蔡 強，趙曉寧，李新田，淡林鵬，蒲曉航，黃慧慧

(中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

0 引言

纖維纏繞復合材料壓力容器(以下簡稱復材容器)由于具有輕質(zhì)高強的優(yōu)點，在航天技術領域得到了廣泛的應用[1-7]。復材容器一般由前后封頭和筒段組成，三者一體纏繞成型，在前后封頭纏繞過程中，纏繞角、纖維厚度和纖維應力等參數(shù)是不斷變化的，不同的纏繞線型和子午線形狀直接影響復材容器的承壓能力，因此封頭設計及分析工作是復材容器設計的核心內(nèi)容。

復材容器封頭的設計分析多采用網(wǎng)格理論計算，內(nèi)壓完全由纖維承擔，樹脂基體僅起到黏合作用，纖維纏繞通常采用測地線纏繞理論，不用考慮摩擦力的因素，纖維能夠在芯模上穩(wěn)定鋪敷不打滑[8-10]。近年來，有關學者引入經(jīng)典層板理論和非測地線纖維纏繞軌跡，考慮了樹脂基體的承力并擴大了纖維纏繞軌跡設計空間[11-19]。

在方案論證階段，通常需要快速開展封頭方案的迭代設計、優(yōu)化分析，因此亟需建立不同封頭的快速方案評估模型，并通過對比分析優(yōu)選出滿足設計要求的方案。為此，本文系統(tǒng)整理出螺旋纏繞封頭、螺旋纏繞橢球封頭、平面纏繞封頭和平面纏繞橢球封頭4種封頭的控制方程，設計上采用成熟可靠的網(wǎng)格理論和測地線理論，通過實例計算對比分析纏繞線型和封頭子午線類型對復材容器性能的影響。

1 復材容器參數(shù)模型

1.1 幾何參數(shù)模型

本文主要研究對象是復材容器封頭，但是筒段的長度、外徑和壁厚直接影響封頭的參數(shù)，因此采用圖1所示的封頭和筒段一體化的幾何參數(shù)模型。封頭的主要參數(shù)有子午線形狀、纏繞角、封頭壁厚和纖維應力。

圖1 復材容器參數(shù)模型Fig.1 Simplified parametric model of filament-wound composite pressure vessels

復材容器成型工藝是在芯模上按照一定的軌跡連續(xù)纏繞浸膠的復材纖維帶，常用的纖維纏繞線型軌跡有螺旋纏繞和平面纏繞2種方式。

螺旋纏繞線型如圖2所示，其中r1為給定的筒段徑向位置；α1為筒段纖維纏繞角；r2為給定的封頭徑向位置；α2為封頭纖維纏繞角。纖維軌跡嚴格滿足穩(wěn)定的測地線，即r1sinα1=r2sinα2，不存在滑紗的風險，同時封頭各點纖維應力相等，但是要求前后極孔直徑相等。

圖2 螺旋纏繞線型Fig.2 Helical filament winding

平面纏繞線型如圖3所示，其中φFront pole為前極孔直徑，φBack pole為后極孔直徑，前后極孔直徑可以不等，α為纖維纏繞角。平面纏繞線型軌跡是從一個極孔直接纏繞至另一個極孔，這種線型只能用于長度較小的殼體，要求殼體長徑比L/D≤2。

圖3 平面纏繞線型Fig.3 Polar filament winding

以上2種線型，封頭和筒段一體纏繞，纖維應力連續(xù)變化，承內(nèi)壓能力較好，但是封頭子午線形狀受限于纏繞線型無法自主設計，工程上為了設計和工藝方便，并提高體積裝填率，經(jīng)常采用橢球封頭，即封頭子午線方程滿足橢圓弧曲線方程

r2/R2+z2/B2=1

(1)

