楊釗 喬春生 陳松

*(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京100044)?

(河北地質(zhì)大學(xué)城市地質(zhì)與工程學(xué)院，石家莊050031)

近幾十年來，錨桿支護(hù)在鐵路、水利、建筑工程等領(lǐng)域得到廣泛運(yùn)用。全長(zhǎng)黏結(jié)錨桿作為錨桿支護(hù)的一種類型，在巖土工程中得到廣泛運(yùn)用[1-3]，研究錨桿界面處剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系對(duì)錨桿的受力的解析計(jì)算和數(shù)值方法計(jì)算具有重要意義[4-6]。目前，常見的全長(zhǎng)黏結(jié)錨桿根據(jù)材料類型可以分為鋼筋錨桿和纖維增強(qiáng)塑料(fiber reinforced plastic，F(xiàn)RP)筋錨桿。在拉拔試驗(yàn)中，由于錨桿和漿液的界面層出現(xiàn)破壞，導(dǎo)致錨桿漿液界面的剪應(yīng)力和位移關(guān)系發(fā)生變化。針對(duì)鋼筋錨桿錨漿界面的剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系，Benmokrane等[7]提出了鋼筋錨桿的三折線的剪應(yīng)力和剪切位移模型，受到許多學(xué)者的認(rèn)可；王保田等[8]使用描述彈脆性巖石的子鏈單元模型，考慮錨桿界面的殘余強(qiáng)度，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)損傷理論，推導(dǎo)出鋼筋錨桿的剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系，并通過載荷傳遞法進(jìn)行了受力計(jì)算。FRP筋錨桿由于材料性質(zhì)和鋼筋有一定區(qū)別，因此描述鋼筋錨桿的方法適用性不強(qiáng)，對(duì)此許多學(xué)者針對(duì)FRP筋錨桿的剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系做了一些工作。文獻(xiàn)[9-12]均對(duì)FRP筋錨桿錨漿界面的剪應(yīng)力和位移關(guān)系進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)FRP筋錨桿界面的剪應(yīng)力剪切位移關(guān)系呈現(xiàn)較強(qiáng)非線性，剪切剛度不為常數(shù)。通過對(duì)文獻(xiàn)[9]中多組試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，一些試件中的剪應(yīng)力隨著位移增大而發(fā)生軟化的程度并不明顯，并且在位移幾乎為零的初始階段，由于錨漿界面的黏結(jié)強(qiáng)度很大導(dǎo)致界面剪切剛度極大[11]，甚至接近無窮，故在此位移很小的階段已經(jīng)產(chǎn)生了一定的剪應(yīng)力。隨著錨漿界面發(fā)生較為明顯的剪切位移，其界面剪切剛度也伴隨剪切位移發(fā)生變化。

界面剪切剛度是體現(xiàn)錨漿界面力學(xué)性能的重要力學(xué)指標(biāo)，界面剛度劣化說明錨漿界面發(fā)生損傷，結(jié)合損傷力學(xué)分析FRP筋錨桿界面剪切剛度的變化規(guī)律對(duì)準(zhǔn)確計(jì)算不同剪切位移下的界面剪應(yīng)力具有重要意義，目前針對(duì)這一問題的研究甚少。鑒于此，本文參考文獻(xiàn)[9]中的FRP筋室內(nèi)拉拔試驗(yàn)中的界面剪應(yīng)力和剪切位移的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)界面剪切剛度劣化的規(guī)律，從不同角度出發(fā)，結(jié)合損傷理論，使用Weibull和冪函數(shù)[13]概率分布，采用與彈脆性子鏈單元模型不同的應(yīng)變等效假設(shè)，分析FRP筋錨桿錨漿界面的剪切剛度劣化規(guī)律以及剪應(yīng)力與剪切位移關(guān)系，確定FRP筋錨桿錨漿界面剪切剛度劣化的函數(shù)規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行錨桿的傳力

