沈瑞超， 郗欣甫， 孫以澤

(東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 上海 201620)

絲網(wǎng)印刷的原理是在刮板的作用下，油墨從絲網(wǎng)版中漏印至承印物上，形成圖文部分；由于原稿空白部分在絲網(wǎng)版上的網(wǎng)孔被堵塞，油墨無法漏印，從而完成印刷[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，絲網(wǎng)印刷技術(shù)得到了快速的發(fā)展，絲網(wǎng)印花設(shè)備的自動化程度也越來越高[2]。而三維增材印花機(jī)主要應(yīng)用在高端運(yùn)動鞋面的生產(chǎn)上，鞋面印花的特點(diǎn)是鞋面形體復(fù)雜多變，油墨厚度較厚。普通圓網(wǎng)、平網(wǎng)印花的油墨厚度為0.1 mm以下，而鞋面印花的油墨厚度可達(dá)到0.8 mm以上。要達(dá)到這么厚的油墨厚度需要靠幾十次甚至上百次的疊印、套印才能完成[3]，任何一次的印刷出現(xiàn)偏差都會使該鞋面作廢，因此，鞋面印花對疊印套印的精度要求非常高。目前國內(nèi)外主要依靠人工印花，生產(chǎn)效率低，工作強(qiáng)度高，對工人技能要求高，因此鞋面印花成為行業(yè)內(nèi)的一大難點(diǎn)。鞋面印花無法實(shí)現(xiàn)自動化機(jī)印的主要原因之一是幾十次或上百次的疊印、套印精度無法解決。

近年來，許多研究人員對自動印花機(jī)做了深入的研究：李培等[4]采用基于粒子群算法對印花機(jī)對位平臺的綜合誤差進(jìn)行了補(bǔ)償，該方法只是對綜合誤差進(jìn)行了補(bǔ)償，沒有分析產(chǎn)生誤差的原因；但丁等[5]則提出了新型臺板定位系統(tǒng)，該系統(tǒng)對于單塊網(wǎng)板的印花有一定效果，但是對于多塊網(wǎng)板套印的定位精度沒有顯著效果。

本文基于三維增材印花機(jī)，研發(fā)了一種3自由度冗余驅(qū)動的高精度對位平臺；提出了基于冗余驅(qū)動的同步協(xié)調(diào)控制策略，同時對系統(tǒng)的換向間隙進(jìn)行了補(bǔ)償。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)后的對位平臺及其控制策略極大地提高了三維增材印花機(jī)對位平臺的對位精度。

1 印花機(jī)對位平臺工作原理

1.1 三軸并聯(lián)機(jī)構(gòu)(UVW)對位平臺

圖1示出三維增材印花機(jī)的照片。其分為印刷機(jī)頭、倍速鏈傳送線、烘箱3部分。

圖1 三維增材印花機(jī)Fig.1 3-D additive printing machine. (a) Overall structure of 3-D additive printing machine; (b) Structure of printing head

印刷機(jī)頭又分為印刷機(jī)構(gòu)和對位機(jī)構(gòu)，其中對位機(jī)構(gòu)采用了UVW對位平臺。UVW對位平臺的核心機(jī)構(gòu)組成是移動副-轉(zhuǎn)動副-移動副(P-R-P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，P-R-P并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)一定范圍內(nèi)，X方向移動、Y方向移動、θ方向(XY平面)轉(zhuǎn)動[6]。圖2示出UVW平臺的機(jī)構(gòu)簡圖。

圖2 UVW對位平臺機(jī)構(gòu)簡圖Fig.2 Mechanism diagram of UVW positioning platform

鞋面印刷時，往往需要多塊網(wǎng)版進(jìn)行套印。當(dāng)?shù)?塊網(wǎng)板印刷完畢，需要更換網(wǎng)板繼續(xù)印刷時，就需要進(jìn)行對版操作。此時先將第2塊網(wǎng)板固定在對位平臺上，然后操作人員通過觀察網(wǎng)板上的印花與上一塊網(wǎng)板所印的鞋面印花之間的偏差，調(diào)整UVW平臺。操作人員將X、Y方向的偏差以及角度的偏差輸入控制器，控制器驅(qū)動對位平臺運(yùn)動，使得第2塊網(wǎng)板上的印花與第1塊網(wǎng)板印好的鞋面上的印花匹配，從而實(shí)現(xiàn)對版。由此可見，對位平臺的定位精度對鞋面印刷質(zhì)量有直接的影響。