令橢球比

m=R/B

將不同纏繞線型和封頭子午線形狀組合，常用的封頭形式可以分為螺旋纏繞封頭、螺旋纏繞橢球封頭、平面纏繞封頭和平面纏繞橢球封頭4類。

1.2 網(wǎng)格理論假設

封頭設計及分析時采用如下的網(wǎng)格理論，有如下假設條件：

1)復材容器的載荷全部由纖維的拉伸強度承擔，樹脂基體僅對纖維起黏結、定位的作用，使纖維強度充分發(fā)揮；

2)在整個復材容器上纖維連續(xù)纏繞，分布均勻且對稱；

3)復材容器為薄壁結構件，應力沿壁厚均勻分布，無彎曲應力，內(nèi)部壓力處處相等，均勻一致；

4)復材容器前后封頭和筒段螺旋向一體成型，然后筒段補充環(huán)向纏繞，即前后封頭為“螺旋向”或“平面”纏繞線型，筒段為“螺旋向+環(huán)向”或“平面+環(huán)向”纏繞線型。

1.3 筒段壁厚計算方法

筒段長度L和外徑R一般根據(jù)約束條件給定，筒段壁厚hfc與封頭形式無關，本文采用參考文獻[20]中方法計算，為了方便下文引用，列出筒段壁厚

(2)

式中：pb為容器最大內(nèi)壓；hfα為纖維螺旋向或平面纏繞壁厚；hfθ為環(huán)向壁厚；σfb為纖維的實際發(fā)揮強度。

2 復合容器封頭設計模型

2.1 設計規(guī)則及控制方程

一般封頭的幾何構型如圖4所示，封頭上采用螺旋纏繞或平面纏繞線型，纖維分布滿足以下3個規(guī)則：

規(guī)則1：纖維排列關于子午線對稱；

規(guī)則2：纖維與子午線的夾角即纏繞角α是關于平行圓半徑r的函數(shù)，α=α(r)，赤道圓上的纏繞角等于圓筒上的縱向纏繞角α0，在極孔上，α=π/2；

規(guī)則3：根據(jù)物質(zhì)守恒定律，通過平行圓法截面上的纖維總量等于通過赤道圓法截面上的纖維總量，且等于通過圓筒橫截面上的纖維總量。因平行圓半徑是變化的，因而封頭厚度hf也是r的函數(shù)，即hf=hf(r)，在赤道圓處，封頭壁厚等于筒段壁厚hfα，即hf=hfα。

圖4 一般封頭幾何構型Fig.4 Geometry of general dome

極坐標條件下，一般回轉(zhuǎn)體封頭的曲面方程

S(θ,z)={rcosθ,rsinθ,z}

(3)

式中：r=r(z)為封頭的母線方程，r是平行圓半徑坐標；z為回轉(zhuǎn)體軸線坐標；r和z均大于0，θ為沿緯度圓的包角。

引入無量綱參數(shù)

(4)

根據(jù)規(guī)則1～規(guī)則3，可以推導出一般封頭的無量綱化控制方程[20]

(5)

2.2 螺旋纏繞封頭

(6)

圖5 螺旋纏繞封頭子午線拐點及處理方法Fig.5 Inflection point and modified meridian of helical winding dome

2.3 螺旋纏繞橢球封頭

橢球封頭的子午線方程是給定的橢圓弧，將式(4)代入式(1)得出無量綱化的子午線方程

ρ2+m2ε2=1

(7)

對ρ求一階和二階導數(shù)，可得

(8)

(9)

值得注意的是該封頭不再滿足等應力條件。

2.4 平面纏繞封頭

從圖3中可知，平面纏繞筒段纖維纏繞角α0滿足

(10)

根據(jù)圖6中的平面纏繞封頭的幾何關系，得出

ρsinθ=ρe+εtanα0

(11)

(12)

式中ρe為赤道處纖維軌跡起點坐標在子午線平面的投影。

圖6 平面纏繞封頭幾何關系Fig.6 Geometry of polar winding dome

聯(lián)合式(5)、式(11)和式(12)，得出平面纏繞封頭的控制方程

(13)

與橢球封頭相似，平面封頭曲率在纏繞角α=54.7°時也會出現(xiàn)拐點，采用相同的處理方法，在等曲率點α=45°以后用圓弧替代原子午線。

2.5 平面纏繞橢球封頭

將式(8)中橢圓弧二階導數(shù)代入式(13)，得出平面纏繞橢球封頭的控制方程

(14)

