楊 宇, 吳 達(dá), 高 峰, 鄧建軍

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

在軍事領(lǐng)域,地海雜波是影響導(dǎo)彈雷達(dá)導(dǎo)引頭跟蹤精度最主要的因素之一,由于超低空目標(biāo)受多徑效應(yīng)的影響,使得雷達(dá)導(dǎo)引頭在進(jìn)行跟蹤時(shí)獲取雜波增多,跟蹤精度下降[1-2]。防空導(dǎo)彈雷達(dá)導(dǎo)引頭下視對(duì)地/海面上超低空目標(biāo)探測(cè)時(shí),目標(biāo)越低與地/海面復(fù)合越強(qiáng)[3-4]。多徑干擾的存在,使得防空導(dǎo)彈雷達(dá)導(dǎo)引頭匹配濾波后出現(xiàn)多個(gè)分離或時(shí)間混疊的目標(biāo)信號(hào),導(dǎo)致防空導(dǎo)彈雷達(dá)導(dǎo)引頭在某些距離段的目標(biāo)回波衰減或增強(qiáng),使目標(biāo)回波信號(hào)劇烈起伏,甚至出現(xiàn)對(duì)消,影響雷達(dá)的測(cè)量精度和檢測(cè)性能,從而造成雷達(dá)探測(cè)能力降低甚至目標(biāo)“漏檢”[5-6]。參考國外的文獻(xiàn)資料可知,通過凈化目標(biāo)回波信號(hào)背景,可以從源頭上控制多徑和雜波,達(dá)到更好的對(duì)抗多徑、雜波的效果。如果導(dǎo)彈按布儒斯特角攻擊目標(biāo),可有效改善超低空攔截性能[6-7]。文獻(xiàn)[8-13]針對(duì)地面目標(biāo)進(jìn)行打擊,增強(qiáng)毀傷效果,對(duì)末端攻擊角度約束進(jìn)行深入研究。文獻(xiàn)[14-15]對(duì)攔截高空目標(biāo)的終端角度約束做了補(bǔ)充,但是以上研究只能在彈目交匯處將攻角約束至期望的角度,以增強(qiáng)毀傷效果。而在超低空目標(biāo)攔截時(shí),通過找到一個(gè)最優(yōu)的彈目視角,即布儒斯特角可以讓導(dǎo)引頭受到的多徑干擾最小,從而有效增強(qiáng)地空導(dǎo)彈的超低空攔截性能。

本文利用模型預(yù)測(cè)控制能以期望的性能跟蹤參考信號(hào),進(jìn)而抑制跟蹤誤差的特點(diǎn)[16-17],設(shè)計(jì)了模型預(yù)測(cè)制導(dǎo)律(model predictive guidance law, MPGL),使導(dǎo)彈在進(jìn)行超低空目標(biāo)攔截時(shí),通過調(diào)整相關(guān)參數(shù),將彈目視線角度盡快調(diào)整至布儒斯特角度范圍。為了補(bǔ)償超低空目標(biāo)機(jī)動(dòng)擾動(dòng)對(duì)制導(dǎo)精度的影響,設(shè)計(jì)了能夠?qū)δ繕?biāo)加速度進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)的滑模擾動(dòng)觀測(cè)器,并以此為基礎(chǔ),設(shè)計(jì)了一種復(fù)合MPGL(composite MPGL,CMPGL)。仿真結(jié)果表明,采用所設(shè)計(jì)的CMPGL,可有效保證導(dǎo)彈沿著期望的布儒斯特角對(duì)超低空目標(biāo)進(jìn)行跟蹤攔截,同時(shí)將視線角速率收斂至0,使多徑干擾降到最小。

1 布儒斯特效應(yīng)與超低空攔截

1.1 布儒斯特效應(yīng)

布儒斯特角是指對(duì)于特定介質(zhì)表面,反射角度會(huì)隨入射角明顯變化,光反射強(qiáng)度最弱的角度稱為布儒斯特角[18]。對(duì)雷達(dá)而言,同樣存在這樣的角度敏感效應(yīng),稱之為雷達(dá)布儒斯特效應(yīng)[5,19]。

光學(xué)布儒斯特效應(yīng)是光一次反射的結(jié)果,而雷達(dá)導(dǎo)引頭布儒斯特效應(yīng)是電磁波在目標(biāo)與環(huán)境之間多次散射的結(jié)果,形成的目標(biāo)-環(huán)境耦合散射效應(yīng),產(chǎn)生了多徑干擾信號(hào),如圖1所示，多徑干擾強(qiáng)度最小的角度就是布儒斯特角。在國內(nèi),隋棟訓(xùn)等[19]通過電磁散射的原理對(duì)雷達(dá)導(dǎo)引頭的布儒斯特角進(jìn)行建模分析得出,不同的外部因素下,布儒斯特角具有不同的大小。例如,在沙漠環(huán)境中布儒斯特角可能達(dá)到30°,而在海洋環(huán)境中,布儒斯特角一般在10°左右。