1.2 UVW對位平臺運(yùn)動學(xué)逆解

采用幾何法求解UVW對位平臺的運(yùn)動學(xué)逆解。對于平面內(nèi)的運(yùn)動可以分解為繞幾何中心的旋轉(zhuǎn)和沿X、Y方向的平移2部分。

首先分析繞幾何中心旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動學(xué)逆解，圖3示出UVW平臺旋轉(zhuǎn)任意角度的示意圖。圖中δX1、δX2、δY分別為平臺完成繞平臺幾何中心旋轉(zhuǎn)δθ時X1、X2、Y軸的位移量。設(shè)定平臺順時針旋轉(zhuǎn)時δθ為正，X1、X2軸的位移為正，Y軸的位移為負(fù)。根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何關(guān)系即可求出每個電動機(jī)的位移量。式(1)所示為δX1、δX2、δY與旋轉(zhuǎn)角度δθ之間的關(guān)系。

圖3 UVW平臺旋轉(zhuǎn)任意角度示意圖Fig.3 Schematic diagram of UVW platform rotation at any angle

(1)

式中：δX1為X1軸的位移量，mm；δX2為X2軸的位移量，mm；δY為Y軸的位移量，mm；δθ為平臺繞幾何中心旋轉(zhuǎn)的角度，(°)；θ0為對位平臺原有的旋轉(zhuǎn)角度，(°)；R為對位平臺幾何中心到各軸軸承中心的假設(shè)半徑，mm；θx為連接X1軸與平臺幾何中心的直線與水平方向的夾角，(°)；θy為連接Y軸與平臺幾何中心的直線與水平方向的夾角，(°)。

對于UVW平臺沿X正方向平移ΔX，沿Y正方向平移ΔY，δX1、δX2、δY的位移量滿足式(2)所示關(guān)系。

(2)

式中：ΔX為平臺X方向位移，mm；ΔY為平臺Y方向位移，mm。

對于繞平臺幾何中心旋轉(zhuǎn)δθ，且沿X方向移動ΔX，沿Y方向移動ΔY的逆解公式可通過式(1)和式(2)疊加得到，如式(3)所示。

(3)

2 基于冗余驅(qū)動的對位平臺

2.1 冗余驅(qū)動的運(yùn)動學(xué)分析

由于目前市場上的UVW對位平臺都是由3個軸驅(qū)動，其Y向移動只靠一個Y軸驅(qū)動，且該Y軸往往布置于UVW平臺的一側(cè)；因此，對位平臺Y向運(yùn)動時，存在驅(qū)動力不足和受力不均的情況，影響Y向的定位精度。同時由于旋轉(zhuǎn)需要3個軸配合動作，因此也會影響到對位平臺旋轉(zhuǎn)的定位精度。針對此問題，提出了增加1個Y軸的解決方案，但是由于UVW平臺只有3個自由度，因此增加1個Y軸后，系統(tǒng)變?yōu)槿哂囹?qū)動機(jī)構(gòu)。

冗余驅(qū)動是指機(jī)構(gòu)的驅(qū)動數(shù)量大于機(jī)構(gòu)的自由度[7]，其優(yōu)點(diǎn)在于可以消除系統(tǒng)奇異點(diǎn)、提高機(jī)構(gòu)運(yùn)動精度[8]、提高承載能力、提高剛度等[9-10]。然而由于冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)比傳統(tǒng)的非冗余機(jī)構(gòu)復(fù)雜得多，因此只有依賴一定的控制方法才能更好地發(fā)揮出冗余驅(qū)動的優(yōu)點(diǎn)[11-12]。