分析。

1 FRP筋錨桿拉拔過程中剪切剛度變化規(guī)律

參照文獻(xiàn)[9]所使用的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，F(xiàn)RP筋錨桿在錨桿拉拔試驗(yàn)中的剪應(yīng)力和位移關(guān)系曲線具有很強(qiáng)的非線性。為了對(duì)其非線性特性進(jìn)行分析，定義錨桿和漿液界面的剪切剛度為

式中，ui為某一界面剪應(yīng)力下對(duì)應(yīng)的剪切位移，τi為某一位移下的FRP筋錨桿漿液界面的剪應(yīng)力，τo為位移幾乎為零時(shí)的剪應(yīng)力，是由錨漿界面黏結(jié)現(xiàn)象產(chǎn)生的[11]，因?yàn)榇藭r(shí)界面剛度很大，所以產(chǎn)生的剪切位移極小，為了簡(jiǎn)化分析，認(rèn)為此時(shí)的位移為零。若是錨漿界面沒有明顯的黏結(jié)現(xiàn)象，τo可能為零。

按照式(1)計(jì)算錨漿界面剪切剛度，可得各個(gè)試件的剪切剛度變化規(guī)律，如圖1所示。

圖1 各個(gè)試件剪切剛度變化規(guī)律

由圖1可知，錨桿在拉拔作用下出現(xiàn)位移后，錨漿界面的剪切剛度呈現(xiàn)隨著剪切位移的增大而降低的趨勢(shì)。為了研究剪切剛度和剪切位移的關(guān)系，通過觀察曲線形態(tài)，采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合，定義擬合表達(dá)式為

按照式(2)對(duì)各個(gè)試件的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如表1所示。

由表1可以看出，六個(gè)試件的指數(shù)函數(shù)擬合優(yōu)度R平方接近1，擬合效果好，表明隨著位移的增大，F(xiàn)RP筋錨桿的界面剪切剛度呈指數(shù)形式降低。界面剪切剛度是錨桿錨漿界面力學(xué)性能的綜合體現(xiàn)，反映了FRP筋錨桿與漿液界面在拉拔作用下逐漸發(fā)生破壞的過程。

表1 試件試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

2 損傷理論在FRP筋錨桿剪應(yīng)力和位移關(guān)系中的應(yīng)用

錨漿界面剪切剛度隨著拉拔產(chǎn)生的位移而降低，反映出錨漿界面在拉拔作用下缺陷構(gòu)造產(chǎn)生和發(fā)展的過程，可以通過損傷力學(xué)來描述這一漸進(jìn)破壞的過程。剪切剛度的大小是衡量FRP筋錨桿錨漿界面性能的重要指標(biāo)，其隨剪切位移的增大而降低，說明錨漿界面力學(xué)性能發(fā)生劣化，故定義損傷變量為

式中，K為第二數(shù)據(jù)點(diǎn)到第一數(shù)據(jù)點(diǎn)的初始剪切剛度。

將式(2)代入式(3)可得損傷演化方程

由Lemarite應(yīng)變等效假定[14-15]可得，錨漿界面發(fā)生損傷后，錨漿界面的剪應(yīng)力和位移關(guān)系為

考慮幾乎未產(chǎn)生位移時(shí)的“黏結(jié)強(qiáng)度”，將式(4)代入式(5)后平移τo，可得FRP筋錨桿錨漿界面的剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系表達(dá)式

若從錨漿界面微裂紋微元強(qiáng)度的角度出發(fā)，錨漿界面發(fā)生的損傷為破壞的微裂紋個(gè)數(shù)和總的微裂紋個(gè)數(shù)的比值。采用位移作為衡量強(qiáng)度的指標(biāo)，假定錨漿界面的隨機(jī)微裂紋強(qiáng)度服從Weibull和冪函數(shù)[13]概率分布，概率密度函數(shù)的表達(dá)式為

式中，m和uo為擬合參數(shù)。

損傷變量的表達(dá)式為

將式(7)代入式(8)可得

同理可得兩種FRP筋錨桿錨漿界面的剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系表達(dá)式

3 基于載荷傳遞法的錨桿傳力分析

在錨桿微段上，假定微段上的界面剪應(yīng)力均勻分布，通過錨桿微段受力平衡可得[16]

