郭 麗，周星德，楊 菁

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098)

0 引言

微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)工作環(huán)境復(fù)雜，如在深水中，不方便更換電池，需借助于周圍環(huán)境的振動提供能量。壓電材料是一種智能材料，當(dāng)材料發(fā)生變形時(shí)會產(chǎn)生電荷(正壓電效應(yīng))，反之，當(dāng)施加電場時(shí)，壓電材料會產(chǎn)生應(yīng)力或應(yīng)變(逆壓電效應(yīng))[1]，壓電能量采集器采用的是正壓電效應(yīng)。目前，壓電能量采集器建模方法有集總參數(shù)模型與分布參數(shù)模型兩種。集總參數(shù)模型是通過能量等效的方式，把懸臂梁簡化為單自由度系統(tǒng)，具有簡單和誤差大的特點(diǎn)；分布參數(shù)模型[2]是根據(jù)連續(xù)分布梁來構(gòu)建模型，可以獲得理論解，計(jì)算復(fù)雜，但可獲得精確解。

國內(nèi)外對懸臂式壓電能量采集器展開了廣泛的研究。許多學(xué)者研究了質(zhì)量塊[3-5]對壓電懸臂梁發(fā)電效率的影響。唐禮平等[6]將常規(guī)的懸臂式壓電能量采集器進(jìn)行改進(jìn)，在壓電懸臂梁自由端附加有限尺寸的質(zhì)量塊，在固定端附加動力放大器，動力放大器由有限尺寸的質(zhì)量塊、豎向平移彈性及轉(zhuǎn)動彈性均受到約束的彈簧組成，研究發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的能量采集器的采集效率及采集精度均得到提高。雖然改進(jìn)的新型動力放大器增加了一個(gè)轉(zhuǎn)動彈性約束，但模型忽略了能量采集器的機(jī)電耦合效應(yīng)。楊斌強(qiáng)等[7]提出了帶有彈性支撐與放大的寬頻壓電振動能量采集器的分布參數(shù)機(jī)電耦合模型，并考慮了懸臂梁末端質(zhì)量塊的影響。何燕麗等[8]建立了機(jī)電耦合的曲梁式能量采集器prescott模型，運(yùn)用格林函數(shù)法推導(dǎo)在其強(qiáng)迫振動下的解析解，探究阻尼、負(fù)載電阻及材料彈性模量對響應(yīng)結(jié)果的影響。Erturk等[9]針對懸臂式壓電能量采集器提出了分布參數(shù)型機(jī)電耦合模型，推導(dǎo)其在任意頻率簡諧激勵下的電壓響應(yīng)和振動響應(yīng)解析表達(dá)式，從多模態(tài)及單模態(tài)解中提取電壓輸出和振動響應(yīng)關(guān)于基座加速度的頻響函數(shù)。

通過仿真發(fā)現(xiàn)，Erturk[9]文中模型預(yù)測與實(shí)驗(yàn)測量對比圖中，繪制的尖端速度關(guān)于基座加速度的頻率響應(yīng)函數(shù)在0～20 Hz時(shí)存在偏差，為此，作者提出了修正方法，具體思路為：首先，振動響應(yīng)函數(shù)借助文獻(xiàn)[9]的成果，推導(dǎo)第r階單模態(tài)的振動響應(yīng)；其次，為修正0～20 Hz內(nèi)速度頻率響應(yīng)函數(shù)(VFF)引入含參數(shù)α的正弦函數(shù)。α的引入會導(dǎo)致較高頻率下速度響應(yīng)產(chǎn)生誤差，因此又引入含參數(shù)β的正切函數(shù)。最后利用修正后的速度頻響函數(shù)進(jìn)行實(shí)例分析，結(jié)果表明修正后的模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果幾乎一致。

1 懸臂式壓電能量采集器分布參數(shù)模型

1.1 模態(tài)運(yùn)動方程

圖1為懸臂式壓電振動能量采集器結(jié)構(gòu)簡圖[10]。圖中，hs為基梁厚，基梁上、下表面全覆蓋厚為hp的壓電材料，沿y方向極化；基梁的金屬結(jié)構(gòu)作為壓電材料的內(nèi)側(cè)電極，同時(shí)在壓電材料的外側(cè)布置與基梁同等寬度(b)的電極；梁一端固接于基座處，自由端附有集中質(zhì)量塊?；艿胶喼C激勵時(shí)帶動懸臂梁產(chǎn)生變形，機(jī)械變形產(chǎn)生極化并通過陶瓷電極輸出，為電路負(fù)載供電，完成穩(wěn)定閉環(huán)電路的工作。圖中，g(t)為平動激勵，h(t)為轉(zhuǎn)動激勵，L為基梁長度，v(t)為電阻兩端電壓；Rl為負(fù)載電阻。