實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)任意角度和任意方向平移，只需要3個原動件即可實(shí)現(xiàn)，增加1個Y軸只是為了提高系統(tǒng)的運(yùn)動精度、承載能力和剛度，因此并不會影響對位平臺的運(yùn)動學(xué)逆解。所以對于冗余驅(qū)動的對位平臺平面內(nèi)運(yùn)動時，仍然滿足式(3)所示關(guān)系。圖4示出了冗余驅(qū)動的對位平臺繞幾何中心旋轉(zhuǎn)δθ時的示意圖。

圖4 冗余驅(qū)動對位平臺繞幾何中心旋轉(zhuǎn)示意圖Fig.4 Schematic diagram of redundant actuation positioning platform around geometric center

對于冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)，由于存在機(jī)構(gòu)運(yùn)動耦合，即機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中各子系統(tǒng)之間的運(yùn)動相互影響相互關(guān)聯(lián)[13]，因此，只有機(jī)構(gòu)中的各個軸在運(yùn)動過程中嚴(yán)格保持一定的關(guān)系，才能保證機(jī)構(gòu)正常運(yùn)行，否則無法發(fā)揮冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，而且會由于內(nèi)力過大造成機(jī)構(gòu)的損壞[7]。為簡化控制過程，將冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)在平面內(nèi)的運(yùn)動分解為繞幾何中心的旋轉(zhuǎn)和沿X、Y方向的平移2部分運(yùn)動。即先將對位平臺繞幾何中心旋轉(zhuǎn)，然后再將對位平臺沿X、Y方向平移。首先分析對位平臺繞幾何中心旋轉(zhuǎn)δθ角度時各軸之間的運(yùn)動關(guān)系，由圖4可知運(yùn)動過程中滿足式(4)所示關(guān)系，因此只要找到運(yùn)動過程中δX1與δY2的關(guān)系即可確定4個軸之間的關(guān)系。

(4)

式中：δY1為Y1軸的位移量，mm；δY2為Y2軸的位移量，mm。

由此可得到式(5)所示的關(guān)系。

(5)

對于沿X正方向移動ΔX，沿Y正方向移動ΔY可得到式(6)所示關(guān)系，因此只要保證對位平臺運(yùn)動過程中嚴(yán)格滿足式(5)和式(6)即可使冗余驅(qū)動的對位平臺正常運(yùn)轉(zhuǎn)，發(fā)揮冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)。

(6)

2.2 基于冗余驅(qū)動的同步協(xié)調(diào)控制策略

首先對于沿X或Y方向平移ΔX或ΔY,只需保證運(yùn)動過程中滿足式(6)即可。由式(6)可知，X1軸與X2軸，Y1軸與Y2軸滿足線性關(guān)系，因此可采用電子齒輪將X1軸與X2軸同步，Y1軸與Y2軸同步，電子齒輪比為-1。