圖1 多徑干擾示意圖

1.2 超低空攔截模型

攔截彈攔截低空目標(biāo)時(shí),通常會(huì)采取高空俯沖攻擊的方式,從而擴(kuò)大雷達(dá)導(dǎo)引頭探測(cè)目標(biāo)的視野范圍。為了設(shè)計(jì)滿足特定視線角約束的攔截彈道,只需要分析縱向平面的攔截情況。將攔截彈和目標(biāo)視為質(zhì)點(diǎn),得到攔截彈與低空目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型如圖2所示。

圖2 超低空攔截模型

假設(shè)防空導(dǎo)彈和攔截目標(biāo)的速度保持一定,防空導(dǎo)彈和攔截彈的運(yùn)動(dòng)方程如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

對(duì)式(1)和式(2)分別求導(dǎo)可得

(5)

(6)

式中,ATR=ATsinηT;AMR=AMsinηM;ATq=ATcosηT;AMq=AMcosηM。

2 MPGL設(shè)計(jì)

通過超低空攔截模型中的式(5)和式(6),可以看出攔截彈的指令加速度與超低空目標(biāo)的機(jī)動(dòng)方式或指令加速度密切相關(guān)。在攔截超低空目標(biāo)的全過程中,攔截彈的指令加速度不是一成不變的,攔截彈必須根據(jù)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度實(shí)時(shí)調(diào)整指令加速度的大小,從而引導(dǎo)攔截彈最終擊中目標(biāo),同時(shí)結(jié)合模型預(yù)測(cè)控制的思想,設(shè)計(jì)如下的制導(dǎo)律

AMq=ATq+Av

(7)

式中,Av是待設(shè)計(jì)的虛擬控制率,將式(7)代入式(6)可得

(8)

(9)

模型預(yù)測(cè)控制的思想就是設(shè)計(jì)控制律u使系統(tǒng)輸出y能夠很好地跟蹤所設(shè)計(jì)的期望值y*。而在跟蹤攔截超低空目標(biāo)時(shí),就是結(jié)合模型預(yù)測(cè)控制的思想設(shè)計(jì)制導(dǎo)律使導(dǎo)彈目標(biāo)的視線角q以良好的性能跟蹤期望的視線角即布儒斯特角q*。

為了得到超低空攔截時(shí)對(duì)所期望的布儒斯特角具有良好的跟蹤性能,結(jié)合最優(yōu)控制理論,構(gòu)造出動(dòng)態(tài)能量損失函數(shù),本文的目的就是使該損失函數(shù)最小化,從而將彈目視線角約束至布儒斯特角。

(10)

利用最優(yōu)控制理論及通用模型預(yù)測(cè)控制的求法[17],可求得所設(shè)計(jì)的虛擬控制率為

(11)

矩陣中各元素為

式中,i,j=1,2,…,3+m。通過以上對(duì)制導(dǎo)律的推導(dǎo)過程,可以得出結(jié)論,基于模型預(yù)測(cè)控制得出的制導(dǎo)律僅和目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度ATq,控制階數(shù)m以及預(yù)測(cè)周期TP相關(guān)。若令A(yù)Tq=0,聯(lián)立式(7)和式(11),得到MPGL為

(12)

3 CMPGL的設(shè)計(jì)

3.1 滑模擾動(dòng)觀測(cè)器

式(12)所示的制導(dǎo)律由于忽略了目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的影響,所以會(huì)大大降低超低空攔截的精度。在實(shí)際的作戰(zhàn)過程中,攔截彈必須依據(jù)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度來實(shí)時(shí)調(diào)整自身的加速度,從而不斷調(diào)整飛行軌跡來對(duì)目標(biāo)進(jìn)行有效攔截。因此設(shè)計(jì)了一種滑模擾動(dòng)觀測(cè)器來對(duì)低空目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度進(jìn)行有效估計(jì)。

(13)

設(shè)計(jì)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器為

(14)

證明先給出如下的引理

(15)

式中,V(x0)是V(x)的初值。

(16)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

(17)

將式(17)寫成矩陣的形式為

V=ePeT

(18)

式中,

e=[|e1|1-1/psgn(e1)e2]

因k1>0,k2>0,p>2,可得V是正數(shù),此時(shí)有

λmin(P)‖e‖2≤V≤λsup(P)‖e‖2

(19)

式中,λmin(P),λsup(P)分別表示矩陣P的較小和較大特征值;‖e‖為e的范數(shù)。

對(duì)所構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)V求導(dǎo),可得

(20)