3 實例及結果分析

3.1 模型驗證

為了驗證本文計算模型的正確性，選取極孔半徑ρ0=0.1、0.2、0.3、0.4共4種工況，分別對比螺旋纏繞封頭曲線與參考文獻[21]中的等應力封頭曲線，計算結果如圖7所示，可見吻合性非常好。

3.2 實例對比分析

以下針對4種不同類型復材容器封頭的實例進行討論，采用T700/樹脂基體復合材料，纖維體積含量為60%，復合密度為1.56g/cm3，最大設計壓強為10 MPa，筒段外徑均為φ1 000 mm。4個實例三維模型如圖8所示，其他幾何參數(shù)如表1所示。

圖7 封頭設計模型驗證Fig.7 Verification of dome design model

圖8 設計實例三維模型Fig.8 3D solid geometric models of cases

表1 實例幾何尺寸

由表1可以看出，4個后封頭尺寸相同，以下對比4個后封頭的設計結果。封頭的子午線、纏繞角和壁厚的設計結果對比如圖9所示。

1)子午線設計結果：除螺旋纏繞封頭高度較大外，其余3種封頭子午線輪廓設計結果相近，螺旋纏繞封頭高度(332 mm)比其余封頭高度大了約8.9%。另外，平面纏繞封頭和螺旋纏繞封頭在等曲率點前后變化趨勢連續(xù)無奇異點，證明2.2節(jié)處理方法的正確性。

2)纏繞角設計結果：相同纏繞線型的纏繞角度變化趨勢相似，且變化連續(xù)，z=250 mm之前螺旋纏繞線型纏繞角(初始纏繞角約15°)大于平面纏繞線型(初始纏繞角約30°)，之后變化趨勢一致，由于螺旋纏繞封頭高度較大，因此在極孔附近纏繞角變化較緩。

3)封頭厚度設計結果：封頭厚度的變化趨勢同纏繞角，相同線型相似，且螺旋纏繞線型平均封頭厚度大于平面纏繞線型。

圖9 后封頭設計結果對比Fig.9 Comparison of dome design results

4種封頭的纖維應力對比如圖10所示，可見：

圖10 后封頭纖維應力設計結果對比Fig.10 Comparison of fiber stress design results for rear dome

工程上為了解決極孔附近應力較大問題，通常在此處進行局部補強，另外在極孔處通過纏繞固定鋁合金或鈦合金接頭的設計來彌補應力突變帶來的結構強度不足。

為比較4種后封頭的綜合性能，引入?yún)⒖嘉墨I[8]中的綜合性能系數(shù)pV/W(p為容器內(nèi)壓；V為封頭體積；W為封頭質(zhì)量)。詳細對比如表2所示。

1)由于封頭高度的原因，螺旋纏繞封頭自由容積最大，其余三者相近。

2)由于螺旋纏繞封頭平均厚度大于平面纏繞，相同纏繞線型的封頭質(zhì)量相近，螺旋纏繞線型封頭的質(zhì)量大于平面纏繞線型。

3)相同纏繞線型的綜合性能系數(shù)pV/W相近，平面纏繞線型的封頭的pV/W值優(yōu)于螺旋纏繞線型。

表 2 后封頭性能參數(shù)對比Tab.2 Comparison of performance parameters for rear dome

綜上，相同纏繞線型的纏繞角、壁厚和性能參數(shù)接近，平面纏繞線型封頭質(zhì)量輕、pV/W值高，螺旋纏繞線型纖維受力較好。為了避免封頭曲面曲率的不連續(xù)性，同時考慮設計和加工的便捷性，推薦采用螺旋纏繞橢球封頭或平面纏繞橢球封頭。

4 結論

本文基于復材容器的參數(shù)模型，系統(tǒng)研究了殼體筒段和封頭的設計方法，完成了螺旋纏繞封頭、螺旋纏繞橢球封頭、平面纏繞封頭和平面纏繞橢球封頭等4類封頭控制方程的建模，通過對4種后封頭實例的子午線、纏繞角、壁厚、纖維應力以及綜合性能參數(shù)對比，發(fā)現(xiàn)相同纏繞線型的封頭設計結果相似，建議根據(jù)實際應用情況采用螺旋纏繞橢球封頭或平面纏繞橢球封頭，以避免子午線曲率的拐點，同時有利于加工制造。