式中，d為錨桿直徑；P(x)為某一桿長(zhǎng)截面處的軸力，滿足

式中，E為錨桿的彈性模量。

某一桿長(zhǎng)處的應(yīng)變滿足

式中，u(x)為不同桿長(zhǎng)處的剪切位移。

聯(lián)立式(11)～式(13)，并將式(6)和式(10)代入可得三種模型受力平衡方程

聯(lián)立式(12)和式(13)可得軸力沿桿長(zhǎng)分布的關(guān)系式

邊界條件為式中，l為錨桿長(zhǎng)度，P(x=0)為所施加的拉拔力大小。

同理可得三種模型剪應(yīng)力隨桿長(zhǎng)的分布

同理可得三種模型損傷沿桿長(zhǎng)的分布為

4 算例分析

4.1 錨桿錨漿界面損傷剪切滑移曲線

為進(jìn)一步驗(yàn)證FRP筋錨桿錨漿界面剪切剛度呈指數(shù)衰減的合理性，采用上述所建立的三種FRP筋錨桿錨漿界面剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系計(jì)算方法對(duì)錨漿界面的剪應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，擬合參數(shù)如表2所示，與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖2所示。

由圖2可知，基于Weibull概率分布和剪切剛度指數(shù)形式劣化所計(jì)算的錨漿界面剪應(yīng)力與試驗(yàn)數(shù)據(jù)較為吻合，冪函數(shù)概率分布所計(jì)算出的剪應(yīng)力與試驗(yàn)數(shù)據(jù)差距較大，說明錨漿界面的隨機(jī)微裂紋更好地服從Weibull分布。Weibull概率分布函數(shù)為指數(shù)函數(shù)形式，跟前文中對(duì)FRP筋錨桿錨漿界面的剪切剛度擬合方程形式非常接近，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)較為吻合。通過Weibull概率分布剪應(yīng)力和剪切位移模型可以再一次證明錨漿界面的剪切剛度呈指數(shù)形式衰減。

4.2 錨桿傳力算例分析

使用試件三剪應(yīng)力-位移數(shù)據(jù)的擬合參數(shù)，取錨桿直徑為30 mm，F(xiàn)RP筋彈性模量為60 GPa，錨桿長(zhǎng)度為500 mm。考慮到式(6)相對(duì)簡(jiǎn)單且擬合效果較好，故對(duì)式(14)中的第一分式進(jìn)行分離變量

式中，c1為待求參數(shù)。

由式(16)可知，在錨桿錨固端的位移ux=l=ul為一常數(shù)，需要確定該常數(shù)才能進(jìn)行進(jìn)一步求解。先將式(16)中錨固端處的邊界條件代入式(19)，可求得c1為

聯(lián)合式(19)和式(20)有

表2 擬合參數(shù)表

圖2 各試件擬合參數(shù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比

將式(21)代入式(15)有

參考文獻(xiàn)[16]中求解微分方程的方法，根據(jù)得出結(jié)果繪制載荷-位移曲線、軸力沿桿長(zhǎng)分布、剪應(yīng)力沿桿長(zhǎng)分布、損傷沿桿長(zhǎng)分布曲線，如圖3～圖6 所示。

