劉桃花，尹修草

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭，411201)

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和人類活動(dòng)的增強(qiáng)，大氣污染問題尤其是PM2.5污染問題日益嚴(yán)重，因此，準(zhǔn)確預(yù)測PM2.5濃度對控制和治理PM2.5以及改善社會(huì)民生都具有非常重要的意義。目前，國際上主要通過大氣環(huán)境定點(diǎn)監(jiān)測方式獲取各城市PM2.5的污染狀況，運(yùn)用多元線性回歸統(tǒng)計(jì)方法、統(tǒng)計(jì)空間插值方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等對PM2.5的濃度進(jìn)行預(yù)測[1-6]。

XIE等[7]在研究廣州市空氣中PM2.5的擴(kuò)散情況時(shí)，討論了一類帶Dirichelet邊界條件的分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程，給出了數(shù)值方法及其應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程用于模擬物理、生物、經(jīng)濟(jì)上的許多問題[8-10]。帶分?jǐn)?shù)階邊界條件的這類方程更適合實(shí)際問題的應(yīng)用[11-15]，據(jù)此，對帶有分?jǐn)?shù)階邊界條件的分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程進(jìn)行了數(shù)值研究，建立了隱性差分格式，然后分析了該方法的解的相容性、存在唯一性、穩(wěn)定性以及收斂性，并探討了該方法在長株潭地區(qū)大氣污染中的應(yīng)用。考慮污染物的分布情況及風(fēng)速、溫度、濕度等因素，建立長株潭地區(qū)PM2.5的擴(kuò)散方程，對污染物的濃度進(jìn)行預(yù)測，從而對該地區(qū)PM2.5的濃度進(jìn)行預(yù)測。

考慮如下一類帶有分?jǐn)?shù)階邊界條件的分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程：

(1)

分?jǐn)?shù)階初邊值條件為

(2)

u(x，0)=q(x)，0≤x≤R

(3)

(4)

其中：Γ(·)為Gamma函數(shù)。

1 差分格式的建立

移位的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子定義為

(5)

標(biāo)準(zhǔn)的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子定義為

(6)

(7)

并且Grünwald系數(shù)滿足如下引理。

引理1[16]假設(shè)α為正實(shí)數(shù)且整數(shù)n≥1，有

采用移位的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子對方程中Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，采用標(biāo)準(zhǔn)的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子對分?jǐn)?shù)階邊界條件中Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，得到：

利用向后Euler差分方法，定義一階時(shí)間和空間導(dǎo)數(shù)：

得到方程式(1)～(3)在點(diǎn)(xi，tm)處的隱性差分格式為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由方程(11)～(12)可知，建立的隱性差分格式是相容的。

2 隱性差分格式的理論分析

上面已經(jīng)建立了方程(1)～(3)的隱性差分格式，下面討論該格式的解的存在唯一性，穩(wěn)定性以及收斂性。將方程(8)～(10)整理為

(13)

(14)

(15)

其中：

(16)

定理1如果β>0，方程(1)～(3)的隱性差分格式(8)～(10)的解存在且唯一的。

證明假設(shè)ri是第i行除了對角線元素ai，i之外所有元素絕對值之和，根據(jù)引理1，則有

(17)

(18)

(19)

(20)

定理2若β>0，則方程(1)～(3)的差分格式(8)～(10)是無條件穩(wěn)定的。

由引理1得

(21)

結(jié)合上面的不等式，由方程(20)可得

(22)

重復(fù)利用不等式(22)m-1次，則有

‖εm‖∞<‖ε0‖∞，1≤m≤M。

綜上，方程(1)～(3)的差分格式(8)～(10)是無條件穩(wěn)定的。

定理3若β>0，則存在不依賴于h和Δt的非負(fù)常數(shù)C，使得

(23)

(24)

由Gamma函數(shù)的Stirling公式[17]，則有

(25)

結(jié)合方程(24)和(25)，則有

(26)

(27)

重復(fù)利用不等式(27)共m-1次，有

‖em‖∞≤(m-1)ΔtC2(Δt+h)。

又因?yàn)?m-1)Δt≤T，所以，存在一個(gè)常數(shù)C=C2T，使得

‖em‖∞≤C(Δt+h)

(28)

即存在不依賴于h和Δt的非負(fù)常數(shù)C，‖em‖∞≤C(Δt+h)，所以，此格式收斂。

3 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程在長株潭地區(qū)大氣污染中的應(yīng)用探討

本文中t表示擴(kuò)散時(shí)間，x表示擴(kuò)散距離；d(x)≥0，v(x)≥0，k(x)≥0，分別表示x軸方向的擴(kuò)散系數(shù)(m2/s)、風(fēng)速(m/s)和衰減系數(shù)(s-1)；f(x，t)表示點(diǎn)x在t時(shí)刻污染物的排放量；u(x，t)為污染物的質(zhì)量濃度(μg/m3)。首先，根據(jù)長株潭地區(qū)的風(fēng)速情況，估計(jì)v(x)的值。根據(jù)斐克定律，求出擴(kuò)散系數(shù)d(x)。若PM2.5在不治理的情況下很難自動(dòng)消失，則可以考慮k(x)=0。近幾年來，國家致力于生態(tài)文明建設(shè)，空氣質(zhì)量明顯好轉(zhuǎn)?？梢酝ㄟ^這幾年的PM2.5估計(jì)出k(x)。根據(jù)檢測數(shù)據(jù)，一般使用實(shí)測法計(jì)算，只需要查找某些數(shù)據(jù)，或者通過調(diào)查實(shí)測等估算污染物的排放量。其次，可以采用化學(xué)質(zhì)量平衡CMB受體模型，通過分析污染源和受體樣品中的化學(xué)成分來評價(jià)不同類型的污染源對環(huán)境污染物質(zhì)濃度的貢獻(xiàn)。其中，NKCMB 1.0是南開大學(xué)國家環(huán)境保護(hù)城市空氣顆粒物污染防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基于此模型開發(fā)的一個(gè)工具軟件，使用此軟件，可以得到長株潭地區(qū)的污染源類型和化學(xué)成分，然后，使用最小二乘法計(jì)算出各類污染源的貢獻(xiàn)值，從而得出污染物的濃度。根據(jù)PM2.5的濃度變化評估治理效果等。

4 結(jié)論

本文考慮了一個(gè)帶有分?jǐn)?shù)階邊界條件的分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程，給出了一個(gè)隱性差分格式，證明該格式的解的存在唯一性，穩(wěn)定性以及收斂性。結(jié)合該模型的實(shí)際背景，探討了該分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程在長株潭地區(qū)大氣污染中的應(yīng)用。