對于繞對位平臺的幾何中心旋轉(zhuǎn)，式(5)表達(dá)了旋轉(zhuǎn)過程中對位平臺中Y2軸和X1軸之間的位置關(guān)系。由式(5)可知，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中Y2軸和X1軸之間的位置關(guān)系不是線性關(guān)系，因此需要采用電子凸輪的方式來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)前平臺沒有進(jìn)行過X或Y方向的位移即ΔX和ΔY為零時，式(5)所述的關(guān)系即為運(yùn)動過程中δX1與δY2的凸輪曲線。考慮到對版過程中對位平臺的旋轉(zhuǎn)角度有限，因此可以預(yù)先將計算好的旋轉(zhuǎn)角度范圍內(nèi)的凸輪曲線寫入控制器。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，對版過程中網(wǎng)板旋轉(zhuǎn)的角度范圍為±2°，實(shí)際測得L為560 mm，W為400 mm，根據(jù)式(1)可分別計算出旋轉(zhuǎn)-2°和2°時的δX1值分別為-19.787 mm和19.300 mm。因此取δX1運(yùn)動范圍為(-20，20)即可滿足要求，將δX1在該區(qū)間內(nèi)分成8 192份，根據(jù)式(5) 計算出對應(yīng)的δY2。即將凸輪曲線在(-20，20)區(qū)間內(nèi)離散化為8 192個點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間采用一次多項式連接，離散化的點(diǎn)越多，運(yùn)行越平穩(wěn)，定位精度越高，但是對控制器性能要求也越高。由式(4)可知，旋轉(zhuǎn)過程中對于X2軸與Y1軸可以采用電子齒輪的方式，將X2軸與X1軸耦合，Y1軸與Y2軸耦合，電子齒輪比為1。這樣就可以實(shí)現(xiàn)冗余驅(qū)動的對位平臺在一定范圍內(nèi)繞幾何中心旋轉(zhuǎn)任意角度。如果旋轉(zhuǎn)前對位平臺在X或Y方向有ΔX和ΔY的位移時，則需要對上述離散后的凸輪點(diǎn)沿X或Y方向偏移ΔX和ΔY即可得到新的電子凸輪曲線。

3 換向間隙的補(bǔ)償

3.1 換向間隙補(bǔ)償?shù)目刂撇呗?/h3>

實(shí)際生產(chǎn)中發(fā)現(xiàn)，對位機(jī)構(gòu)在換向運(yùn)動時存在換向間隙，為進(jìn)一步提高印花機(jī)對位機(jī)構(gòu)的定位精度，需要對機(jī)構(gòu)的換向間隙進(jìn)行補(bǔ)償。當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)行的方向與上次運(yùn)行的方向相反時，即為換向。印花機(jī)對位平臺是由電動機(jī)通過彈性聯(lián)軸器、滾珠絲桿、滑塊與對位平臺連接。由于機(jī)械設(shè)備制造中，存在機(jī)械零件公差，并且彈性聯(lián)軸器和滾珠絲桿存在換向間隙，因此，在換向運(yùn)動時會首先抵消這部分間隙，然后才可以正常驅(qū)動對位平臺的運(yùn)動[14]。也就是說換向時對位平臺的實(shí)際位移要比電動機(jī)的指令位移小，這就會造成實(shí)際的位移與指令位移不符，影響到對位平臺的定位精度。因此，對機(jī)構(gòu)的反向間隙進(jìn)行補(bǔ)償，可進(jìn)一步提高對位平臺的定位精度。

對機(jī)構(gòu)換向間隙補(bǔ)償，首先要判斷當(dāng)前的運(yùn)動是否是換向運(yùn)動，如果是換向運(yùn)動則需要在指令位移的基礎(chǔ)上增加換向間隙的距離，反之則不需要，即可實(shí)現(xiàn)換向間隙的補(bǔ)償。要判斷是否是換向運(yùn)動，就要記錄上次電動機(jī)的位置，當(dāng)前電動機(jī)的位置和電動機(jī)將要去的位置。通過這3個位置確定機(jī)構(gòu)上次的運(yùn)動方向和此次的運(yùn)動方向，從而判斷是否發(fā)生了換向。定義當(dāng)前電動機(jī)的位置數(shù)值減去上次電動機(jī)的位置為正時，表示上次機(jī)構(gòu)的運(yùn)動方向?yàn)檎较?，反之為反方向。同樣電動機(jī)將要去的位置減去電動機(jī)當(dāng)前的位置數(shù)值為正時，表示此次機(jī)構(gòu)的運(yùn)動方向?yàn)檎较?，反之為反方向。因此，?dāng)這2次做差的數(shù)值反號時，說明此次電動機(jī)的運(yùn)動方向相對上次電動機(jī)的運(yùn)動方向是換向運(yùn)動，此時需要進(jìn)行換向間隙的補(bǔ)償。