圖1 懸臂式壓電振動能量采集器結(jié)構(gòu)簡圖

假設(shè)壓電能量采集器為Euler-Bernoulii梁[9]，則阻尼受迫振動方程為

(1)

wb(x,t)=g(t)+xh(t)

(2)

(3)

(4)

由Raleigh-Ritz法可得壓電梁的橫向彎曲位移為

(5)

式中：φr(x)為第r階模態(tài)質(zhì)量歸一化特征函數(shù)；ηr(t)為第r階模態(tài)函數(shù)。無阻尼自由振動情況下的特征函數(shù)為

φr(x)=Cr[cosγx-coshγx+

ζr(sinγx-sinhγx)]

(6)

其中

(7)

式中：Cr為模態(tài)振幅常數(shù)由模態(tài)正交性條件得到；γ=λr/L；ζr為阻尼比。其中，梁的第r階模態(tài)無阻尼自由振動下固有頻率為

(8)

第r階振動模態(tài)的特征值由下式計(jì)算得到：

(9)

將式(5)代入式(1)中，利用模態(tài)正交性條件得到模態(tài)坐標(biāo)下的運(yùn)動方程為

χrv(t)=fr(t)

(10)

(11)

模態(tài)力函數(shù)為

(12)

1.2 電路方程

圖1中，串聯(lián)連接的雙晶片壓電陶瓷可表示為兩個(gè)電流源及其內(nèi)部電容串聯(lián)的電路圖。因此，圖1的簡化電路圖如圖2所示。

圖2 電路簡圖

根據(jù)Kirchhoff定律，圖2所示的電路圖可表示為

(13)

式中內(nèi)部電容(Cp)和電流源項(xiàng)(ip)分別為

(14)

(15)

(16)

由于固定端處電極的彎曲斜率為0，故第r階模態(tài)對耦合項(xiàng)的貢獻(xiàn)僅取決于集中質(zhì)量塊處。

1.3 單模態(tài)速度頻率響應(yīng)函數(shù)

基座在簡諧激勵作用下產(chǎn)生平動g(t)=Y0ejωt與微小轉(zhuǎn)動h(t)=θ0ejωt，其中,Y0和θ0為平動與微小轉(zhuǎn)動的幅值，ω為外激勵頻率，j為虛數(shù)單位，將平動與轉(zhuǎn)動公式代入式(12)得到簡諧激勵下的模態(tài)力函數(shù)fr(t)=Frejωt，F(xiàn)r為力的幅值:

Fr=-σrω2Y0-τrω2θ0

(17)

(18)

(19)

假設(shè)ηr(t)=Hrejωt和v(t)=Vejωt，分別代入式(10)和式(13)中得到關(guān)于幅值Hr和V的方程

(20)

(21)

聯(lián)立式(20)、(21)求振動幅值函數(shù)Hr，代入ηr(t)=Hrejωt中。其中，當(dāng)外激勵頻率接近梁的第r階固有頻率時(shí)，振動響應(yīng)的主要貢獻(xiàn)為第r階模態(tài)，表達(dá)式為

(22)

(23)

當(dāng)x=L時(shí)，式(23)表示自由端的相對速度頻響函數(shù)，而實(shí)驗(yàn)測得的是自由端的絕對速度，因此，應(yīng)在式(23)基礎(chǔ)上添加基座位移，則有

(24)

式(24)為Erturk給出的速度關(guān)于基座加速度的頻率響應(yīng)函數(shù)。利用MATLAB根據(jù)式(24)計(jì)算2.5～20 Hz低頻段內(nèi)，Rl=1 kΩ、33 kΩ、470 kΩ情況下模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差百分比為216%，223%，567%。

圖3 模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

2 模型修正

本文首先針對0～20 Hz時(shí)的偏差進(jìn)行調(diào)整，使頻響函數(shù)幅值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一致，再對后續(xù)造成的共振頻率處微小誤差進(jìn)行調(diào)整。

對比分析發(fā)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在誤差的主要原因是在0～20 Hz時(shí)基座處速度頻響幅值過大。為解決1/(jω)值過大問題，在此基礎(chǔ)上乘sin(ωα)，以α=0.001 6為例，在0～20 Hz時(shí)修正后的速度頻響幅值的計(jì)算結(jié)果得到較好改善，如圖4所示。

