)于熵的證券投資組合優(yōu)化模型。但是目前為止，缺少對(duì)這個(gè)模型合理性的驗(yàn)證和進(jìn)一步的討論比較，受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，我們不僅引入θt和熵建立均值-熵模型，也通過(guò)實(shí)證分析討論θt的合理性，熵方法和方差法的一致性，并通過(guò)與均值-方差模型作比較，進(jìn)一步研究均值-熵模型。同時(shí)結(jié)合國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的情況，分別考慮了含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和不含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券下的均值-熵投資組合問(wèn)題。

1 基于收益權(quán)重的均值-熵模型

1.1 不含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的均值-熵模型

設(shè)有n種證券，且不含有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券。其中令θt代表在第t個(gè)時(shí)間段的收益占T個(gè)時(shí)間段總收益的比重，rit記為第i種證券對(duì)應(yīng)于第t個(gè)時(shí)間段的收益率記為第i種證券的期望收益率，xi記為第i種證券的投資比例，Rt記為投資第t個(gè)階段的收益記為投資的總平均收益，pt記為第t個(gè)時(shí)間段證券收益的概率，那么的表達(dá)式為：

相應(yīng)地，基于收益權(quán)重θt的均值-方差模型如（10）：

1.2 含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的均值-熵模型

在均值-熵模型（9）的基礎(chǔ)上，引入1種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，記這種證券為第n+1種，且固定收益率為rf，相應(yīng)的投資比例記為xn+1，則均值-熵模型如（11）：

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)的收集和處理

本文針對(duì)深證A股，考慮股票的規(guī)模、流動(dòng)性、收益率等因素，從中選出5只股票作為研究樣本，這5只股票分別為世紀(jì)華通（002602） 、同花順（30033）、二三四五（002195） 、大富科技（300134） 、雷曼股份（300162） 。研究時(shí)限選取為2014年1月1日到2014年12月31日，收集的數(shù)據(jù)是這5只股票在研究時(shí)限內(nèi)的月收益率，我們可以根據(jù)這5只股票的收盤價(jià)數(shù)據(jù)分析來(lái)推斷收益率未來(lái)的收益趨勢(shì)，其中股票的收益率定義為：rit＝（pi，t-pi，t-1）／pi，t-1，其中Pi，t為第i種證券t時(shí)間的收盤價(jià)。

2.2 引入θt的合理性討論

為了檢驗(yàn)θt的合理性，我們建立均值-方差模型（10），其中利用收益權(quán)重θt來(lái)計(jì)算證券的收益率均值和相應(yīng)的方差，通過(guò)賦予收益水平r不同的值，求出8種最優(yōu)投資組合，其結(jié)果如表1。

表1 均值-方差模型（10）的投資權(quán)重系數(shù)

根據(jù)表1，畫出均值-方差模型（10）的有效邊界，如圖1所示：

圖1 均值-方差模型（10）的有效邊界

從圖1中，我們可以看出隨著收益水平的增加（減少），方差也隨之相應(yīng)的增加（減少），而且均值-方差模型（10）的有效邊界圖形的形狀是一條較好的拋物線，這與經(jīng)典的用簡(jiǎn)單平均法計(jì)算證券收益率均值時(shí)的有效邊界的圖形形狀和走勢(shì)完全一致，這說(shuō)明引入θt計(jì)算證券的收益率均值具有合理性。

2.3 風(fēng)險(xiǎn)度量的熵方法和方差法的一致性比較

在均值-方差模型（10）中，我們得到了8種最優(yōu)投資組合方案，以及每個(gè)收益水平所對(duì)應(yīng)的方差。我們把表1中每種最優(yōu)投資組合權(quán)重系數(shù)代入到均值-熵模型（9）中熵的計(jì)算公式中，得到如表2所示的數(shù)據(jù)：

表2 均值-熵模型（9）和均值-方差模型（10）方法的一致性比較

根據(jù)并在同一個(gè)圖中做出熵和方差分別關(guān)于收益水平的變化趨勢(shì)：

圖2 均值-熵模型（9）和均值方差模型（10）方法的一致性比較

從圖2中，我們可以看出熵的變化趨勢(shì)和方差的變化趨勢(shì)基本一致，隨著收益水平的增加（減少），熵和方差也隨之相應(yīng)的增加（減少），而且均值-熵曲線和均值-方差曲線基本上是一種平行的關(guān)系，這說(shuō)明在度量風(fēng)險(xiǎn)方面，熵方法和方差法具有一致性。但是均值-方差模型要依賴于收益率方差的存在，且收益率服從正態(tài)分布等假設(shè)條件，以及求解需要進(jìn)行方差、協(xié)方差矩陣等復(fù)雜計(jì)算，而熵不受上述假設(shè)條件的約束，僅僅與收益率的分布概率有關(guān)，因此均值-熵模型在實(shí)際應(yīng)用中能更好的刻畫風(fēng)險(xiǎn)的特征。