使用坐標(biāo)軸清晰地表示了如何判斷是否發(fā)生了換向，如圖5所示。圖中：P1表示上次電動機(jī)的位置；P2表示當(dāng)前電動機(jī)的位置；P3表示電動機(jī)將要去的位置。

圖5 判斷是否換向示意圖Fig.5 Schematic diagram of whether to reverse

當(dāng)這3個位置滿足式(7)時，說明電動機(jī)由P2位置到P3位置進(jìn)行了換向，此時需要進(jìn)行反向間隙的補(bǔ)償。反之則說明由P2位置到P3位置沒有換向，不需要進(jìn)行反向間隙的補(bǔ)償。

(P2-P1)×(P3-P2)<0

(7)

3.2 換向間隙的測量

確定了如何判斷是否換向后，接下來還需要確定換向時應(yīng)該補(bǔ)償多少，補(bǔ)償?shù)臄?shù)值可以通過試驗(yàn)來確定。在對位平臺的末端，采用百分表測量換向時平臺的實(shí)際位移，通過與指令位移對比得到換向間隙。試驗(yàn)分別對位移±2.5、±0.2、±0.05 mm時進(jìn)行了換向間隙的測量，得到表1、2所示的數(shù)據(jù)。

由表1可知，對位平臺X向的換向間隙的眾數(shù)為0.005 mm；由表2可知，Y向的換向間隙的眾數(shù)為0.010 mm。因此，選擇0.005、0.010 mm分別作為X、Y向的換向間隙補(bǔ)償。由于機(jī)構(gòu)繞平臺幾何中心旋轉(zhuǎn)實(shí)際上也是由X、Y向各軸的運(yùn)動合成的，因此X、Y向各軸的換向間隙補(bǔ)償也適用于對位平臺繞幾何中心旋轉(zhuǎn)時的換向間隙補(bǔ)償。

表1 X向換向間隙測量Tab.1 Measurement of X-direction reversing backlash mm

表2 Y向換向間隙測量Tab.2 Measurement of Y-direction reversing backlash mm

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證冗余驅(qū)動和換向間隙補(bǔ)償對印花機(jī)對位平臺定位精度的影響，搭建了試驗(yàn)平臺，該平臺采用4個步進(jìn)伺服作為驅(qū)動，電動機(jī)布置方式與圖4相同。試驗(yàn)對于X向、Y向分別進(jìn)行了±0.05、±0.2、±2.5 mm 相對位移的多次測量。對于Z向旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行了±0.1°、±0.2°的多次測量，表3示出改進(jìn)前后對位平臺的定位精度和換向間隙的對比，平臺示意圖見圖6所示。

圖6 試驗(yàn)平臺Fig.6 Experiment platform

表3 改進(jìn)前后定位精度對比Tab.3 Improved front and rear positioning accuracy comparison

由試驗(yàn)結(jié)果可知：采用冗余驅(qū)動和換向間隙補(bǔ)償?shù)目刂撇呗院?，Y向定位精度由0.070 mm提高到0.010 mm，提升了85.70%；Z向旋轉(zhuǎn)定位精

度由0.004 8°提高到0.001 3°，提升了72.90%；X向定位精度保持不變；X向換向間隙由0.010 mm提高到0.005 mm，提升50.00%；Y向換向間隙由0.040 mm 提高到0.010 mm，提升了75.00%；Z向旋轉(zhuǎn)換向間隙由0.001 4°提高到0.000 8°，提升了42.86%。

5 結(jié) 論

1)采用冗余驅(qū)動的印花機(jī)對位平臺，Y向定位精度提高了85.70%，Z向旋轉(zhuǎn)定位精度提高了72.90%，X向定位精度保持不變。

2)增加換向間隙補(bǔ)償后，X向換向間隙提高了50.00%，Y向換向間隙提高了75.00%，Z向旋轉(zhuǎn)換向間隙提高了42.86%。

3)基于冗余驅(qū)動的印花機(jī)對位平臺同步協(xié)調(diào)控制策略可有效提高對位平臺的定位精度，從而提高了印花機(jī)的印刷質(zhì)量。