式(1)又可以寫成

(21)

式中,

B=[-k12]

由于k1>0,k2>0,p>2,可以得到Q是正定矩陣。

|e1|-1/p≥‖e‖-1/(p-1)

(22)

結(jié)合式(19)、式(21)和式(22),可得

(23)

當(dāng)λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-ε‖B‖>0時(shí),式(23)可寫為

(24)

式中,γ=λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-ε‖B‖>0,根據(jù)引理1可知,觀測(cè)器的估計(jì)誤差e能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至如下的范圍內(nèi)

(25)

證畢

3.2 CMPGL

將觀測(cè)器的估計(jì)值引入到式(13)所示的MPGL中,得到CMPGL為

(26)

定理 2式(26)所示的制導(dǎo)律可以保證視線角收斂至期望的布儒斯特角,同時(shí)保證視線角速率收斂至0。

(27)

構(gòu)造系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為

(28)

對(duì)所構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)Vr求導(dǎo),可得

(29)

在時(shí)間[0,t]內(nèi),對(duì)不等式求解可得

Vr≤[Vr(0)+δ2/δ1]eδ1t-δ2/δ1

(30)

(31)

由漸進(jìn)穩(wěn)定性理論可知,狀態(tài)變量會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)0。從而降低跟蹤攔截超低空目標(biāo)時(shí)多徑效應(yīng)的影響。

證畢

仿照上面的證明過程,可以證明系統(tǒng)在式(12)的作用下,關(guān)于目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度ATq有界輸入-有界輸出是穩(wěn)定的。

4 仿真校驗(yàn)

仿真 1CMPGL與MPGL的攔截性能對(duì)比

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的CMPGL對(duì)低空目標(biāo)攔截的適用性及其性能的優(yōu)越性,將其與式(12)所示的MPGL進(jìn)行對(duì)比,通過兩種制導(dǎo)律對(duì)沙漠環(huán)境中的超低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攔截仿真驗(yàn)證。

設(shè)敵方來襲的超低空目標(biāo)的初始高度為YT=10 m,水平位置為XT=7 800 m,低空目標(biāo)的初始飛行速度為VT=200 m/s,其初始彈道傾角為θT=180°,機(jī)動(dòng)加速度為AT=-20sin(0.5πt);我方攔截彈的初始高度為YM=3 500 m,水平位置為XM=0 m,攔截彈的初始速度為VM=400 m/s,同時(shí)其初始彈道傾角θM=-45°。式(12)和式(26)所示的制導(dǎo)律中的參數(shù)取為m=1,TP=8,k1=30,k2=300,p=2.1仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 CMPGL與MPGL布儒斯特?cái)r截彈道

由圖3可以看出,式(12)所示的MPGL和式(26)所示的CMPGL都能將彈目視線角約束至環(huán)境所對(duì)應(yīng)的布儒斯特角附近。CMPGL與MPGL視線角響應(yīng)、角速率響應(yīng)、攔截彈加速度指令如圖4～圖6所示。

圖4 CMPGL與MPGL視線角響應(yīng)曲線

圖5 CMPGL與MPGL視線角速率響應(yīng)曲線

圖6 CMPGL與MPGL攔截彈加速度指令

仿真 2參數(shù)m的選取

在以式(26)所示的制導(dǎo)律攔截超低空目標(biāo)時(shí),分析CMPGL的控制階數(shù)m對(duì)攔截性能的影響。此時(shí),固定預(yù)測(cè)周期TP=10,控制階數(shù)m分別取0,1,2,其他參數(shù)的選取參照仿真1。

不同參數(shù)m的布儒斯特?cái)r截彈道和視線角響應(yīng)曲線如圖7和圖8所示。

圖7 不同參數(shù)m的布儒斯特?cái)r截彈道

圖8 不同參數(shù)m的視線角響應(yīng)曲線

由圖7和圖8可以看出,改變控制階數(shù)m的大小,攔截彈均可以通過調(diào)整飛行軌跡,并最終將彈目視線角調(diào)整至環(huán)境對(duì)應(yīng)的布儒斯特角,從而對(duì)低空目標(biāo)進(jìn)行有效攔截。

不同參數(shù)m的視線角速率和攔截彈加速度響應(yīng)曲線如圖9和圖10所示。

圖9 不同參數(shù)m的視線角速率響應(yīng)曲線

圖10 不同參數(shù)m的攔截彈加速度指令

圖9顯示,通過增大控制階數(shù),可以加快彈目視線角收斂的速度。但是由圖10可看出,若過度增大控制階數(shù),攔截彈的起始需用過載會(huì)迅速增大,甚至?xí)鰪楏w結(jié)構(gòu)的承受能力。所以在選取參數(shù)時(shí),需要在視線角的收斂速率和彈體的需用過載之間折中考慮。