圖4 對速度頻率響應(yīng)結(jié)果的修正

文獻(xiàn)[9]可知，負(fù)載電阻為1 kΩ時(shí)，梁的一階固有頻率為45.6 Hz。觀察圖4(a)發(fā)現(xiàn)，引入sin(ωα)后的速度頻響幅值在共振頻率處出現(xiàn)峰值降低的情況，再次引入修正函數(shù)1+tanβ對式(24)的第二項(xiàng)進(jìn)行修正，以β=0.12為例，修正后的結(jié)果如圖4(b)所示，共振頻率處的速度頻響幅值得到明顯改善。

式(24)修正后，使該模型下的速度頻率響應(yīng)函數(shù)的解析解與實(shí)驗(yàn)解幾乎一致，修正后的速度頻率響應(yīng)函數(shù)為

(1+tanβ)

(25)

利用MATLAB數(shù)值計(jì)算得到α的合理取值范圍為[0.000 1,0.001 8]，β的合理取值范圍為[0.1,0.25]。

3 算例分析

首先固定β值，研究僅α變化時(shí)修正函數(shù)對3種不同負(fù)載電阻(1 kΩ、33 kΩ、470 kΩ)的速度頻率響應(yīng)的影響。根據(jù)式(25)，利用MATLAB計(jì)算修正模型下的速度頻響函數(shù)值，采用二范數(shù)計(jì)算模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差百分比，如圖5所示

圖5 模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對誤差百分比

由圖5可見，相對誤差百分比先隨α值增大而減小，在[0.001 0,0.001 8]時(shí)，相對誤差百分比控制在8%以內(nèi)，此時(shí)修正后的模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果幾乎一致。當(dāng)α>0.002時(shí)，相對誤差百分比急劇增加并伴隨大幅度震蕩。

其次研究α與β同時(shí)變化對速度頻率響應(yīng)的影響，α控制在[0.000 1,0.003 0]，β控制在[0.01,0.30]，利用MATLAB計(jì)算此范圍下的相對誤差百分比。計(jì)算結(jié)果表明，修正后模型的相對誤差百分比均隨α、β值的增加先減小后增加。根據(jù)MATLAB數(shù)值計(jì)算結(jié)果可知，Rl=1 kΩ的分布參數(shù)模型，α=0.001 6，β=0.19時(shí)，相對誤差百分比為7.24%；Rl=33 kΩ時(shí)，α=0.001 7，β=0.21，相對誤差百分比為5.7%；，Rl=470 kΩ時(shí)，α=0.001 3，β=0.17，相對誤差百分比為7.24%。

綜合考慮3種負(fù)載電阻情況，計(jì)算速度頻響函數(shù)的加權(quán)平均誤差。首先，以增大輸出電流為目的，考慮短路情況下電流輸出達(dá)到最大值，因此，3種負(fù)載電阻情況權(quán)系數(shù)分別取0.4、0.3、0.3，加權(quán)平均誤差為6.7%。其次考慮以增大輸出電壓為目的，開路情況下的電壓輸出達(dá)到最大值，因此，3種負(fù)載電阻情況權(quán)系數(shù)取0.3、0.3、0.4，加權(quán)平均誤差為6.7%。

4 結(jié)論

本文以懸臂式壓電能量采集器為研究對象，考慮Erturk建立的分布參數(shù)模型下速度頻響函數(shù)存在誤差，提出相應(yīng)的修正公式，結(jié)論如下：

1) 外激勵頻率較低時(shí)，基座處速度頻響誤差較大，導(dǎo)致能量采集器誤差增大。

2) 針對基座和共振峰值處誤差引入兩項(xiàng)修正函數(shù)sin(ωα)和1+tan(ωβ)，其中α取值[0.000 1,0.001 8]，β取值 [0.1,0.25]，模型相對誤差百分比控制在8%以內(nèi)。

3) 以提高能量采集器的輸出電壓和輸出電流為目的，3種負(fù)載電阻的加權(quán)平均誤差均為6.7%。

本文所有推導(dǎo)均在Euler-Bernoulli梁假設(shè)的條件下進(jìn)行，未考慮梁的剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量的影響，對于功能梯度材料類(FGM)的復(fù)合材料梁，運(yùn)用此假設(shè)推導(dǎo)不再成立，應(yīng)采用Timoshenko梁假設(shè)進(jìn)行研究。