由圖3可知，本文計(jì)算所得載荷-位移曲線形式和文獻(xiàn)[16]對(duì)于鋼筋錨桿所計(jì)算結(jié)果有一定相似性。在未達(dá)到峰值之前，載荷-位移曲線呈曲線上升趨勢(shì)，與文獻(xiàn)[16]計(jì)算結(jié)果趨勢(shì)一致；在達(dá)到曲線峰值之后，即錨桿位移達(dá)到一定值后，桿體突然被拔出，拉拔載荷降低，曲線呈突然下降趨勢(shì)。該趨勢(shì)和文獻(xiàn)[16]所計(jì)算載荷-位移曲線趨勢(shì)一致，區(qū)別是曲線下降幅度相對(duì)降低。這是因?yàn)镕RP筋錨桿界面剪應(yīng)力-位移關(guān)系和鋼筋的剪應(yīng)力應(yīng)變有一定區(qū)別。FRP筋錨桿界面剪應(yīng)力峰值后隨著位移的增大跌落較少，沒有出現(xiàn)非常明顯的“殘余強(qiáng)度”?？紤]到錨桿軸力和界面剪應(yīng)力呈現(xiàn)平衡關(guān)系，因此此時(shí)的端頭軸力(載荷)會(huì)相對(duì)下降較少。除此之外，在較低載荷情況下，錨桿端頭幾乎不會(huì)出現(xiàn)位移，因?yàn)殄^桿界面在位移極小時(shí)界面強(qiáng)度較大。

圖3 載荷-位移曲線

圖4 錨桿軸力沿桿長(zhǎng)分布曲線

圖5 錨桿剪應(yīng)力沿桿長(zhǎng)分布

圖6 錨桿界面損傷值沿桿長(zhǎng)分布

由圖4可知，軸力隨著在錨桿長(zhǎng)度方向上逐漸衰減，與文獻(xiàn)[16]中鋼筋錨桿的軸力變化趨勢(shì)一致。錨桿端頭的軸力越大，沿桿長(zhǎng)分布的錨桿軸力整體也就越大。這是因?yàn)樵谳^大端頭的拉拔力下，錨桿界面損傷越嚴(yán)重，錨桿桿體產(chǎn)生的應(yīng)變?cè)酱?。由圖5(a)～圖5 (c)可知，在錨桿桿端位移較小時(shí)，剪應(yīng)力沿著桿長(zhǎng)降低；在錨桿桿端位移到達(dá)一定值后，在桿中間部位出現(xiàn)剪應(yīng)力峰值點(diǎn)，并隨著桿端位移增加，峰值點(diǎn)向錨桿錨固段移動(dòng)。由圖6(a)～圖6 (c)可知，在桿端位移較小時(shí)，桿端附近會(huì)發(fā)生較大的損傷，錨固端附近損傷較小。隨著桿端位移的增大，錨固端附近的損傷增大，當(dāng)位移達(dá)到一定程度時(shí)，桿端和錨固端處都接近完全損傷，此時(shí)錨桿界面已經(jīng)基本破壞，界面剪應(yīng)力要低于峰值。

5 結(jié)論

(1)本文通過對(duì)六組FRP筋室內(nèi)拉拔試驗(yàn)數(shù)據(jù)的界面剪切剛度進(jìn)行擬合，得出FRP筋錨桿漿液界面的剪切剛度隨著剪切位移的增加呈指數(shù)衰減。

(2)基于擬合得出的剪切剛度與位移關(guān)系，用剪切剛度劣化定義損傷變量，推導(dǎo)FRP筋錨桿錨漿界面剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系的損傷力學(xué)模型。計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)較為接近，表明剪切剛度衰減的規(guī)律合理。

(3)從統(tǒng)計(jì)損傷理論角度，推導(dǎo)FRP筋錨桿錨漿界面剪應(yīng)力和剪切位移關(guān)系的統(tǒng)計(jì)損傷力學(xué)模型。Weibull分布模型所得結(jié)果擬合良好，冪函數(shù)分布模型擬合結(jié)果較差，說明錨漿界面的微元強(qiáng)度接近Weibull分布，也說明了界面剪切剛度變化規(guī)律的合理性。

(4)將所提出FRP筋錨漿界面剪應(yīng)力-位移關(guān)系代入錨桿的載荷傳遞微分方程進(jìn)行FRP筋錨桿傳力過程的分析。由于界面剪應(yīng)力-位移關(guān)系有初始的“黏結(jié)強(qiáng)度”以及過峰值后強(qiáng)度降低較小特點(diǎn)，因此在較小拉拔載荷小下產(chǎn)生位移極小，并且載荷-位移曲線下降段跌落幅度較低。