仿真 3參數(shù)TP的選取

分析CMPGL的預(yù)測(cè)周期TP對(duì)攔截性能的影響,此時(shí),固定控制階數(shù)m=1,預(yù)測(cè)周期TP分別取8,10,15,其他參數(shù)的選取參照仿真1。

不同參數(shù)TP的布儒斯特?cái)r截彈道、視線角響應(yīng)曲線、視線角速率響應(yīng)曲線和攔截彈加速度指令情況如圖11～圖14所示。

圖11 不同參數(shù)TP的布儒斯特?cái)r截彈道

圖12 不同參數(shù)TP的視線角響應(yīng)曲線

圖13 不同參數(shù)TP的視線角速率響應(yīng)曲線

圖14 不同參數(shù)TP的攔截彈加速度指令

圖11可以看出,改變預(yù)測(cè)周期TP的大小,攔截彈均能以期望的布儒斯特角攔截目標(biāo)。同時(shí)由圖12和圖13可知,縮短預(yù)測(cè)周期TP,可以加快彈目視線角收斂至期望布儒斯特角的速度。但是由圖14可看出縮短預(yù)測(cè)周期,攔截彈的起始需用過載會(huì)迅速增大,甚至?xí)鰪楏w結(jié)構(gòu)的承受能力。所以在選取參數(shù)TP時(shí),需要在視線角的收斂速率和彈體的需用過載之間折中考慮。

仿真 4基于CMPGL的超低空攔截

為了驗(yàn)證CMPGL對(duì)超低空攔截及降低多徑效應(yīng)的適用性,分別對(duì)沙漠環(huán)境下的勻速目標(biāo)及機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行超低空攔截仿真驗(yàn)真。工程中,由于動(dòng)力裝置和技術(shù)條件的限制,目標(biāo)的機(jī)動(dòng)能力也會(huì)受到限制,假設(shè)我方攔截彈的最大過載為20 g。由仿真2和仿真3可知,對(duì)CMPGL攔截性能及攔截過載影響最大的是控制階數(shù)m和預(yù)測(cè)周期TP的選取,折中考慮后,選取m=1,TP=10。目標(biāo)1、目標(biāo)2和攔截彈的初始參數(shù)設(shè)置參照仿真1,目標(biāo)1為勻速來襲超低空目標(biāo),目標(biāo)2為機(jī)動(dòng)目標(biāo),其加速度為AT=-20sin(0.5πt)。

CMPGL布儒斯特?cái)r截彈道情況如圖15所示。

圖15 CMPGL布儒斯特?cái)r截彈道

CMPGL視線角響應(yīng)曲線和角速率響應(yīng)曲線如圖16和圖17所示。

圖16 CMPGL視線角響應(yīng)曲線

圖17 CMPGL視線角速率響應(yīng)曲線

圖16和圖17表明,對(duì)于沙漠環(huán)境下的勻速運(yùn)動(dòng)或機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的目標(biāo),CMPGL總可以將彈目視線角大小約束至布儒斯特角30°附近,同時(shí)保證視線角速率收斂至0。

CMPGL攔截彈加速度指令情況如圖18所示。

圖18 CMPGL攔截彈加速度指令

圖18表明,攔截沙漠中的低空目標(biāo)時(shí),本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可確保攔截彈的指令加速度最終收斂穩(wěn)定在0附近。對(duì)于勻速飛行的超低空目標(biāo)而言,由于其飛行軌跡不會(huì)改變,所以攔截彈的加速度也相應(yīng)地收斂至0,維持視線角至布儒斯特角不變。對(duì)于機(jī)動(dòng)飛行的超低空目標(biāo),由于其飛行軌跡時(shí)刻改變,攔截彈需要根據(jù)目標(biāo)的飛行軌跡實(shí)時(shí)調(diào)整自身的加速度,從而保證視線角維持至布儒斯特角不變。

5 結(jié) 論

根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制能以期望的性能跟蹤參考信號(hào)和抑制跟蹤誤差設(shè)計(jì)的MPGL可保證在跟蹤攔截超低空目標(biāo)的過程中,將視線角約束至期望的布儒斯特角附近。針對(duì)超低空目標(biāo)機(jī)動(dòng)擾動(dòng)對(duì)制導(dǎo)精度的影響,設(shè)計(jì)滑模擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)的加速度進(jìn)行估計(jì),在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種CMPGL。結(jié)果表明,本文設(shè)計(jì)的CMPGL可有效將彈目視線角約束至環(huán)境對(duì)應(yīng)的布儒斯特角,從而提高對(duì)超低空目標(biāo)的攔截性能,為超低空反導(dǎo)領(lǐng)域提供一定的理論借鑒。