2.4 基于收益權(quán)重的均值-熵投資組合問(wèn)題

2.4.1 不含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的均值-熵投資組合問(wèn)題

根據(jù)θt的定義，計(jì)算出θt的值，并把它代入到均值-熵模型（9）中。再利用Matlab軟件，賦予收益水平r不同的值，求出相應(yīng)的最優(yōu)投資組合和熵值，其具體結(jié)果如表3。

表3 均值-熵模型（9）的收益和熵

2.4.2 含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的均值-熵投資組合問(wèn)題

引入一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，其月收益率rf為0.00385，把θt和0.00385代入到均值-熵模型（11）中。同樣利用Matlab軟件，改變收益水平r的值，求出相應(yīng)的最優(yōu)投資組合和熵值，其具體結(jié)果如表4。

表4 均值-熵模型（11）的收益和熵

根據(jù)表3和表4，我們可以發(fā)現(xiàn)在相等的收益水平r下，引入了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的均值-熵模型的熵值更小。

2.5 模型的分析比較

均值-方差模型是金融經(jīng)濟(jì)中廣泛應(yīng)用的一種模型，而均值-熵模型是以熵來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，且熵不依賴于收益率的分布，僅僅與收益率分布的概率有關(guān)，從這方面來(lái)看熵度量風(fēng)險(xiǎn)更好。因此接下來(lái)我們從分散風(fēng)險(xiǎn)的能力來(lái)比較分析這兩個(gè)模型，又因?yàn)榭紤]到要與均值-方差模型投資股票的種類保持一致，因此選擇不含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的均值-熵模型和均值-方差模型，同時(shí)改變收益水平r，得到在不同的收益水平r下最優(yōu)投資組合方案，兩模型的比較結(jié)果如表5。

表5 均值-熵模型（9）和均值-方差模型（10）的投資組合權(quán)重比較

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)分散和投資組合原理以及對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的調(diào)查研究得出的經(jīng)驗(yàn)法則可知，組合對(duì)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)有著一定的分散作用。從表5中，我們可以發(fā)現(xiàn)均值-熵模型的投資組合方案更加的分散，例如當(dāng)收益水平r＝0.26時(shí)，均值-熵模型的投資組合方案對(duì)5種股票的投資比例都大于零，其中股票002195的投資比例為0.2059，而均值-方差模型對(duì)股票002195的投資比例為0。因此在相同的收益水平r下，均值-熵模型能更好的分散非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。

3 結(jié)論

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，投資組合越來(lái)越成為人們生活中一個(gè)熱門的話題。投資組合通過(guò)分散化的投資來(lái)沖掉一部分的風(fēng)險(xiǎn)，因此深入投資組合理論的研究有利于投資者進(jìn)行理智的投資。

本文通過(guò)對(duì)深圳A股進(jìn)行篩選，從中選取5只股票進(jìn)行實(shí)證分析。為了討論θt的合理性，我們建立了均值-方差模型，發(fā)現(xiàn)均值-方差模型的有效邊界仍符合同增同減性質(zhì)，并且其圖形是一條較好的拋物線，與用簡(jiǎn)單平均法計(jì)算收益率均值時(shí)的有效邊界的圖形形狀和走勢(shì)完全一致。我們還討論了熵方法和方差法的一致性，發(fā)現(xiàn)在引入收益權(quán)重θt計(jì)算收益率均值時(shí)股票風(fēng)險(xiǎn)度量的熵方法和方差法具有一致性，但是由于均值-方差模型要依賴于收益率方差的存在，且收益率服從正態(tài)分布等假設(shè)條件，以及求解需要進(jìn)行方差、協(xié)方差矩陣等復(fù)雜計(jì)算，因此從這個(gè)意義上講，熵能夠更好的刻畫風(fēng)險(xiǎn)的特征。最后通過(guò)比較分析不含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的均值-熵模型和均值-方差模型，我們發(fā)現(xiàn)在相等收益水平r下，熵方法能夠更好的分散投資風(fēng)險(xiǎn)。